1997年全国大学生数学建模竞赛题目A题

19971997 年全国大学生数学建模竞赛题目年全国大学生数学建模竞赛题目 A A 题题 零件的参数设计零件的参数设计 一件产品由若干零件组装而成 标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数 零 件参数包括标定值和容差两部分 进行成批生产时 标定值表示一批零件该参数的平均值 容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围 若将零件参数视为随机变量 则标定值代表 期望值 在生产部门无特殊要求时 容差通常规定为均方差的 3 倍 进行零件参数设计 就是要确定其标定值和容差 这时要考虑两方面因素 一是当各零件组装成产品时 如果 产品参数偏离预先设定的目标值 就会造成质量损失 偏离越大 损失越大 二是零件容 差的大小决定了其制造成本 容差设计得越小 成本越高 试通过如下的具体问题给出一 般的零件参数设计方法 粒子分离器某参数 记作 由七个零件的参数 记作 决y 1234567 x xxxxxx 定 经验公式为 3 0 561 16 442 0 85 3122 52167 1 2 62 1 0 36 174 42 xx xxxx y xxxx x 的目标值 记作 为 1 50 当偏离时 产品为次品 质量损失为y 0 yy 0 0 1y 1000 元 当偏离时 产品为废品 质量损失为 9000 元 y 0 0 3y 零件参数的标定值有一定的容许变化范围 容差分为 A B C 三个等级 用与标定值 的相对值表示 A 等为 B 等为 C 等为 七个零件的参数标定值的容许1 5 10 范围 及不同容差等级的成本 元 如下表 符号 表示五此等级零件 标定值容许范围C 等B 等A 等 1 x 0 075 0 125 25 2 x 0 225 0 375 2050 3 x 0 075 0 125 2050200 4 x 0 075 0 125 50100500 5 x 1 125 1 875 50 6 x 12 20 1025100 7 x 0 5625 0 935 25100 现进行成批生产 每批产量 1000 个 在原设计中 七个零件参数标定值为 1 0 1x 容差均取最便宜的等级 2 0 3x 3 0 1x 4 0 1x 5 1 5x 6 16x 7 0 75x 请你综合考虑偏离造成的损失和零件成本 重新设计零件参数 包括标定值和容y 0 y 差 并与原设计比较 总费用降低了多少 B B 题题 截断切割截断切割 某些工业部门 如贵重石材加工等 采用截断切割的加工方式 这 里 截断切割 是 指将物体沿某个切割平面分成两部分 从一个长方体中加工出一个已知尺寸 位置预定的 长方体 这两个长方体的对应表面是平行的 通常要经过 6 次截断切割 设水平切割单 位面积的费用是垂直切割单位面积费用的 r 倍 且当先后两次垂直切割的平面 不管它们 之间是否穿插水平切割 不平行时 因调整刀具需额外费用 e 试为这些部门设计一种安 排各面加工次序 称 切割方式 的方法 使加工费用最少 由工艺要求 与水平工 作台接触的长方体底面是事先指定的 详细要求如下 1 需考虑的不同切割方式的总数 2 给出上述问题的数学模型和求解方法 3 试对某部门用的如下准则作出评价 每次选 择一个加工费用最少的待切割面进行切割 4 对于 e 0 的情形有无简明的优化准则 5 用以下实例验证你的方法 待加工长方体和成品长方体的长 宽 高分别为 10 14 5 19 和 3 2 4 二者左侧面 正面 底面之间的距离分别为 6 7 9 单位均 为厘米 垂直切割费用为每平方厘米 1 元 r 和 e 的数据有以下 4 组 a r 1 e 0 b r 1 5 e 0 c r 8 e 0 d r 1 5 2 e 15 对最后一组数据应给出所 有最优解 并进行讨论 模型建立模型建立 一 符号说明一 符号说明 产品零件参数的标定值 产品零件参数的标定值 第 第 i i 个零件的标定值 个零件的标定值 7020100 xxxx 0i x 第 第 i i 个零件的标定值个零件的标定值取值的上 下界 取值的上 下界 ii ba 0i x 产品零件参数的实际值 产品零件参数的实际值 721 xxxx 产品性能参数的 产品性能参数的目标值目标值 5 1 0 y 产品性能参数的经验公式 