2020届内蒙古赤峰市宁城县高三10月月考数学文试题版.pdf

页 1 第 高三年级统一考试 2019 10 20 数学试题 文科 注意事项 1 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上 2 回答第 卷时 选出每小题答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用 橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 写在本试卷上无效 3 回答第 卷时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效 4 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 每小题 5 分 共 12 小题 满分 60 分 1 已知集合 2 1 0 1 M x x xN 1 则 A 1 0 1 B 1 2 C 1 1 2 D 1 0 1 2 2 公比为 2 的等比数列 n a 的各项都是正数 且 3 a 11 a 16 则 5 a A 1 B 2 C 4 D 8 3 如图是房间壁灯照到墙上的光影的照片 壁灯轴线与墙面平行 则光影的边缘 是 A 抛物线 B 双曲线一支 C 椭圆 D 抛物线或双曲线 4 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度 则得到的这个新三角形的形状为 A 锐角三角形 B 直角三角形 页 2 第 C 钝角三角形 D 不确定 与增加的长度大小有关 5 设点是图中阴影部分表示的平行四边形区域含边界内一点 则 的最小值为 A B C D 6 已知向量 满足 则向量在方向上 的投影为 A B C 2 D 1 7 我国数学家张益唐在 孪生素数 研究方面所取得的突破性进展 孪生素数就是指相差 2 的素数对 例如 5 和 7 孪生素数猜想 正式由希尔伯特在 1900 年国际数学家大会的报告上第 8 个问题中提出 可以这样 描述 存在无穷多个素数存在无穷多个素数 p 使得 使得 p 2 是素数是素数 素数素数对 对 p p 2 称为 称为孪生素数孪生素数 在不超过 20 的素数中 随机选取两个不同的数 这两个数为孪生素数的概率是 A 14 1 B 7 1 C 14 3 D 9 1 8 已知直线 0 l ykx k 为圆1 3 22 yxC的切线 则k为 A 2 3 B 2 1 C 2 2 D 1 9 函数 3 2sin xy的图象经怎样平移后所得的图象关于点 0 12 中心对称 A 向左平移 12 B 向右平移 12 C 向左平移 6 D 向右平移 6 10 设F1 F2是双曲线 C 的两个焦点 若曲线 C 上存在一点 P 与F1关于曲线 C 的一条渐近线对称 则双 曲线 C 的离心率是 A 2 B 3 C 2 D 5 页 3 第 11 圆锥 SO 其中 S 为顶点 O 为底面圆心 的侧面积与底面积的比是 2 1 则圆锥 SO 与它外接球 即 顶点在球面上且底面圆周也在球面上 的体积比为 A 9 32 B 8 27 C 9 22 D 9 28 12 若2x 是函数 2 x f xxax e 的极值点 f x的极大值 M 极小值为 m 则 M m A 2 2e B 2 21e C 1 41e D 2 4e 第 卷 非选择题 共 90 分 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须做答 第 22 题 第 23 题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 每小题 5 分 共 4 小题 满分 20 分 13 复数 i i z 1 1 等于 14 已知tan2 且 0 2 则cos2 15 设数列 n a满足2 1 a n n n aa22 1 则数列 n a的通项公式 n a 16 设三棱锥 S ABC 的三条侧棱 SA SB SC 两两相互垂直 AB 2 BC 3 AC 7 其顶点都在球 O 的 球面上 则球心 O 到平面 ABC 的距离为 三 解答题 共 6 小题 满分 70 分 17 本题满分 12 分 如图所示 在中 D 是 BC边上的一点 且 3 ADC 2 7 cos 7 C 求 页 4 第 求 AD 的长和的面积 18 本题满分 12 分 为了解某市民众对某项公共政策的态度 在该市随机抽取了 50 名市民进行调查 做出了他们的月收入 单位 百元 范围 15 75 的频率分布直方图 同时得到他们月收入情况以及对该项政策赞成的人数 统计表 求月收入在 35 45 内的频率 并补全这个频率分布直方图 并在图中标出相应纵坐标 根据频率分布直方图估计这 50 人的平均月收入 若从月收入 单位 百元 在 65 75 的被调查者中随机选取 2 人 求 2 人都不赞成的概率 页 5 第 19 本题满分 12 分 如图 四棱锥PABCD 中 底面ABCD为矩形 PA 平面ABCD E为PD的中点 证明 PB 平面AEC 设AC与PB 所成的角的余弦值为 6 4 AP 1 AD 3 求三棱锥PABCD 的体积 20 本题满分 12 分 设 12 F F分别椭圆 22 1 43 xy C 的左 右焦点 直线l过 2 F与椭圆C交于不同的两点 A B 求证 1 F AB 的周长为定值 求 1 F AB 面积的最大值 21 本题满分 12 分 已知函数 lnf xxcx 讨论函数 xf的单调性 页 6 第 若 fx有两个零点 21 x x 求证 2 21 exx 四 选做题 请考生在 22 23 