数学必修2直线与方程典型例题.pdf

第三章 直线与方程 3 1 直线的倾斜角与斜率 3 1 1 倾斜角与斜率 知识点归纳 1 直线的倾斜角 2 直线的斜率 3 直线的斜率公式 典型例题 题型 一 求直线的倾斜角 例 1 已知直线的斜率的绝对值等于 则直线的倾斜角为 A 60 B 30 C 60 或120 D 30 或150 变式训练 设直线过原点 其倾斜角为 将直线绕原点沿逆时针方向旋转45 得到直线 则的倾斜角为 A B C D 当0 135 时为 当135 180 时 为 题型 二 求直线的斜率 例 2如图所示菱形ABCD中 BAD 60 求菱形ABCD各边和两条对角线 所在直线的倾斜角和斜率 变式训练 已知过两点 的直线l的倾斜角为45 求实数的值 题型 三 直线的倾斜角与斜率的关系 例3右图中的直线l1 l2 l3的斜率分别为k1 k2 k3 则 A k1 k2 k3 B k3 k1 k2 C k3 k2 k1 D k1 k3 k2 拓展 一 三点共线问题 例4 已知三点A a 2 B 3 7 C 2 9a 在一条直线上 求实数a的 值 变式训练 若三点P 2 3 Q 3 R 4 共线 那么下列成立的是 A B C D 拓展 二 与参数有关问题 例 5 已知两点A 2 3 B 3 0 过点P 1 2 的直线与线段AB始终有公 共点 求直线的斜率的取值范围 变式训练 已知两点 直线过定点且与线段AB相交 求直线的斜率的取值范 围 拓展 三 利用斜率求最值 例 6 已知实数 满足当2 3时 求的最大值与最小值 变式训练 利用斜率公式证明不等式 且 3 1 2 两条直线平行与垂直的判定 知识点归纳 1 直线平行的判定 2 两条直线垂直的判定 注意垂直与x轴和y轴的两直线 典型例题 题型 一 两条直线平行关系 例 1 已知直线经过点M 3 0 N 15 6 经过点 R 2 S 0 试判断与是否平行 变式训练 经过点和的直线平行于斜率等于1的直线 则的值是 A 4 B 1 C 1或3 D 1或4 题型 二 两条直线垂直关系 例 2 已知的顶点 其垂心为 求顶点的坐标 变式训练 1 的倾斜角为45 经过点P 2 1 Q 3 6 问与是否垂直 2 直线的斜率是方程的两根 则的位置关系是 题型 三 根据直线的位置关系求参数 例 3 已知直线经过点A 3 a B a 2 3 直线经过点C 2 3 D 1 a 2 1 如果 则求a的值 2 如果 则求a的值 题型 四 直线平行和垂直的判定综合运用 例4 四边形ABCD的顶点为 试判断四边形ABCD的形状 变式训练 已知A 1 1 B 2 2 C 3 3 求点D 使直线 CD AB 且CB AD 探点 一 数形结合思想 例 5 已知过原点O的一条直线与函数y log8x的图象交于A B两点 分 别过点A B作y轴的平行线与函数y log2x的图象交于C D两点 1 证明 点C D和原点O在同一直线上 2 当BC平行于x轴 时 求点A的坐标 探点 二 分类讨论思想 例6 的顶点 若为直角三角形 求m的值 3 2 直线的方程 3 2 1 直线的点斜式方程 知识点归纳 1 直线的点斜式方程 2 直线的斜截式方程 典型例题 题型 一 求直线的方程 例1 写出下列点斜式直线方程 1 经过点 斜率是4 2 经过 点 倾斜角是 例 2 倾斜角是 在轴上的截距是3的直线方程是 变式训练 1 已知直线l过点 它的倾斜角是直线的两倍 则直线l的方程为 2 已知直线在轴上的截距为 3 且它与两坐标轴围成的三角形的面积 为6 求直线的方程 3 将直线绕它上面一点 1 沿逆时针方向旋转15 得到的直线方程 是 题型 二 利用直线的方程求平行与垂直有关问题 例 3 已知直线的方程为的方程为 直线与平行且与在轴上的截距相 同 求直线的方程 探究 一 直线恒过定点或者象限问题 例 4 已知直线 1 求直线恒经过的定点 2 当时 直线上的点都在轴上方 求实数的取值范围 探究 二 直线平移 例 5 已知直线l y 2x 3 将直线l向上平移2个单位长度 再向右平移4 个单位后得到的直线方程为 3 2 2 直线的两点式方程 知识点归纳 1 直线的两点式方程 2 直线的截距式方程 典型例题 题型 一 求直线方程 例 1 已知 顶点为 求过点且将 面积平分的直线方程 变式训练 1 已知点A 1 2 B 3 1 则线段AB的垂直平分线的方程是 A B C D 2 已知 则过点的直线的方程是 A B C D 例 2求过点 并且在两轴上的截距相等的直线方程 变式训练 已知直线l过点 3 