即 产品性能参数的经验公式 即 721 xxxf 3 0 561 16 442 0 85 3122 127 52167 1 2 62 1 0 36 174 42 xx xxxx yf x xx xxxx x 产品性能参数的 产品性能参数的平均值平均值 702010 xxxfy 产品性能参数的 产品性能参数的实际值实际值 721 xxxfy 第 第 i i 个零件的个零件的相对容差相对容差 绝对值 绝对值 10 0 05 0 01 0 或 i r 第 第 i i 个零件的个零件的容差容差 i x iii rxx 0 第第 i i 个零件参数取第个零件参数取第 j j 个容差等级时所需成本 个容差等级时所需成本 ji c 7 2 1 i 3 2 1 j 第第 1 1 2 2 3 3 个容差分别表示个容差分别表示 C C B B A A 等级 等级 变量 变量 如果第如果第 i i 个零件参数取第个零件参数取第 j j 个容个容 ji d10 7 2 1 i3 2 1 j 差等级时差等级时取值取值 1 1 否则为零 否则为零 ji d 第 第 i i 个零件参数 的实际值 个零件参数 的实际值 的的均方差均方差 i i x 产品质量性能参数 产品质量性能参数 的实际值 的均方差 的实际值 的均方差 y 721 xxxfy 产品 产品的生产成本 的生产成本 yC 721 xxxfy 产品 产品的损失费用 的损失费用 yL 721 xxxfy 产品 产品的生产成本与损失费用之总和 的生产成本与损失费用之总和 yM 721 xxxfy 二 关于零件参数的假设二 关于零件参数的假设 在第在第 i i 个零件取定其标定值为个零件取定其标定值为后 由于在加工过程中存在许随机因素 后 由于在加工过程中存在许随机因素 0i x 刀具磨损 测量的误差等 因此 由中心极限定理知零件参数的实际值刀具磨损 测量的误差等 因此 由中心极限定理知零件参数的实际值可看可看 i x 成是服从正态分布的随机变量 即成是服从正态分布的随机变量 即 2 0iii xNx 并且设七个零件的加工过程是相互独立的 并且设七个零件的加工过程是相互独立的 概率统计学告诉我们 如果某个随机变量服从正态分布概率统计学告诉我们 如果某个随机变量服从正态分布 2 0 xNx 则由则由 3 3 原则原则 有 有 0 3 0 9971PXx 15 10 5051015 0 0 02 0 04 0 06 0 08 0 1 0 12 0 14 所以 当要求第所以 当要求第 i i 个零件取定其标定值为个零件取定其标定值为 第 第 i i 个零件的容差为个零件的容差为 0i x 则 则意味意味着着 iii rxx 0 iiii rxx 3 0 于是于是 33 0iii i rxx 即当第即当第 i i 个零件的标定值个零件的标定值 容差等级 容差等级 C C B B A A 既第 既第 i i 个零件的相对容差 个零件的相对容差 0i x 确定后 第 确定后 第 i i 个零件参数的实际值个零件参数的实际值所服从的正态分所服从的正态分 100050010或或 i r i x 布就完全确定了 布就完全确定了 三 关于产品参数三 关于产品参数的分布的分布y 当七个零件的标定值当七个零件的标定值 容差等级 容差等级 C C B B A A 即每个零 即每个零 7020100 xxxx 件的相对容差 件的相对容差 确定后 为确定产品性能参数 确定后 为确定产品性能参数 100050010或或 i r 的分布规律与求产品质量的损失费用的分布规律与求产品质量的损失费用 现在 现在讨论讨论 721 xxxfy yL 的分布情况的分布情况 y 由于产品性能参数的经验公式由于产品性能参数的经验公式 721 xxxfy 3 0 561 16 442 0 85 3122 52167 1 2 62 1 0 36 174 42 xx xxxx xxxx x 非常复杂 直接得出非常复杂 直接得出的精确分布有困难 的精确分布有困难 y 对此有两种办法 对此有两种办法 用随机模拟的方法用随机模拟的方法 在零件参数标定值的允许范围内在零件参数标定值的允许范围内任意取一组值任意取一组值和和任意任意 7020100 xxxx 一组容差等级一组容差等级 产生 产生 n n 组相互独立的正态分布随机数组相互独立的正态分布随机数 r jjjj xxxx 721 