大一高数期末复习重点.pdf

两类重要极限两类重要极限 单调有界必有极限单调有界必有极限 夹逼定理夹逼定理 无穷小无穷小 无穷大无穷大 与与 性质性质 有限个无穷小的和有限个无穷小的和 积仍是无穷小积仍是无穷小 无穷小与有界量的积仍是无穷小无穷小与有界量的积仍是无穷小 高阶高阶 低阶低阶 同阶同阶 等价等价 阶阶 k 1 sin lim 0 x x x e 1 1 lim x x x 极限存在准则极限存在准则 比较比较 第一章第一章极限与连续极限与连续 常用等价无穷小常用等价无穷小 1e x x 0 x当当 1 x aaxln xsinx xtanx xarcsinx xarctanx 1ln x x xxsintan 2 3 x xcos1 2 2 x 1 1 xx 2 同除同除最最高次幂高次幂 1 消去零因子法消去零因子法 6 复合函数求极限法则复合函数求极限法则 7 利用左 右极限求分段函数极限利用左 右极限求分段函数极限 5 利用无穷小运算性质利用无穷小运算性质 3 通分通分 4 同乘共轭因式同乘共轭因式 8 利用夹逼定理利用夹逼定理 11 利用连续函数的性质利用连续函数的性质 代入法代入法 10 利用等价无穷小代换利用等价无穷小代换 9 利用两类重要极限利用两类重要极限 12 利用洛必达法则利用洛必达法则 函数极限的求法函数极限的求法 洛必达法则洛必达法则 等价无穷小代换等价无穷小代换 洛必达法则洛必达法则 变上限积分求导变上限积分求导 例例 xx x xx sintan 0 ee sin1tan1 lim 故故 e esin1tan1 sintan lim sintan 0 xx x xx xx xx x xx sintan 0 ee sintan lim 2 1 1e e sintan lim 2 1 sintansin 0 xxx x xx 1e sintan xx sintanxx 0 x当当 1e e sintan lim 2 1 sintansin 0 xxx x xx 原式原式 sin tane sintan lim 2 1 sin 0 xx xx x x 2 1 两对重要的单侧极限两对重要的单侧极限 0 lim 1 1 0 x x aa 2 1 arctanlim 0 x x lim 1 0 x x a 2 1 arctanlim 0 x x 1 1 lim 2 x x x 一类需要注意的极限一类需要注意的极限 1 1 lim 2 x x x lim 0 0 xfxf xx 左连续 右连续左连续 右连续 的 的 的连续连续 间断点的分类间断点的分类 闭区间连续函数的性质闭区间连续函数的性质 有界性有界性 最大最大 最小值定理最小值定理 介值定理介值定理 第一类间断第一类间断 第二类间断第二类间断 可去型可去型 跳跃型跳跃型 无穷型无穷型 振荡型振荡型 零点定理零点定理 e1 1 1 的间断点求的间断点求 x x xf 解解 函数无定义函数无定义 1 0 时当 时当 xx是函数的间断点是函数的间断点 0 x lim 0 xf x 由于由于 x x x 1 e1 1 lim 0 所以所以0 x是函数的是函数的第二类间断点第二类间断点 且是且是无穷型无穷型 1 x 由于由于 limxf x x x 1 e1 1 lim 1 0 limxf x x x 1 e1 1 lim 1 1 所以所以1 x是函数的是函数的第一类间断点第一类间断点 且是且是跳跃型跳跃型 并指出其类型并指出其类型 1x 1x 例例 求求的间断点的间断点 1 1 sin 1 lim 1 xxx xx x 1sin 2 1 x 1为第一类可去间断点为第一类可去间断点 lim 1 xf x x 1为第二类无穷间断点为第二类无穷间断点 1 lim 0 xf x x 0为第一类跳跃间断点为第一类跳跃间断点 例例 解解 并判别其类型并判别其类型 0 1 1 xxx是间断点是间断点 1 x 0 x 1 x 1 lim 0 xf x 1 1 sin 1sin 12 12 1 1 并判断其类型 的间断点求 并判断其类型 的间断点求 x xy x x 10 是可能的间断点 可知解 是可能的间断点 可知解 xx 处 在处 在0 1 x 但不相等 处的左右极限都存在因在但不相等 处的左右极限都存在因在 0 x 0且是跳跃间断点为函数的第一类间断点所以 且是跳跃间断点为函数的第一类间断点所以 x 1 sin1lim 1 sin1lim 2 0 2 0 yy xx 