高二数学周末考试猜题卷普通用卷.pdf

第 1页 共 16页 高二数学周末考试卷高二数学周末考试卷 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 在等差数列 an 中 a1 2 a3 a5 10 则 a7 A 5B 8C 10D 14 2 已知等比数列 an 中 a1 a2 3 a3 a4 12 则 a5 a6 A 3B 15C 48D 63 3 已知 ABC 中 a 1 3 A 30 则 B 等于 A 3 B 3 或1t C 6 D 6 或12 4 在 ABC 中 若 AB 13 BC 3 C 120 则 AC A 1B 2C 3D 4 t 下列函数中 最小值是 2 的是 A 1 B 2 2 2 1 C 2 4 1 2 4 D log3 log 3 1 6 椭圆 2 16 2 1 中 以点 1 2 为中点的弦所在直线斜率为 A 16 B 32 C 64 D 32 7 已知抛物线 y2 2px p 0 上一点 M 的横坐标为 3 且满足 MF 2p 则抛物线方程为 A 2 2 B y2 4 C 2 1 2 D y2 6 8 若直线 线 2 与双曲线 2 2 6 的右支交于不同的两点 则实数 线 的取值范围是 A 1t 3 1t 3 B 1t 3 C 1t 3 D 1t 3 1 若 x y 满足约束条件 3 2 则 z x 2y 的取值范围是 A 6浔B 4浔C 6 D 4 1 在 ABC 中 内角 A B C 所对的边分别是 a b c 若 a 4 A 3 则该三角形面积的最大值是 A 2 2B 3 3C 4 3D 4 2 11 过点 2 1 且斜率为 1 的直线与抛物线 2 2 交于 两点 且 M 为 AB 的中点 则 p 的值为 A 1 2 B 1C 3 2 D 2 12 已知 F1 F2是双曲线 2 2 2 2 1 a 0 b 0 的左 右焦点 过 F1 的直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A B 若 ABF2为等边三角形 则双曲线的离心率为 A 7B 4C 2 3 3 D 3 第 2页 共 16页 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 若等比数列 an 的前 n 项和 Sn a 3n 2 则 a2 14 不等式 1 3 的解集是 1t 从抛物线 x2 4y 上一点 P 引抛物线准线的垂线 垂足为 M 且 PM 5 设抛物线的焦点为 F 则 MPF 的面积为 16 以下是关于圆锥曲线的四个命题 设 A B 为两个定点 k 为非零常数 若 PA PB k 则动点 P 的轨迹是双曲线 方程 2x2 5x 2 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 双曲线 2 2t 2 1 与椭圆 2 3t 2 1 有相同的焦点 以过抛物线的焦点的一条弦 AB 为直径作圆 则该圆与抛物线的准线相切 其中真命题为 写出所以真命题的序号 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 0 分 17 1 若抛物线的焦点是椭圆 2 64 2 16 1 左顶点 求此抛物线的标准方程 2 某双曲线与椭圆 2 64 2 16 1 共焦点 且以 y 3 为渐近线 求此双曲线的标准方程 18 已知公差不为 0 的等差数列 an 满足 a4 5 且 a3是 a1 a7的等比中项 1 求数列 an 的通项公式 2 求数列 1 1 的前 n 项和 Sn 第 3页 共 16页 19 如图 在 ABC 中 AB 2 cosB 1 3 点 D 在线段 BC 上 1 若 ADC 3 4 求 AD 的长 2 若 BD 2DC ADC 的面积为4 3 2 求sin h sin h的值 20 设递增等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 a2 3 S3 13 数列 bn 满足 b1 a1 点 P bn bn 1 在直线 x y 2 0 上 n N 求数列 an bn 的通项公式 设 cn 数列 cn 的前 n 项和 Tn 若 Tn 2a 1 恒成立 n N 求实数 a 的取值范围 第 4页 共 16页 21 已知 a b c 分别为 ABC 三个内角 A B C 的对边 cos 3sin h 求 A 若 