其中七个零件参数其中七个零件参数中的每个中的每个 都是都是服从正态服从正态1 2 jn 721 xxxx ij x 分布分布 2 0 ijii xN x 33 0iii i rxx 的的随机数随机数 由经验公式得到产品性能参数由经验公式得到产品性能参数的的 n n 组 组 n n 很大 对应的样本值很大 对应的样本值y jjjj xxxfy 721 1 2 jn 画出直方图 并用画出直方图 并用检验法检验检验法检验是否服从正态分布 并确定是否服从正态分布 并确定的分布的有关的分布的有关 2 yy 特征数字 特征数字 例如 取例如 取 n n 1000010000 时时 的直方图与的直方图与是否服从正态分布的检验是否服从正态分布的检验yy 11 11 21 31 41 51 61 71 81 92 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 1 11 21 31 41 51 61 71 81 92 0 001 0 003 0 01 0 02 0 05 0 10 0 25 0 50 0 75 0 90 0 95 0 98 0 99 0 997 0 999 Data Probability Normal Probability Plot 具体见具体见 ytest1ytest1 和和 ytest2ytest2 用理论方法推导用理论方法推导 在零件参数标定值的允许范围内任意取一组值在零件参数标定值的允许范围内任意取一组值和一组和一组 7020100 xxxx 容差等级容差等级 记 记 表示产品性能参数的 表示产品性能参数的平均值平均值 产生零 产生零r 702010 xxxfy 件参数的实际值件参数的实际值 由经验公式得到产品性能参数 由经验公式得到产品性能参数的一组对的一组对 721 xxxx y 应的值应的值 721 xxxfy 因为因为 2 0 0 iiii Nxxx 721 i 所以所以 xxfxxxfy 0721 0 7 0 1 i i i x x f f xx x yy 即即 7 1 0 i i xx i x x f yyy 因为因为 服从相互独立的正态分布服从相互独立的正态分布 所以 所以也服从正态也服从正态 i x 721 i 2 0 i N y 分布分布 并且对上式两边取方差 得 并且对上式两边取方差 得 2 0 y N 7 1 2 2 2 0 i i xx i y x f 于是产品性能参数于是产品性能参数也也近似近似服从正态分布服从正态分布 即 即y 2 y yyyN y 7 1 22 02 702010 9 0 i ii xx i rx x f xxxfN 至于近似服从正态分布的误差有多大 至于近似服从正态分布的误差有多大 我们后面再讨论 我们后面再讨论 三 目标函数三 目标函数 由原问题要求 建模的目标函数由原问题要求 建模的目标函数应包括产品应包括产品零件零件 yM 721 xxxfy 的的的的生产成本生产成本与与质量损失质量损失费用两部分 费用两部分 生产成本生产成本 当零件的标定值当零件的标定值与零件的容差与零件的容差确定以后 确定以后 7020100 xxxx iii rxx 0 零件的的生产成本就完全确定了 为零件的的生产成本就完全确定了 为 7 1 3 1ij jiji dcyC 其中其中是第是第 i i 个零件参数取第个零件参数取第 j j 个容差等级时所需成本 个容差等级时所需成本 ji c721 i 第第 1 1 2 2 3 3 个容差分别表示个容差分别表示 C C B B A A 等级 而等级 而为为变量 变量 321 j ji d10 如果第如果第 i i 个零件参数取第个零件参数取第 j j 个容差等级时个容差等级时取值取值 1 1 否则为零 并且 否则为零 并且 ji d 1 2 7i 3 1 1 i j j d 还要注意到对每个还要注意到对每个 对容差等级 对容差等级来说 来说 不一定都能取到 不一定都能取到 1 2 7i ji d321 j 质量损失费用质量损失费用 质量损失函数为质量损失函数为 309000 30101000 100 0 0 0 yy yy yy yL 51 0 y 由上一段 由上一段 服从正态分布服从正态分布 即 即y 2 y yNy 0 22 7 2 0 102070 1 9 ii i i x x xrf Nf xxx x 其密度函数为其密度函数为 2 