例例 在且相等 处函数的左右极限都存即在在且相等 处函数的左右极限都存即在1 x 1 1 sin 1sin 12 12 limlim 1 1 11 x xy x x xx 3 1 处 在处 在1 2 x 1且是可去间断点是函数的第一类间断点所以 且是可去间断点是函数的第一类间断点所以 x 例例 设函数设函数 在在x 0连续连续 则则a b 提示提示 2 0 cos1 lim 0 x xa f x 2 a 2 2 1 cos1xx lnlim 0 2 0 xbf x bln b a ln1 2 2e 2 cos1 x xa 例例 0 0 0 1 sin 2 x x x x xf讨论讨论 0处的连续性与可导性在 处的连续性与可导性在 x 那么处处可导如果那么处处可导如果 0 1 0 e 2 xxb x xf ax 1 0 0 1 1 2 1 baDbaC baBbaA 例例 导数导数 定义定义 几何意义几何意义 可导性与连续性的关系可导性与连续性的关系 0 xfk 切线斜率 切线斜率 0 xf 左导数 左导数 导数存在的充要条件导数存在的充要条件 0 xf 右导数 右导数 连续可导 连续可导 求微分求微分 可导与微分的关系可导与微分的关系 xxfyd d 0 可微可导 可微可导 微分微分 第二章第二章导数与微分导数与微分 按定义求导按定义求导 求导数方法求导数方法 复合函数求导复合函数求导 参数方程求导隐函数 参数方程求导隐函数 对数法求导对数法求导 分段函数在分段点求导分段函数在分段点求导 1 1 cos sin x x ex x 高阶导数 高阶导数 t x t y x y d d d d d d 求导数 参数方程 求导数 参数方程 ty tx x x y x y d d d d d d 2 2 t x t t t d d d d t t t x t x y d d d d d d 中值定理中值定理 罗尔定理罗尔定理 证明不等式证明不等式 洛必达法则洛必达法则 中值定理的应用中值定理的应用 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 柯西中值定理柯西中值定理 泰勒定理泰勒定理 数讨论方程根的存在与个 数讨论方程根的存在与个 泰勒公式泰勒公式 麦克劳林公式麦克劳林公式 1 0 0 等未定型极限计算等未定型极限计算 第三章第三章微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用 函数的单调性函数的单调性 函数性态函数性态 函数的极值函数的极值 函数的凹凸性函数的凹凸性 函数的最大最小值函数的最大最小值 函数的渐近线函数的渐近线 水平水平 垂直垂直 拐点拐点 凹凸性和判别法凹凸性和判别法 驻点驻点 极值存在的必要条件极值存在的必要条件 极值存在的充分条件极值存在的充分条件 利用导数判断利用导数判断 带带PeanoPeano型余项的泰勒公式型余项的泰勒公式 阶连续内有的区间在含设阶连续内有的区间在含设 0 nbaxxf 导数导数 bax 则对于 则对于有有 2 0 0 000 2 xx xf xxxfxfxf 2 00 0 nn n xxoxx xf 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式 12 1 5 3 sin 22 1253 n n n xo n xxx xx 2 1 6 4 2 1cos 2 2642 n n n xo n xxxx x 1 1 32 1ln 1 132 n n n xo n xxx xx 1 1 1 2nn xoxxx x 2 2 1 1 1 x mm mxx m 1 1 nn xox n nmmm 洛必达法则洛必达法则 基本类型 基本类型 变型变型 注注 法则 法则 1 当上式右端极限存在时当上式右端极限存在时 才能用此法则才能用此法则 2 在求极限过程中在求极限过程中 可能要多次使用此法则可能要多次使用此法则 3 在使用中在使用中 要进行适当的化简要进行适当的化简 0 0 型型型型 lim lim xg xf xg xf 0 00 1 型型 0 4 在使用中在使用中 注意和其它求极限方法相结合注意和其它求极限方法相结合 定理定理 第一充分条件第一充分条件 0 xxa 当 x f有有 0 xx 而当 而当 0 x f 0处取极大值 在则处取极大值在则xxf 0 xxb 当 当 0 而当 而当 0 x f 0处取极小值 