三题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 做答时用 2B 铅笔在答题卡 把所选题目的题号涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C 的参数方程为 2cos 2sin x y 0 2 为参数 在同一平面直角坐标 系中 经过伸缩变换 2 xx yy 得到曲线 C1 以坐标原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 为极径 为极角 求曲线 C 的直角坐标方程和曲线 C1的极坐标方程 若射线 OA 0 与曲线 C1交于点 A 射线 OB 0 2 与曲线 C1交于点 B 页 7 第 求 22 11 OAOB 的值 23 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知正实数 a b 满足1 4 11 ba 求证 4 25 4 baab 若存在实数x 使不等式baxx 4 1 2 求 a b 的值 页 8 第 宁城县高三年级统一考试 2019 10 20 数学试题 文科 参考答案 一 选择题 CABA DABC BDAD 二 填空题 13 i 14 5 3 15 1 2 1 n n 16 2 6 三 解答题 17 解 中 因为 所以 分 因为 所以 分 所以 分 在中 由余弦定理可得 分 所以 所以 即 解得或不合题意 舍去 所以 8 分 中 由正弦定理得 即 解得 10 分 所以 即 12 分 18 解 解 1 1 0 01 10 3 0 02 10 2 0 3 2 分分 页 9 第 4 分分 2 20 0 1 30 0 240 0 350 0 260 0 1 70 0 143 百元 百元 5 分分 即这即这 50 人的平均月收入估计为人的平均月收入估计为 4300 元 元 6 分分 3 65 75 的人数为的人数为 5 人 其中人 其中 2 人赞成 人赞成 3 人不赞成 人不赞成 7 分分 记赞成的人为记赞成的人为ba 不赞成的人为 不赞成的人为 zyx 8 分分 任取任取 2 人的情况分人的情况分别是 别是 yzxzxybzbybxazayaxab共共 10 种情况 种情况 9 分分 其中其中 2 人都不赞成的是 人都不赞成的是 yzxzxy 共共 3 种情况 种情况 11 分分 2 人都不赞成的概率是 人都不赞成的概率是 3 10 p 12 分分 19 连接 BD 交 AC 于点 O 连结 EO 因为 ABCD 为矩形 所以 O 为 BD 的中点 又 E 为 PD 的中点 所以 EO PB 3 分 EO 平面 AEC PB 平面 AEC 所以 PB 平面 AEC 5分 因为 PA 平面 ABCD ABCD 为矩形 所以 AB AD AP 两两垂直 页 10 第 EO PB AOE 就是AC与PB 所成的角或补角 6 分 设 AB a 在 EOA 中 131 2 1 2 1 2 1 22 ADPAPDAE 3 2 1 2 1 2 1 222 aADABACAO 222 1 2 1 2 1 2 1 aABPAPBOE 8 分 13 2 cos 22 2222 aa a OEOA AEOEOA AOE 9 分 13 4 6 22 2 aa a 解之有 0353 22 aa 从而3 a 10 分 三棱锥EACD 的体积 1 33 1 1 3 V 12 分 20 证明 1 F AB 的周长为 1212 48AFAFBFBFa 4 分 解法一 设 1122 A x yB xy 根据题意知 直线l的斜率不为零 可设直线l的方程为1xmy 6 分 由 22 1 43 1 xy xmy 得 22 34 690mymy 7 分 22 6 36 340mm mR 由韦达定理得 1212 22 69 3434 m yyy y mm 8 分 页 11 第 1 2 2 1212121212 2 1121 4 234 F AB m SFF yyyyyyy y m 10 分 令 2 1tm 则1t 1 2 124 1 31 3 F AB t S t t t 令 1 3 f tt t 则当1t 时 2 1 10 3 f t t f t单调递增 4 1 3 f tf 1 3 F AB S 11 分 即当1 0tm 时 1 F AB S 的最大值为 3 12 分 解法二 当直线lx 轴时 33 1 1 22 AB 1 12 1 3 2 F AB SFF AB 6 分 当直线l不垂直于x轴时 设直线l的方程为 1 yk x 由 22 1 43 1 xy yk x 得 2222 43 84120kxk xk 7 分 22222 8 4 4341214410kkkk 由韦达定理得 22 1212 22 8412 4343 kk xxx x kk 8 分 1 12121212 1 2 F AB SFF yyyyk xx 22 2 2 12122 2 16 9 1 4 43 kk kxxx x k 10 分 令 2 43tk 则3t 11 0 3t 页 12 第 1 22 31 16 9 931 44 F AB tt tt S tt 2 23 9 1 tt 2 11 2712 3t 2 1 27123 3 综上 当直线l的方程为1x 时 1 F AB S 的最大值为 3 21 解 I lnf xxcx 0 x 11 cx fxc xx 2 分 当0c 时 f x单调增区间为 0 3 分 当0c 时 f x单调增区间为 1 0 c f x单调减区间为 1 c 4 分 II Qf x 有两个相异零点 1122 ln ln xcxxcx 1212 lnln xxc xx 12 12 lnln xx c xx 5 分 而 2 12 xxe 等价于