2 21 2 y yy y ye 所以 所以 5 1 0 y 正品的概率正品的概率 10 10 01 0 0 10 y y dyyyyPp 次品的概率次品的概率 30 10 10 30 02 0 0 0 0 3010 y y y y dyydyyyyPp 废品的概率废品的概率 30 30 03 0 0 30 y y dyydyyyyPp 再由标准正态分布再由标准正态分布分布函数分布函数与一般正态分布与一般正态分布分布函数分分布函数分 10N y 2 y yN 布函数布函数之间的关系 之间的关系 y y yy y 有有 101010 00 10 10 01 0 0 yydyyyyPp y y 00 0 1 0 1 yy yyyy yy yy 4161 同理同理 30 10 10 30 02 0 0 0 0 3010 y y y y dyydyyyyPp 10303010 0000 yyyy yyyy yyyy 61812141 和和 30 30 03 0 0 30 y y dyydyyyyPp 3030 00 yy yy yy 2181 1 从而从而 1 1 个产品的个产品的平均平均质量损失费用质量损失费用 32 90001000ppyL yyyy yyyy 61812141 1000 yy yy 2181 19000 其中其中为标准正态分布为标准正态分布分布函数 分布函数 y 10N 于是于是整个优化问题模型整个优化问题模型为为 1 11 1 minyLyCyM 1000 7 1 3 1 1000 ij jiji dc yyyy yyyy 61812141 1000 yy yy 2181 19000 s t s t iii bxa 0 721 i 1 3 1 j ji d10或或 ji d 721 i321 j 并且其中并且其中 702010 xxxfy 100050010 或或 i r 33 0iii i rxx 721 i 7 1 2 2 2 0 i i xx i y x f 注记注记 模型中的函数 模型中的函数是标准正态分布是标准正态分布分布的分布函数 严格地分布的分布函数 严格地 y 1 0 N 说 这是带变量上下界约束与部分整数变量限制的 目标函数高度非线性的说 这是带变量上下界约束与部分整数变量限制的 目标函数高度非线性的非非 线性规划问题线性规划问题 模型求解模型求解 一 模型一 模型 I I 计算思想计算思想 1 11 1 minyLyCyM 1000 7 1 3 1 1000 ij jiji dc yyyy yyyy 61812141 1000 yy yy 2181 19000 s t s t iii bxa 0 721 i 1 3 1 j ji d10或或 ji d721 i321 j 并且并且 0 735251211311 dddddd 其中其中 702010 xxxfy 100050010 或或 i r 33 0iii i rxx 721 i 7 1 2 2 2 0 i i xx i y x f 模型中的函数模型中的函数是标准正态分布是标准正态分布分布的分布函数 分布的分布函数 y 10N 这个带变量上下界约束与整数变量的 目标函数高度非线性的非线性规划这个带变量上下界约束与整数变量的 目标函数高度非线性的非线性规划 问题怎样求解呢问题怎样求解呢 注意到 注意到 1 11 1 中 一当第 中 一当第 i i 个零件的相对容差个零件的相对容差或第或第 100050010或或 i r i i 个零件的容差个零件的容差 确定以后 零件的生产成本就确定了 即这确定以后 零件的生产成本就确定了 即这 i x iii rxx 0 时不论零件的标定值时不论零件的标定值在标定值取值范围中怎么取 生产成在标定值取值范围中怎么取 生产成 7020100 xxxx 本都是不变的 为本都是不变的 为 7 1 3 1ij jiji dc 全部七个零件的相对容差只有全部七个零件的相对容差只有种组合 对所有种组合 对所有 108108108231321 2 种情况可以逐次去计算 种情况可以逐次去计算 实则上实则上 108108 种情况可以再简化 从零件参数的标定值及不同容差等级的成种情况可以再简化 从零件参数的标定值及不同容差等级的成 本 元 如下表 符号本 元 如下表 符号 表示五此等级零件 表示五此等级零件 标定值容许范围C 等10 B 等为5 A 等为1 1 x 