在则处取极小值在则xxf 0处无极值 在处无极值在xxf 0 内在邻域设内在邻域设xUxf 有有 有有 0 符号相同内在邻域若符号相同内在邻域若xUxfc 则则 定理定理 第二充分条件第二充分条件 0 处具有二阶导数在设处具有二阶导数在设xxf 0 0 x f则则 0 0 x fb 当当 0 处取得极大值在处取得极大值在 xxf 0 处取得极小值在处取得极小值在 xxf 0 0 x f且且 求极值的步骤求极值的步骤 xfa 求导数 求导数 0 的根方程求驻点 的根方程求驻点 x fb 在该点的符号或在该点的符号或x f 求极值求极值d 中所有点左右的正负号在检查中所有点左右的正负号在检查bxfc 的点的点 不存在及不存在及 x f 判断极值点判断极值点 渐近线的求法渐近线的求法 水平渐近线水平渐近线 a满足若函数满足若函数 xf lim axf x ayxf 的曲线有水平渐近线则函数 的曲线有水平渐近线则函数 垂直渐近线垂直渐近线 b满足若函数满足若函数 xf lim 000 xf xxxx 0 xxxf 的曲线有垂直渐近线则函数 的曲线有垂直渐近线则函数 1 1 1 1 2 1 2 bax xbax x x xfy 确定处可导 已知函数在设 确定处可导 已知函数在设 计算题计算题 1 1ln lim 2 2 x xx x 3 0 1 sine lim 1 3 x xxx x x 求极限 求极限 x x x x ln 1 0 1e lim 2 1 1 lim lim 11 fxfxf xx 有由连续性 有由连续性 1 1 ba 1 1 lim 1 1 lim 11 x fxf x fxf xx 有由可导性 有由可导性 1 1 1 2 lim 1 1 lim 2 11 x x x bax xx 计算题计算题解答解答 1 1 4 lim 1 1 1 2 lim 22 1 2 1 x x x x a xx 1 1ln lim 2 2 x xx x x x x x1 1 1ln 1 lim t t t x t t 1ln 1 1 lim 1 0 则原式令 则原式令 2 1 1 2 11 lim 2 1 1 1 lim 1ln lim 0 0 2 0 tt t t t t tt t tt 1 a 2 1 b 由 由 2 0 3 21cosesine lim 1 3 x xxx xx x 原式 解 原式 解 x xxxx xx x 6 2 sin cose cos sine lim 0 x x x x 3 1cose lim 0 3 cosesine lim 0 xx xx x 3 1 23 0 1e sine lim 2 x x x xx xx x 原式 解法 原式 解法 xx x x xx x x 2 1e lim 3 1cos limelim 0 2 00 3 1 2 1 6 1 0 1e lim 2 0 ln 1 0 x x x x x x x x x x x x x 1 1e 1e lim ln 1eln lim 0 0 ee 1e e lim1 1e e1e lim 1e 1e lim 000 eee x x x x xx x x x x xx x x xx x 1e0 时 时 2 elim1 ee 0 x x 上式上式 基本概念基本概念 基本性质基本性质 d xxf不定积分不定积分 原函数原函数 微分运算间关系与求导 微分运算间关系与求导 线性可加性线性可加性 法 分 积 法 分 积 换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法 有理函数的积分有理函数的积分 凑微分法凑微分法 三角代换三角代换 第二类换元第二类换元 倒代换倒代换 四种基本形式的积分四种基本形式的积分 可化为有理函数的积分可化为有理函数的积分 第一类换元第一类换元 第四章第四章不定积分不定积分 x x x d 1 1 4 2 例例 解解 x x x x d 1 1 1 2 2 2 分子分母同除以分子分母同除以 2 x 原式 原式 2 1 2 x x 1 d x x C x x 2 1 arctan 2 1 C x x 2 1 arctan 2 1 2 x x d 1 4 1 2 x 1 2 x x x d 1 1 4 x x x x d 1 1 1 2 1 2 2 2 x x x x d 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2