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文档简介

1 求极限 解 令 完 2 任何两个无穷小量都可以比较吗 解 不能 都是无穷 小量 完 例如 内容小结 1 无穷小的比较的概念 记作 1 无穷小的比较的概念 记作 注 无穷小比的极限不同 反映了同一过程中 两无穷小趋于零的速度快慢 内容小结 内容小结 2 主要性质 3 常用等价无穷小 且为常数 完 常用等价无穷小 根据等价无穷小的定义 可以证明 有下列常用等价无穷小关系 注 为无穷小 在常用等价无穷小 中 等价关系依 然成立 常用等价无穷小 注 为无穷小 在常用等价无穷小 中 等价关系依 然成立 例如 时 有 从而 完 无穷小的比较 引例 都是无 穷小 不存在 不可比 无穷小比的极限不同 反映了趋向于零的快慢程 度不同 常用等价无穷小 注 为无穷小 在常用等价无穷小 中 等价关系依 然成立 无穷小的比较 无穷小比的极限不同 反映了趋向于零的快慢程 度不同 无穷小的比较 无穷小比的极限不同 反映了趋向于零的快慢程 度不同 定义 且 1 记作 3 小 特别地 若 若 若 2 若 无穷小的比较 3 小 特别地 若 若 无穷小的比较 3 小 特别地 若 若 记作 4 阶无穷小 若 完 例1 证明 解 例2 解 完 例3 将下列各量与无穷小量 进行比较 1 2 3 解 1 因为 是无穷小量 又因为 所以 例3 将下列各量与无穷小量 进行比较 1 2 3 解 2 因为 是无穷小量 又 所以 例3 将下列各量与无穷小量 进行比较 1 2 3 解 3 由 是无穷小量 但是 不存在 所以 完 常用等价无穷小 根据等价无穷小的定义 可以证明 有下列常用等价无穷小关系 注 为无穷小 在常用等价无穷小 中 等价关系依 然成立 常用等价无穷小 注 为无穷小 在常用等价无穷小 中 等价关系依 然成立 常用等价无穷小 注 为无穷小 在常用等价无穷小 中 等价关系依 然成立 例如 时 有 从而 完 例4 证明 证 令 则 因此 即有等价关系 上述证明同时也证明了等价关系 完 等价无穷小替换定理 存在 则 证 注 1 2 完 不能滥用等价无穷小代换 对于代数和中各无穷小不能分别替换 且 例5 求极限 解 由于 另外 则 因数列极限可视为函数极限的子列 故可得 完 例6 求 解 故 完 例7 求 错解 原式 正解 故 完 例8 求 解 故 完 例9 计算 解 故 完 例10 计算 解 所以 完 例11 计算 解 原式 完 例12 求 解 先用对数性质化简分子 得 原式 有 所以 原式 完 等价无穷小的充要条件 定理2 证 必要性 设 则 因此 即 充分性 设 则 因此 等
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