0 075 0 125 25 2 x 0 225 0 375 2050 3 x 0 075 0 125 2050200 4 x 0 075 0 125 50100500 5 x 1 125 1 875 50 6 x 12 20 1025100 7 x 0 5625 0 935 25100 容差分为容差分为 A B C 三个等级 用与标定值的相对值表示 三个等级 用与标定值的相对值表示 A 等为等为 1 B 等为等为 C 等为等为 七个零件的参数标定值的标定值有一定的容许变化七个零件的参数标定值的标定值有一定的容许变化5 10 范围 范围 可见 可见 A 等 为等 为 是不可能取到的 用 是不可能取到的 用模拟的方法模拟的方法也可以确定 平均也可以确定 平均1 每个产品的生产成本一般在每个产品的生产成本一般在 200 300 之间 而损失费用为之间 而损失费用为 150 上下 如此 上下 如此 A 等成本费用中等成本费用中 200 与与 500 的费用太高 的费用太高 所增加的成本费用是损失费用无法弥补所增加的成本费用是损失费用无法弥补 的的 从而是不可能取到的 于是容差等级总共不超过 从而是不可能取到的 于是容差等级总共不超过种 种 2 1 2 21 3 248 考虑到考虑到 100100 费用仍然也是难以弥补的 事实上 还应该是费用仍然也是难以弥补的 事实上 还应该是 2 1 2 21 2 116 种情况 种情况 确定了一种容差方案后 上述问题确定了一种容差方案后 上述问题实质上实质上化为化为 1 21 2 minyL yyyy yyyy 61812141 1000 yy yy 2181 19000 s t s t iii bxa 0 721 i 0702010 xfxxxfy 其中其中 100050010 或或 i r 7 1 22 02 2 9 0 i ii xx i y rx x f 721 i 已经确定 已经确定 二 编程实现技术细节二 编程实现技术细节 1 1 容差等级 生产成本容差等级 生产成本 与与 标定值区间标定值区间 R 0 10R 0 10 0 05 0 05 容差等级 最贵的一种舍去 容差等级 最贵的一种舍去 cost infcost inf 2525 选定容差以后的生产成本费用选定容差以后的生产成本费用 2020 5050 2020 5050 5050 100100 5050 infinf 1010 2525 infinf 25 25 A 0 075A 0 075 0 1250 125 0 2250 225 0 3750 375 0 0750 075 0 1250 125 0 0750 075 0 1250 125 0 1250 125 1 8751 875 1212 2020 0 56250 5625 0 9375 0 9375 标定值区间标定值区间 2 2 怎么选定容差等级怎么选定容差等级 用用 i i1 1 i i2 2 i i3 3 i i4 4 i i5 5 i i6 6 i i7 7表示选定的容差等级 表示选定的容差等级 值都在值都在 1 1 2 2 中选择中选择 并且并且 i i1 1 2 2 i i5 5 1 1 i i7 7 2 2 于是全部容差等级的循环是于是全部容差等级的循环是 4 4 重循环 重循环 从而选定的第从而选定的第 k k 个零件的容差等级为个零件的容差等级为 r r i ik k R R i ik k 而对应的成本费用为而对应的成本费用为 cost k ik 所以 这个产品的生产成本为所以 这个产品的生产成本为 CyCy cost 1 i1 cost 1 i1 cost 2 i2 cost 2 i2 cost 3 i3 cost 3 i3 cost 4 i4 cost 4 i4 cost 5 i5 cost 5 i5 cost 6 i6 cost 6 i6 cost 7 i7 cost 7 i7 3 3 损失费用的最小化计算损失费用的最小化计算 当标定值当标定值 x x 与容差等级与容差等级 r r 取定后 损失费用是个最小值优化问题 其目标函取定后 损失费用是个最小值优化问题 其目标函 数数 与与 约束条件是 约束条件是 1 21 2 minyL yyyy yyyy 61812141 1000 yy yy 2181 19000 s t s t iii bxa 0 721 i 0702010 xfxxxfy 