高三第二轮复习专题——函数与方程(推荐)

2012 届高三第一学期复习讲义 本教案共 7 页 第 页 1 01 01 月月 2828 日日 专题第专题第 1 1 讲 函数与方程讲 函数与方程 一 一 思想方法诠释思想方法诠释 函数与方程的思想是中学数学的基本思想 几乎渗透到中学数学的各个领域 在解题 中有着广泛的应用 也是历年高考的重点 1 1 函数思想 函数思想 函数思想 是用运动和变化的观点 集合与对应的思想 去分析和研究数学问题中的 数量关系 是指用函数的概念和性质去分析问题 转化问题和解决问题 函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题 经常利用的性质是 的 1 f xfx 单调性 奇偶性 周期性 最大值和最小值 图像变换等 要求我们熟练掌握的是一次函 数 二次函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数的具体特性 在解题中 善于挖 掘题目中的隐含条件 构造出函数解析式和妙用函数的性质 是应用函数思想的关键 应用函数思想的几种常见题型是 1 有关的不等式 方程 最小值和最大值之类的问题 利用函数观点加以分析 2 含有多个变量的数学问题中 选定合适的主变量 从而揭示其中的函数关系 3 等差 等比数列中 通项公式 前n项和的公式 都可以看成n的函数 数列问题也 可以用函数方法解决 4 实际应用问题 翻译成数学语言 建立数学模型和函数关系式 应用函数性质或 不等式等知识解答 5 遇到变量 构造函数关系解题 2 2 方程思想 方程思想 方程思想 是从问题的数量关系入手 运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型 方程 不等式 或方程与不等式的混合组 然后通过解方程 组 或不等式 组 来 使问题获解 有时 还实现函数与方程的互相转化 接轨 达到解决问题的目的 二 二 例题选讲例题选讲 例例 1 1 对于 1 1 a的一切值 使不等式 axaxx 21 3 2 3 2 2 恒成立的x的取值范围是 分析 从一个含有多变元的数学问题里 选定合适的主变元 从而揭示其中主要的函数关 系 解 解 axaxx 21 3 2 3 2 2 且1 3 2 0 axaxx 21 2 即0 1 1 2 xxa 当1 x时 不定式 不成立 当1 x时 设 af 2 1 1 xxa 当0 1 0 1 1 1 fafafx恒成立 则只需上的增函数 欲使时时 即 2 01 0 1 1 2 xxxx 又当0 1 0 1 1 1 fafafx恒成立 则只需上的减函数 欲使时时 即 0 1 0 1 1 2 xxxx 故x的取值范围时 2 0 点评 本解的巧妙之处是 反客为主 求 x 反而以 a 为主变元对 x 进行讨论 这才是真正 切中要害 若以 x 为主元对 a 进行讨论 则问题的解决就繁就难多了 例例 2 2 设等差数列的前 n 项和为 已知 n a n S12 3 a 12 0S 13 0S 1 求公差的取值范围 d 2012 届高三第一学期复习讲义 本教案共 7 页 第 页 2 2 指出 中哪一个最大 并说明理由 1 S 2 S 3 S 12 S 解 解 1 由得 12 3 ada212 1 0 0 12 S 1 126614442add 13 Sdda521567813 1 d 3 7 24 2 nddnd nn naSn 2 5 12 2 1 2 1 2 1 d 0 是关于 n 的二次函数 对称轴方程为 x n S d 12 2 5 d 3 6 当 n 6 时 最大 7 24 d 12 2 5 2 13 n S 例例 3 3 为了更好的了解鲸的生活习性 某动物保护组织在受伤的鲸身上装了电子监测装置 从海洋放归点 A 处 如图 1 所示 把它放回大海 并沿海岸线由西向东不停地对它进行 了长达 40 分钟的跟踪观测 每隔 10 分钟踩点测得数据如下表 设鲸沿海面游动 然后又 在观测站 B 处对鲸进行生活习性的详细观测 已知 AB 15km 观测站 B 的观测半径为 5km 观测时刻 t 分钟 跟踪观测点到放归 点的距离 a km 鲸位于跟踪观测点正北 方向的距离 b km 1010 999 2021 413 3031 732 4042 001 1 据表中信息 计算出鲸沿海岸线方向运动的速度 试写出 a b 近似地满足的关 系式并画出鲸的运动路线草图 2 若鲸继续以 1 运动的路线运动 试预测 该鲸经过多长时间 从放归时开设 计时 