汕头市普通高中高三教学质量测评试题二

汕头市2011年普通高中高三教学质量测评试题（二）数学（理科）参考公式：一选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个正确答案）1函数的定义域是（ ）A B C D2已知命题命题，则（ ）A为真 B为真 C为真 D为真 3分类变量和的列联表如下：总计总计则下列说法中正确的是（ ）A越小，说明与关系越弱； B越大，说明与关系越强；C越大，说明与关系越强； D越接近于，说明与关系越强；4已知两条不同的直线和两个不同的平面，则下列命题中为假命题的是（ ）A若，则 B若，则 C若，则 D若，则 5已知为平行四边形，则“”是“为矩形”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件0 8 91 1 2 3 4 6 7 8 92 0 1 1 3 3 3 5 7 8 83 0 1 2 2 3 4 8 94 0 16右图是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得分的茎 叶图，则得分的中位数与众数分别为（ ）A3与8 B23与3C28与23 D23与237下列四个命题中，正确的是（ ）A已知函数，则 B设回归直线方程为，当变量增加一个单位时，平均增加2个单位C已知服从正态分布，且，则 D对于命题；则8定义在上的奇函数，当时，则关于的函数的所有零点之和为（ ）A B C D二填空题（本大题共7小题，只做6小题。每小题5分，满分30分）9设复数满足为虚数单位，则复数的模 结束输出开始是否10定义运算，函数图像的顶点是，且成等差数列，则 11直线交圆于两点，则线段的垂直平分线的方程为 12已知实数满足：且，则的最大值是 13执行如图所示的程序框图，若输出的值为16，则图中判断框内“？”处应填的数为 AEFDGCB选做题：（二选一）14在极坐标系中，曲线与相交于点,则 15（几何证明选讲）如图，在四边形中，则 三解答题：（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分12分）已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离等于。（1）求的表达式；（要写出推导过程）（2）若是直角三角形的内角，求的值域。17（本小题满分12分）某中学号召学生在今年暑假期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）。该校学生会共有100名学生，他们参加活动的次数统计如下表：次数123人数104050用分层抽样的方法从中抽取10人作为样本，将这个样本作为总体。（1）从样本任意选两名学生，求至少有一个参加了2次活动的概率；（2）从样本任意选一名学生，若抽到的学生参加了2次活动，则抽取结束，若不是，则放回重取，求恰好在第4次抽取后结束的概率。18（本小题满分14分）如图，沿等腰直角三角形的中位线，将平面折起（转动一定角度），得到四棱锥，设、的中点分别为、，平面平面。（1）求证：平面平面；（2）求证：、四点共面；QADECBMNPADECBADECB（3）求异面直线与所成的角。19.（本小题满分14分）某厂家拟在2011年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（为一个正常数）满足，已知2011年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入6万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定和再投入两部分资金）。（1）将2011年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；（注：利润销售收入总成本）（2）该厂家2011年投入的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？20（本小题满分14分）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率，是椭圆在第一象限内的一点，且。（1）求椭圆的标准方程；（2）求点的坐标；（3）若点是椭圆上不同于的另一点，问是否存在以为直径的圆过点？若存在，求出圆的方程，若不存在，说明理由。21.（本题满分14分）数列是首项为，公差为的等差数列，若数列中任意不同的两项之和仍是该数列的一项，则称该数列是“封闭数列”（1）试写出一个不是“封闭数列”的等差数列的通项公式，并说明理由；（2）求证：数列为“封闭数列”的充分必要条件是存在整数，使。绝密启用前 试卷类型：A汕头市2011年普通高中高三教学质量测评试题数学（理科）参考答案与初步评分标准一、选择题： BACD，CDAD二、填空题：9答；10答；11答；12答：8；13答4；14答；15答：18解：，又为奇函数时，画出和的图象，如图共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为，则，可得，选D三解答题：16解：（1）= -2分（每个诱导公式1分）= -4分由条件有 -7分（2） 由条件 -2分 -3分 的值域是 -5分17解：（1）因参加活动1次、2次、3次的人数比例为10：40：50，即1：4：5；- 1分故样本中参加活动1次、2次、3次的人数分别为1人、4人、5人 -2分记事件A为“恰有一人参加了2次活动”，事件B为“恰有两人参加了2次活动”，则A与B互斥。 故P（A），-4分 P（B） -5分 答：至少有一人参加了2次活动的概率为 -6分(2)记事件C为“恰好在第4次抽取后结束”每一次抽到参加了2次活动的学生的概率均为即， -1分抽到参加了1次或3次活动的学生的概率为， -2分依题即前3次均取到参加了1次或3次活动的学生，第4次取到参加了2次活动的学生 - 3分 答: 恰好在第4次抽取后结束的概率为 -6分18（1）证明:由等腰直角三角形有，CDDE，DEBC - 1分又，面ACD， -2分又DEBC 平面，平面， -3分平面平面。 -4分(2)由条件有PQ为的中位线，MN为梯形BCDE的中位线 -1分PQDE，MNDE PQMN M、N、P、Q四点共面 (3) 解法一：平面平面,交线为DE, ADDE AD面BCDE -1分AD、DC、DE两两互相垂直 可以以D为原点建立如图空间直角坐标系， -2分设AD=2（长度单位），则DC=2，BC=4，则C（2，0，0），A（0，0，2），E（0，2，0），B（2，4，0） -3分 -4分设异面直线BE与MQ所成的角为，MQBC, -5分，异面直线BE与MQ所成的角大小为-6分解法二：设AD=1（长度单位），则DC=1，BC=2，延长ED到R，使DRED，连结RC -1分则ERBC，ERBC，故BCRE为平行四边形 -2分RCEB，又ACQM 为异面直线BE与QM所成的角（或的补角）DA=DC=DR，且三线两两互相垂直，由勾股定理得AC=AR=RC=， -4分ACR为正三角形， -5分异面直线BE与QM所成的角大小为 -6分解法三：设AD=2（长度单位），则DC=2，BC=4，取BC中点K，再取CK中点H，连结MH，则在梯形BCDE中可得MHBE 为异面直线BE与MQ所成的角（或的补角） 且MHBE，CHBC1，又CM1，CHM中，可得MH又MDQ中可得QM， DCH中可得DK，QDH中可得QH- -4分 -5分， 异面直线BE与MQ所成的角大小为 -6分19解： （1）.每件产品的销售价格为(元)， -1分2011年的利润 -3分 即y -5分（定义域占1分）（2） 由解得x=3（舍去-5） 令得 时，为增函数， 令得 ， 时，为减函数当时，在上为减函数，时，最大 当时，在上为增函数，在上为减函数，时，最大 综上所述，当时，该厂家2011年投入的促销费用万元时，厂家的利润最大， 当时，该厂家2011年投入的促销费用3万元时，厂家的利润最大。 20解：（1）依题可设椭圆方程为 则， -2分故曲线C的方程为 - 3分（2）法一：由椭圆定义得 -1分联立得 -2分又，有 P的纵坐标为1， -3分把代入得或（舍去） -4分法二：由得点P在以为焦点，实轴长为1的双曲线的上支上， 双曲线的方程为 联立得 -3分因P在第一象限内，故 -4分（3）设存在满足条件的圆，则，设，则 得 得 -2分又， -3分或 -4分 ，圆G为： -6分或，圆G为： -7分21解（