其中其中 已确定 而标定值已确定 而标定值 是优化变量是优化变量 i r721 i 0 x 7 1 22 02 2 9 0 i ii xx i y rx x f 721 i 已经可以计算 其中已经没有零件参数的实际随机值已经可以计算 其中已经没有零件参数的实际随机值 x x 了 了 目标函数中的目标函数中的 是正态分布是正态分布的分布函数 的分布函数 Matlab中有现中有现 1 4 y y 10N 成的函数成的函数 normcdf 可以调用 比较可以调用 比较 normpdf 4 4 多元函数的偏导数 或梯度 怎么计算多元函数的偏导数 或梯度 怎么计算 多元函数的偏导数 或梯度 与多元函数的偏导数 或梯度 与 海森矩阵海森矩阵 怎么计算 怎么计算 Matlab中有现成的函中有现成的函 数数 jacobian 可以调用 具体见可以调用 具体见 objgrad m 5 5 当时的计算程序编写方法当时的计算程序编写方法 1 1 计算方法一 计算方法一 用用 MatlabMatlab 中函数中函数 FminconFmincon 来计算来计算 见见 mydesign1mydesign1 求解结果 求解结果 零件参数标定值 零件参数标定值 x x 0 07500 0750 0 37500 3750 0 11060 1106 0 12000 1200 1 13091 1309 12 010012 0100 0 79770 7977 相应的容差等级 相应的容差等级 r r 0 05000 0500 0 05000 0500 0 05000 0500 0 10000 1000 0 10000 1000 0 05000 0500 0 05000 0500 零件总费用 成本零件总费用 成本 损失 损失 MyMy 4 2136e 0054 2136e 005 每个零件成本与损失 每个零件成本与损失 CyCy 275275 LyLy 146 3603146 3603 程序求解运行时间 程序求解运行时间 T T 16 005116 0051 2 2 计算方法二 计算方法二 用网格搜索方法用网格搜索方法 3 3 计算方法三 计算方法三 用随机模拟的方法用随机模拟的方法 4 4 计算方法四 计算方法四 用模拟退火算法用模拟退火算法 5 5 计算方法五 计算方法五 用遗传算法用遗传算法 二 初始方案费用计算二 初始方案费用计算 1 1 原设计方案费用计算 原设计方案费用计算 用用 MatlabMatlab 见见 mydesign2mydesign2 零件参数标定值 零件参数标定值 x x 0 10000 1000 0 30000 3000 0 10000 1000 0 10000 1000 1 50001 5000 16 000016 0000 0 75000 7500 相应的容差等级 相应的容差等级 r r 0 0500 0 0500 0 10000 1000 0 10000 1000 0 10000 1000 0 10000 1000 0 10000 1000 0 05000 0500 零件总费用 成本零件总费用 成本 损失 损失 MyMy 3 0748e 0033 0748e 003 零件成本与损失 零件成本与损失 CyCy 200200 LyLy 2 8748e 0032 8748e 003 计算运行时间 计算运行时间 T T 0 6351 0 6351 2 2 原设计方案费用计算 原设计方案费用计算 用随机模拟用随机模拟 见见 mydesign3mydesign3 用随机模拟法用随机模拟法 n 10000 n 10000 次随机试验次随机试验 开始求原设计方案费用 请稍候开始求原设计方案费用 请稍候 零件参数标定值 零件参数标定值 x x 0 10000 1000 0 30000 3000 0 10000 1000 0 10000 1000 1 50001 5000 16 000016 0000 0 75000 7500 相应的容差等级 相应的容差等级 r r 0 05000 0500 0 10000 1000 0 10000 1000 0 10000 1000 0 10000 1000 0 10000 1000 0 05000 0500 产品性能指标参数产品性能指标参数 y y 分布的统计标准差 分布的统计标准差 sigmaysigmay 0 11130 1113 产品统计正品率 