3 求 ABC 周长的取值范围 22 已知圆 C x 1 2 y2 8 点 A 1 0 P 是圆 C 上任意一点 线段 AP 的垂直平分线交 CP 于点 Q 当点 P 在圆上运动时 点 Q 的轨迹为曲线 E 1 求曲线 E 的方程 2 若直线 l y kx m 与曲线 E 相交于 M N 两点 O 为坐标原点 求 MON 面积的最大值 第 t页 共 16页 答案和解析答案和解析 1 答案 B 解析 解 在等差数列 an 中 a1 2 a3 a5 10 2a4 a3 a5 10 解得 a4 5 公差 d 1 a7 a1 6d 2 6 8 故选 B 由题意可得 a4 5 进而可得公差 d 1 可得 a7 a1 6d 代值计算即可 本题考查等差数列的通项公式 属基础题 2 答案 C 解析 分析 本题考查等比数列通项公式的应用 根据条件建立方程关系或者利用等比数列的性质是解决本题的 关键 根据等比数列的性质进行求解即可 解答 解 a1 a2 3 a3 a4 12 a1 a2 q2 a3 a4 q2 4 a5 a6 a3 a4 q2 12 4 48 故选 C 3 答案 D 解析 解 由题意得 ABC 中 a 1 A 30 由得 sinB 又 b a 0 B 180 第 6页 共 16页 则 B 60 或 B 120 故选 D 根据题意和正弦定理求出 sinB 的值 由边角关系 内角的范围 特殊角的三角函数值求出 B 本题考查正弦定理 以及边角关系的应用 注意内角的范围 属于基础题 4 答案 A 解析 分析 本题考查三角形的解法 余弦定理的应用 考查计算能力 属于基础题 直接利用余弦定理求解即可 解答 解 在ABC 中 若 AB BC 3 C 120 AB2 BC2 AC2 2AC BCcosC 可得 13 9 AC2 3AC 则 AC2 3AC 4 0 解得 AC 1 或 AC 4 舍去 故选 A 5 答案 B 解析 解 对于 A x 0 时 函数的最小值是 2 故不正确 对于 B y 2 x 0 时 函数的最小值是 2 故正确 对于 C 运用基本不等式 等号不能取 故不正确 对于 D x 1 时 函数的最小值是 2 故不正确 故选 B 运用基本不等式 即可得出结论 本题考查基本不等式的运用 考查学生的计算能力 注意基本不等式的运用条件是关键 6 答案 D 解析 分析 本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系 在解决弦长的中点问题 常用 点差法 设而不 第 7页 共 16页 求 将弦所在直线的斜率 弦的中点坐标联系起来 相互转化 达到解决问题的目的 先设出弦的两端 点的坐标 分别代入椭圆方程 两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率 解答 解 设弦的两端点为 A x1 y1 B x2 y2 代入椭圆得 两式相减得 0 即 即 即 即 弦所在的直线的斜率为 故选 D 7 答案 B 解析 分析 根据抛物线的性质可得2p 3 解出p即可得出抛物线方程 本题考查了抛物线的简单性质 属于基础题 解答 解 抛物线的准线方程为 x MF 3 2p 解得 p 2 抛物线方程为 y2 4x 故选 B 8 答案 D 解析 分析 本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系 考查了函数思想的应用 圆锥曲线与不等式知识的综合 第 8页 共 16页 根据双曲线的方程求得渐近线方程 把直线与双曲线方程联立消去y 利用判别式大于0和k 1联立 求得 k 的范围 解答 解 渐近线方程为 y x 由消去 y 整理得 k2 1 x2 4kx 10 0 设 k2 1 x2 4kx 10 0 的两根为 x1 x2 直线 y kx 2 与双曲线 x2 y2 6 的右支交于不同的两点 k 0 故选 D 9 答案 D 解析 解 x y 满足约束条件 表示的可行域如图 目标函数 z x 2y 经过 C 点时 函数取得最小值 由解得 C 2 1 目标函数的最小值为 4 目标函数的范围是 4 故选 D 画出约束条件的可行域 利用目标函数的最优解求解即可 本题考查线性规划的简单应用 画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键 10 答案 C 解析 解 由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccosA 即 16 b2 c2 bc 2bc bc bc bc 16 S ABC bcsinA 4 第 页 共 16页 则 ABC 面积的最大值为 4 故选 C 由余弦定理列出关系式 把 a cosA 的值代入并利用基本不等式求出 bc 的最大值 利用三角形面积公 式求出三角形 ABC 面积的最大值即可 此题考查了余弦定理 三角形面积公式 以及基本不等式的运用 熟练掌握公式及定理是解本题的关 键 11 答案 B 解析 分析 本题考查直线与抛物线的位置关系 考查点差法的运用 考查学生分析解决问题的能力 比较基础 利用点差法 结合直线的斜率 即可求出 p 的值 解答 解 设 则 两式相减 得 依题意 于是 因此 故选 B 12 答案 A 解析 解 因为 ABF2为等边三角形 不妨设 AB BF2 AF2 m A 为双曲线上一点 F1A F2A F1A AB F1B 2a B 为双曲线上一点 则 BF2 BF1 2a BF2 4a F1F2 2c 由 ABF2 60 则 F1BF2 120 在 F1BF2中应用余弦定理得 4c2 4a2 16a2 2 2a 4a cos120 得 c2 7a2 则 e2 7 e 第 1 页 共 16页 故选 A 由双曲线的定义 可得 F1A F2A F1A AB F1B 2a BF2 BF1 2a BF2 4a F1F2 2c 再在 F1BF2中应 用余弦定理得 a c 的关系 由离心率公式 计算即可得到所求 本题考查双曲线的定义 方程和性质 考查余弦定理的运用 考查运算能力 属于中档题 13 答案 12 解析 解 等比数列 an 的前 n 项和 Sn a 3n 2 分别令 n 1 2 3 可得 a1 3a 2 a1 a2 9a 2 a1 a2 a3 27a 2 解得 a1 3a 2 a2 6a a3 18a 6a 2 3a 2 18a 解得 a 2 则 a2 12 故答案为 12 利用递推关系可得 a1 a2 a3 再利用等比数列的性质即可得出 本题考查了等比数列的通项公式及其性质 递推关系 考查了推理能力与计算能力 属于中档题 14 答案 1 2 解析 分析 本题考查不等式的解法 移项后通分是关键 属于基础题 解答 解 由题意得 即 解得 x 0 或 故答案为 15 答案 10 解析 第 11页 共 16页 分析 本题主要考查了抛物线的应用 解题的关键是灵活利用了抛物线的定义 先设处 P 点坐标 进而求得 抛物线的准线方程 进而求得P点横坐标 代入抛物线方程求得P的纵坐标 进而利用三角形面积公式 求得答案 解答 解 设 P x0 y0 依题意可知抛物线准线 y 1 MPF 的面积为 故答案为 10 16 答案 解析 解 不正确 若动点 P 的轨迹为双曲线 则 k 要小于 A B 为两个定点间的距离 当 k 大于 A B 为两 个定点间的距离时动点 P 的轨迹不是双曲线 正确 方程 2x2 5x 2 0 的两根分别为和 2 和 2 可分别作为椭圆和双曲线的离心率 正确 双曲线有相同的焦点 焦点在 x 轴上 焦点坐标为 0 正确 不妨设抛物线为标准抛物线 y2 2px p 0 即抛物线位于 Y 轴的右侧 以 X 轴为对称轴 设过焦点的弦为 PQ PQ 的中点是 M M 到准线的距离是 d 而 P 到准线的距离 d1 PF Q 到准线的距离 d2 QF 又 M 到准线的距离 d 是梯形的中位线 故有 d 由抛物线的定义可得 半径 所以圆心 M 到准线的距离等于半径 所以圆与准线是相切 故答案为 不正确 若动点 P 的轨迹为双曲线 则 k 要小于 A B 为两个定点间的距离 正确 方程 2x2 5x 2 0 的两根和 2 可分别作为椭圆和双曲线的离心率 正确 焦点在 x 轴上 焦点坐标为 0 通过抛物线的性质即可说明正误 第 12页 共 16页 本题主要考查了圆锥曲线的共同特征 考查椭圆和双曲线的基本性质 解题时要准确理解概念 基本 知识的理解与应用 属于中档题 17 答案 解 1 椭圆 2 64 2 16 1 的 a 8 左顶点为 8 0 设抛物线的方程为 y2 2px p 0 可得 2 8 解得 p 16 则抛物线的方程为 y2 32x 2 双曲线与椭圆 2 64 2 16 1 共焦点 64 16 0 即为 4 3 0 设双曲线的方程为 2 2 2 2 1 a 0 b 0 则 a2 b2 48 渐近线方程为 y x 可得 3 解得 a 2 3 b 6 则双曲线的方程为 2 12 2 36 1 解析 1 