可进入前方观测站 B 的观测范围 并求出可持续观测的时间及最佳观测时刻 注 6 40 精确到 1 分钟 41 解 解 1 由表中的信息可知 鲸沿海岸线方向运动的速度为 km 分钟 10 1 a b 近似地满足的关系式为 运动路线如图ab 2 以 A 为原点 海岸线 AB 为 x 轴建立直角坐标系 设鲸所在 位置点 P x y 由 得 又 B 15 0 xy 依题意 观测站 B 的观测范围是 5 y 0 又 22 15 yx xy 25 解得 11 30 x 17 70 xx 2 15 由 得 该鲸经过 t 113 分钟可进入前方观测站 B 的观测范围 10 1 30 11 持续时间 64 分钟 10 1 30 1170 17 海岸 西东 图 1 A B AB y x 图 2 2012 届高三第一学期复习讲义 本教案共 7 页 第 页 3 该鲸与 B 站的距离 d 22 15 yx 22529 2 xx 当 d 最小时为最佳观测时刻 这时 x 14 5 t 145 分钟 2 29 例例 4 4 某建筑的金属支架如图所示 根据要求至少长 2 8m 为的中点 到ABCABB 的距离比的长小 0 5m 已知建筑支架的材料每米的价格一定 问怎DCD 0 60BCD 样设计的长 可使建造这个支架的成本最低 AB CD 解 解 设连结BD 1 4 BCam aCDbm 则在中 CDB 222 1 2cos60 2 bbaab 设 2 1 4 1 a b a 2 1 4 22 1 a baa a 2 8 1 10 4 2 tat 则 2 1 1 3 4 22 1 347 4 t batt tt 等号成立时0 50 4 1 5 4 tab 答 当时 建造这个支架的成本最低 3 4ABm CDm 例例 5 5 给定抛物线 是的焦点 过点的直线 与相交于两点 xyC4 2 FCFlCBA 1 设 的斜率为 1 求与的夹角的大小 lOAOB 2 设 若 求 在轴上的截距的变化范围 AFFB 9 4 ly 解解 1 C的焦点为F 1 0 直线l的斜率为 1 所以l的方程为 1 xy 将代入方程 并整理得 1 xyxy4 2 0 16 2 xx 设则有 2211 yxByxA 1 6 2121 xxxx 3 1 2 2121 2121 2211 xxxx yyxx yxyxOBOA 41 16 4 212121 2 2 2 2 2 1 2 1 xxxxxx yxyxOBOA 41 143 cos OBOA OBOA OBOA 所以夹角的大小为OBOA与 41 143 arccos 2 由题设 得 AFFB 1 1 1122 yxyx B A C D 地面 2012 届高三第一学期复习讲义 本教案共 7 页 第 页 4 即 1 2 12 1 1 yy xx 由 得 2 1 22 2 yy 4 4 2 2 21 2 1 xyxy 1 2 2 xx 联立 解得 依题意有 2 x 0 又 F 1 0 得直线l方程为 2 2 BB或 1 2 1 1 2 1 xyxy 或 当时 l在方程y轴上的截距为 9 4 1 2 1 2 或 把看作函数 设 1 2 9 4 1 2 g 可知在 4 9 上是递减的 1 2 1 2 1 2 g 1 2 g 或用导数 证明是减函数 0 1 1 2 g g 4 3 1 2 3 4 3 4 1 2 4 3 直线l在y轴上截距的变化范围为 3 4 4 3 4 3 3 4 例例 6 6 关于x的方程043 4 9 xx a恒有解 求a的取值范围 分析 通过换元将方程变为二次方程恒有正根 同时利用根与系数的关系 解 解 法一 设 0 3 tt x 则原方程有解即方程04 4 2 tat有正根 04 0 4 0 21 21 xx axx即 4 016 4 2 a a 4 80 a aa或 解得 8 a 方法二 设 4 4 2 tattf 当 8 0 016 4 0 2 aaa或时 即 不符合题意得时 02 0 2 0 2 tttfa 符合题意 得时 02 0 2 8 2 tttfa8 a 8 4 0 2 4 4 0 0 8 0 aa a faa即故只需对称轴时或即 综上可得 8 a 点评 对于多元方程 含参数 通常有两类办法 一是换元 将问题转化为二次方程 利用根与系数的关系或判别式 或者利用三角函数的有界性加以解决 二是分离变量构造 函数 把方程有解转化为求函数的值域 再根据函数的图像和性质来解决 三 三 巩固练习巩固练习 2012 届高三第一学期复习讲义 本教案共 7 页 第 页 5 1 不等式对满足的一切实数的取值都成立 