产品统计正品率 p1p1 0 11540 1154 产品统计次品率 产品统计次品率 p2p2 0 6242 0 6242 产品统计费品率 产品统计费品率 p3p3 0 2604 0 2604 零件总费用 成本零件总费用 成本 损失 损失 MyMy 3 1678e 0033 1678e 003 零件成本与损失 零件成本与损失 CyCy 200200 LyLy 2 9678e 0032 9678e 003 计算运行时间 计算运行时间 T T 4 07994 0799 模型检验与误差分析模型检验与误差分析 对建模的结果 我们往往要作对建模的结果 我们往往要作结果检验结果检验与与敏感性分析敏感性分析和和误差分析误差分析等 以提等 以提 高论文的完整性和理论层次 可以参考上海交通大学与中国科大的获奖论文 高论文的完整性和理论层次 可以参考上海交通大学与中国科大的获奖论文 1 1 敏感性分析敏感性分析 首先 在最优标定值点首先 在最优标定值点处 因为实际参数值处 因为实际参数值 0 x 2 0 0 iiii Nxxx 721 i 所以所以 xxfxxxfy 0721 0 7 0 1 i i i x x f f xx x yy 即即 7 1 0 i i xx i x x f yyy 从而从而 0 7 1 i x x i i i i f x xyyy x xyyy 即目标函数的梯度 绝对敏感性系数 即目标函数的梯度 绝对敏感性系数 除以函数均值 除以函数均值 乘上每个参数 乘上每个参数的当的当y i x 前标定值 即为误差传递的敏感性系数 从而第前标定值 即为误差传递的敏感性系数 从而第 i i 个参数的相对敏感性系数为个参数的相对敏感性系数为 0 i x x ii f x sx y 721 i 又又 grad ygrad y 24 1992 24 1992 3 3932 3 3932 11 503911 5039 2 6496 2 6496 1 3243 1 3243 0 0623 0 0623 0 9385 0 9385 或或 敏感系数敏感系数 1 12 23 34 45 56 67 7 估计值估计值1 21250 85010 85000 21241 00000 50000 5000 其次 在最优标定值点处 固定六个参数 仅让其中一个参数改变 由此其次 在最优标定值点处 固定六个参数 仅让其中一个参数改变 由此 得到的函数值的改变情况比较图形为 得到的函数值的改变情况比较图形为 0 25 0 2 0 15 0 1 0 0500 050 10 150 20 25 5 0 5 10 15 20 25 30 y x1 y x2 y x3 y x4 y x5 y x6 y x7 同样可见 函数同样可见 函数 y 值的变化对参数值的变化对参数 x1 x3 比较最为敏感 其次是比较最为敏感 其次是 x2 x4 x5 x7 而对 而对 x6 是最不敏感的 是最不敏感的 2 2 误差分析 误差分析 1 关于函数 关于函数 y 的值的误差估计 当标定值确定以后 由于零件实际的参的值的误差估计 当标定值确定以后 由于零件实际的参 数值带有随机性 因而函数数值带有随机性 因而函数 y 的值与均值的值与均值也有一定随机也有一定随机 702010 xxxfy 性误差 则对性误差 则对 y 取值的相对误差 也有用取值的相对误差 也有用 y y 0 7 22 1 i i i x x f x y 其中其中 33 0iii i rxx ni 21 来表示的 来表示的 由此可以估计出当标定值 容差等级确定后 产品的性能指数函数值有多由此可以估计出当标定值 容差等级确定后 产品的性能指数函数值有多 大的随机性波动 大的随机性波动 2 关于函数 关于函数 y 的值的非线性误差 以及所带来的对函数值的值的非线性误差 以及所带来的对函数值 y 的分布误差的分布误差 的影响是不是会很显著的问题 可以见程序的影响是不是会很显著的问题 可以见程序 myhess 当标定值达到允许的最 当标定值达到允许的最 大误差时 函数大误差时 函数 y 的值的非线性误差为的值的非线性误差为 0 0338 000 ErrorxxH xxx 非线性 其中其中是函数是函数 y 在最优标定值点在最优标定值点处的海森矩阵 即二阶导数矩阵 处的海森矩阵 即二阶导数矩阵 而非 而非 0 H x 0 x 线性误差的相对值为线性误差的相对值为 2 26 Er