求得椭圆的左顶点 设抛物线的方程为 y2 2px p 0 可得 8 求得 p 即可得到所求方程 2 求得椭圆的焦点 设双曲线的方程为 1 a 0 b 0 可得渐近线方程 以及 a b 的方程组 解得 a b 即可得到所求双曲线的方程 本题考查椭圆 双曲线和抛物线的方程和性质 主要是焦点 顶点和渐近线方程 考查方程思想和运 算能力 属于基础题 18 答案 解 1 设等差数列 an 的公差为 d d 0 a4 5 a3是 a1 a7的等比中项 3 2 1 7 即 4 2 4 3 4 3 a4 5 第 13页 共 16页 5 d 2 5 3d 5 3d 解得 d 1 或 d 0 舍 an n 1 2 由题意有 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 1 1 2 1 2 1 2 2 4 解析 本题考查等差数列的通项公式的运用 考查数列的求和方法 裂项相消求和 等比数列的性质的应用 考查运算能力 属于中档题 1 设等差数列 an 的公差为 d d 0 运用等比数列中项性质和等差数列通项公式 解方程可得公差 d 进而得到所求通项 2 求得 由裂项相消求和 化简可得所求和 19 答案 解 1 在三角形中 cosB 1 3 sinB 2 2 3 在 ABD 中 由正弦定理得 t h h t 又 AB 2 h 4 sinB 2 2 3 AD 8 3 2 BD 2DC S ABD 2S ADC S ABC 3S ADC 又 h 4 3 2 4 2 S ABC 1 2 t BC 6 h 1 2 h t h h 1 2 h t h S ABD 2S ADC t h t h 2 在 ABC 中 由余弦定理得 AC2 AB2 BC2 2AB BC cos ABC AC 4 2 t h t h 2 4 2 解析 第 14页 共 16页 1 求出 sinB 由正弦定理得 由此能求出 AD 2 推导出 S ABD 2S ADC S ABC 3S ADC BC 6 从而得到 由 此利用余弦定理能求出的值 本题考查线段长的求法 考查两个角的正弦值的比值的求法 是中档题 解题时要认真审题 注意正 弦定理 余弦定理的合理运用 20 答案 解 递增等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 a2 3 S3 13 3 1 2 3 13 2 3 解得 q 3 或 q 1 3 数列 an 为递增等比数列 所以 q 3 a1 1 an 是首项为 1 公比为 3 的等比数列 3 1 3 分 点 P bn bn 1 在直线 x y 2 0 上 bn 1 bn 2 数列 bn 是首项为 1 公差为 2 的等差数列 bn 1 n 1 2 2n 1 5 分 h 2 1 3 1 1 3 3 31 t 32 2 1 3 1 1 3 1 3 3 32 t 33 2 3 3 1 2 1 3 7 分 两式相减得 2 3 1 3 2 3 2 32 2 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 1 3 1浔 1 1 3 2 1 3 2 1 3 n 1 2 1 3 8 分 所以 3 1 2 3 2 2 1 2 3 1 3 1 3 1 9 分 1 3 2 3 3 1 3 1 2 1 3 10 分 Tn T1 1 若 Tn 2a 1 恒成立 则 1 2a 1 解得 a 1 第 1t页 共 16页 实数 a 的取值范围 a a 1 12 分 解析 由已知条件 利用等比数列的通项公式和前 n 项和公式求出公比 再由递增等比数列的性质能求 出 an 的通项公式 由点P bn bn 1 在直线x y 2 0上 知bn 1 bn 2 由此能求出数列 bn 的通项公式 由 利用错位相减法求出数列 cn 的前n项和Tn 求出Tn的最小值 由此能求出实 数 a 的取值范围 本题考查数列的通项公式的求法 是中档题 解题时要认真审题 注意错位相减法和等价转化思想的 合理运用 21 答案 解 1 ht 3 t h 由正弦定理可得 t ht 3 t t t t t ht 3 t t t t 3 t ht 1 t 3 1 2 A 30 30 A 60 2 由题意 b 0 c 0 b c a 3 由余弦定理 3 2 h2 2 hht 3 h 2 3 h 1 4 h 2 当且仅当 b c 时取等号 b c 2 3 b c 3 3 b c 2 3 2 3 h 3 3 ABC