求的取值范围 2 211xm x 2m mx 分析 此问题由于常见的思维定势 易把它看成关于 x 的不等式讨论 然而 若变换一个 角度以 m 为变量 即关于 m 的一次不等式 x 1 m 2x 1 0 在 2 2 上恒成立的问题 2 对此的研究 设 f m x 1 m 2x 1 则问题转化为求一次函数 或常数函数 f m 的 2 值在 2 2 内恒为负值时参数 x 应该满足的条件 f f 20 20 解 解 问题可变成关于 m 的一次不等式 x 1 m 2x 1 m x 1 的解集是 2 2 时求 2 m 的值 关于 x 的不等式 2x 1 m x 1 在 2 2 上恒成立时求 m 的范围 2 一般地 在一个含有多个变量的数学问题中 确定合适的变量和参数 从而揭示函数 关系 使问题更明朗化 或者含有参数的函数中 将函数自变量作为参数 而参数作为函 数 更具有灵活性 从而巧妙地解决有关问题 2 已知不定式 12 7 1 log 12 1 2 1 2 1 1 1 2 a nnn 对一切大于 1 的自然数 n 都 成立 求实数 a 的取值范围 分析 nnn2 1 2 11 无法求和 常规数列的方法就不起作用了 故必须用函数的思 想 用研究函数单调性的方法研究这个数列 求出最小值 解 解 令时 有当且2 2 2 1 2 11 nnNn nnn nf 0 12 1 2 1 1 1 22 1 12 1 1 f nnnnn nfn 所以 1 nfnfnf 为增函数 且 12 7 2 min fnf 由题意得21 0 1 log 12 7 1 log 12 1 12 7 22 aaa解得 点评 利用数列的函数性质 本例为单调性 求出 nf的最小值 用函数方法解决问题 正是函数思想的核心 3 图 1 是某种称为 凹槽 的机械部件的示意图 图 2 是凹槽的横截面 阴影部分 示意 图 其中四边形 ABCD 是矩形 弧 CmD 是半圆 凹槽的横截面的周长为 4 已知凹槽的强度 与横截面的面积成正比 比例系数为3 设 2 ABx BCy 1 写出关于函数表达式 并指出的取值范围 yxx 2 求当取何值时 凹槽的强度最大 x 2012 届高三第一学期复习讲义 本教案共 7 页 第 页 6 解 解 1 易知半圆 CmD 的半径为 x 故半圆 CmD 的弧长为x 所以 422xyx 得 4 2 2 x y 依题意知 0 xy 得 4 0 4 x 所以 4 2 2 x y 4 0 4 x 2 依题意 设凹槽的强度为 T 横截面的面积为 S 则有 2 33 2 2 x TSxy 2 4 2 3 2 22 xx x 2 3 3 4 2 2 xx 2 3 43 48 3 24343 x 因为 44 0 434 所以 当 4 43 x 时 凹槽的强度最大 答 当 4 43 x 时 凹槽的强度最大 注 解析几何 立体几何及实际应用问题中的最优化问题 一般是利用函数的思想解决 思路是先选择恰当的变量建立目标函数 然后再利用有关知识 求函数的最值 4 设是椭圆上的动点 定点 求动点到定点距离的 P x y 22 1 42 xy 1 0 2 M PM 最大值与最小值 解 解 由 1 得 y2 2 x2 x2 4 y2 2 1 2 PM 2 x 2 y2 x2 x 2 x2 x2 2x x 1 1 2 1 4 1 2 1 2 9 4 1 2 2 y2 2 x2 0 7 4 1 2 2 x 2 当 x 1 时 PM 2取得最小值 即 PM 的最小值为 7 4 7 2 当 x 2 时 PM 2取得最大值 即 PM 的最大值为 25 4 5 2 5 设 如果当时有意义 求实数的取值范围 124 lg 3 xx a f x 1x f xa 分析 当 x 1 时 f x lg有意义的函数问题 转化为 1 2 4 a 0 124 3 xx a xx 在 x 1 上恒成立的不等式问题 2012 届高三第一学期复习讲义 本教案共 7 页 第 页 7 解 解 由题设可知 不等式 1 2 4 a 0 在 x 1 上恒成立 xx 即 a 0 在 x 1 上恒成立 1 2 2x 1 2 x 设 t 则 t 又设 g t t t a 其对称轴为 t 1 2 x 1 2 2 1 2 t t a 0 在 上无实根 即 g a 0 得 a 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 3 4 所以 a 的取值范围是 a 3 4 注 对于不等式恒成立 引入新的参数化简了不等式后 构造二次函数利用函数的图像 和