1 且与两轴围成一个等腰直角三角 形 则l的方程为 题型 二 直线方程的应用 例 3 长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李 如果超过 规定 则需要购买行李票 行李费用y 元 是行李重量x 千克 的一 次函数 其图象如图所示 1 求y与x之间的函数关系式 并说明自变量x的取值范围 2 如果某旅客携带了75千克的行李 则应当购买多少元行李 票 探究 一 直线与坐标轴围成的周长及面积 例 4 已知直线过点 且与两坐标轴构成面积为4的三角形 求直线的方 程 探究 二 有关光的反射 例 5 光线从点A 3 4 发出 经过x轴反射 再经过y轴反射 光线 经过点 B 2 6 求射入y轴后的反射线的方程 变式训练 已知点 点P是x轴上的点 求当最小时的点P的坐标 3 2 3 直线的一般式方程 知识点归纳 1 直线的一般式 2 直线平行与垂直的条件 典型例题 题型 一 灵活选用不同形式求直线方程 例1 根据下列各条件写出直线的方程 并且化成一般式 1 斜率是 经过点A 8 2 2 经过点B 4 2 平行 于轴 3 在轴和轴上的截距分别是 3 4 经过两点 3 2 5 4 题型 二 直线不同形式之间的转化 例 2 求出直线方程 并把它化成一般式 斜截式 截距式 过点 题型 三 直线一般式方程的性质 例 3直线方程的系数A B C分别满足什么关系时 这条直线分别有以 下性质 1 与两条坐标轴都相交 2 只与x轴相交 3 只与y轴相 交 4 是x轴所在直线 5 是y轴所在直线 变式训练 已知直线 1 求证 不论为何值 直线总经过第一象限 2 为使直线不 经过第二象限 求的取值范围 题型 四 运用直线平行垂直求参数 例 4 已知直线 问m为何值时 1 2 变式训练 1 求经过点且与直线平行的直线方程 2 求经过点且与直线垂直的直线方程 题型 五 综合运用 例 5 已知直线 求m的值 使得 1 l1和l2相交 2 l1 l2 3 l1 l2 4 l1和l2重合 3 3 直线的交点坐标与距离公式 3 3 1 两直线的交点坐标 3 3 2 两点间的距离 知识点归纳 1 两条直线的焦点坐标 2 两点间的距离公式 典型例题 题型 一 求直线的交点坐标 例 1 判断下列各对直线的位置关系 如果相交 求出交点坐标 1 直线l1 2x 3y 10 0 l2 3x 4y 2 0 2 直线l1 l2 题型 二 三条直线交同一点 例 2 若三条直线相交于一点 则k的值等于 变式训练 1 设三条直线 交于一点 求k的值 2 试求直线关于直线 对称的直线l的方程 题型 三 求过交点的直线问题 例 3 求经过两条直线和的交点 且平行于直线的直线方程 变式训练 已知直线l1 2x 3y 10 0 l2 3x 4y 2 0 求经过l1和l2的交点 且与直线l3 3x 2y 4 0垂直的直线l的方程 题型 四 两点间距离公式应用 例 4 已知点且 则a的值为 变式训练 在直线上求一点 使它到点的距离为 并求直线的方程 题型 五 三角形的判定 例 5已知点 判断的类型 探究 一 直线恒过定点问题 例 6 已知直线 求证 无论a为何值时直线总经过第一象限 变式训练 若直线l y kx与直线2x 3y 6 0的交点位于第一象限 求直线l的倾斜角的取值范围 探究 二 利用对称性求最值问题 和最小 差最大 例 7 直线2x y 4 0上有一点P 求它与两定点A 4 1 B 3 4 的距 离之差的最大值 变式训练 已知 点为直线上的动点 求的最小值 及取最小值时点的 坐标 3 3 3 点到直线的距离 3 3 4 两条平行直线间的距离 知识点归纳 1 点到直线的距离 2 两条平行间直线的距离 拓展 点关于点 直线对称点的求法 典型例题 题型 一 利用点到直线距离求参数 例 1 已知点到直线的距离为1 则a A B C D 题型 二 利用点到直线距离求直线的方程 例 2 求过直线和的交点并且与原点相距为1的直线l的方程 变式训练 直线l过点P 1 2 且M 2 3 N 4 5 到的距离相等 则直线的方 程是 题型 三 利用平行直线间的距离求参数 例 3若两平行直线和之间的距离为 求的值 变式训练 两平行直线间的距离是 A B C D 题型 四 利用平行直线间的距离求直线的方程 例 4 与直线平行且与的距离2的直线方程是 题型 五 点 直线间的距离的综合运用 例 5 已知点P到两个定点M 1 0 N 1 0 距离的比为 点N到 直线PM的距离为1 求直线PN的方程 探究 一 与直线有关