正弦定理第一课时(教学设计）

正弦定理正弦定理 安徽省濉溪二中安徽省濉溪二中 吕家强吕家强 20122012 年年 9 9 月月 1919 日日 2 1 正弦定理正弦定理 第一课时 教学设计 第一课时 教学设计 一 教学目标一 教学目标 1 知识与技能 知识与技能 通过对任意三角形边长和角度关系的探究 掌握正弦定理的内容及其证明方法 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题 2 过程与方法 过程与方法 让学生从已有的几何知识出发 共同探究在任意三角形中 边与其对角的关系 引 导学生通过观察 推导 比较 由特殊到一般归纳出正弦定理 并进行定理基本应用的实践操作 使 学生进一步体会数形结合的思想 通过例题与练习提高学生动手能力 分析问题解决问题的能力以及 其知识迁移能力 3 情感 态度与价值观 情感 态度与价值观 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 培养学生合 情推理探索数学规律的数学思思想能力 通过三角形函数 正弦定理 向量的数量积等知识间的联系 来体现事物之间的普遍联系与辩证统一 二 教学重点和难点二 教学重点和难点 重点 重点 正弦定理的探究和证明及其基本应用正弦定理的探究和证明及其基本应用 难点 正弦定理的实际应用难点 正弦定理的实际应用 三 三 教学方法教学方法 问题牵引 启发引导 合作探究 四 教学手段 四 教学手段 多媒体辅助教学 五 教学过程五 教学过程 本节的教学过程由以下几个环节构成 约需 20 分钟 约需 15 分钟 约需 3 分钟 定理推导定理推导 公式在计算上的应用公式在计算上的应用 创设情境创设情境 感知定理感知定理 观察证明观察证明 形成定理形成定理 形式变形形式变形 深化定理深化定理 总结方法总结方法 深化公式深化公式 分析例题分析例题 应用公式应用公式 建立模型建立模型 灵活运用灵活运用 总结反思总结反思 提高认识提高认识 布置作业布置作业 自主探究自主探究 约需 2 分钟 六 教学设计六 教学设计 1 正弦定理的建构正弦定理的建构 1 创设情境 创设情境 感知定理感知定理 视频情境视频情境 播放今年第 12 号台风海葵给我国吴山带来的伤害 让学生再一次感受大自然力量的强大 引 导学生如何利用科学知识预防自然灾难 引出本节课的内容 正弦定理 设计意图设计意图 由实际生活入手 让学生感受数学来源于生活 同时又服务于生活 2 观察证明 观察证明 形成定理形成定理 通过特殊三角形的研究 观察它的角和边之间的关系 猜想它们之间的联系 在初中 我们已学过如何解直角三角形 下面就首先来探讨直角三角形中 角与边的等式关系 如图 1 1 在 RtABC 中 设 BC a AC b AB c 根据锐角三角函数中正弦函数的定义 有 si n a A c 又 si n b B c si n1C A 则 b c si nsi nsi n abc c ABC 从而在直角三角形 ABC 中 C a B si nsi nsi n abc ABC 图 1 1 思考 思考 那么对于任意的三角形 以上关系式是否仍然成立 由学生讨论 分析 方法一 利用三角形的高证明正弦定理方法一 利用三角形的高证明正弦定理 当ABC 是锐角三角形时 设边 AB 上的高是 CD 根据锐角三角函数的定义 有 si nC DaB sinCDbA 由此 得 同理可得 si nsi n ab AB si nsi n cb CB 故有 从而这个结论在锐角三角形中成立 si nsi n ab AB si n c C 当ABC 是钝角三角形时 过点 C 作 AB 边上的高 交 AB 的延长线于点 D 根据锐角三角函数 的定义 有 由此 得 同理可得 si nsi nC DaC BDaABCsinCDbA si nsi n ab AABC si nsi n cb CABC 故有 si nsi n ab AABCsi n c C 由 可知 在ABC 中 成立 si nsi n ab AB si n c C 从而得到 在任意三角形中 各边和它所对角的正弦的比值相等 即 在任意三角形中 各边和它所对角的正弦的比值相等 即 si nsi n ab AB si n c C 设计意图 设计意图 从具体到抽象 引导学生完成抽象与具体之间的相互转换 思考 问题 您能用其他方法证明这一关系吗 方法二 向量法证明正弦定理方法二 向量法证明正弦定理 如图 以 A 为原点 以射线 AB 的方向为 x 轴的正方向建立直角坐标系 C 点在 y 轴上的射影为 c A B C D b a ab D A B C 因为向量与在 y 轴上的射影均为 即AC BC OC 0 cos90sin OCACAbA sinsin OCBCBaB 所以 sinsin aBbA 即 sinsin ab AB 同理 sinsin ac AC 所以 sinsinsin abc ABC 方法三 方法三 利用三角形面积证明正弦定理利用三角形面积证明正弦定理 已知 ABC 设 BC a CA b AB c 作 AD BC 垂足为 D 则 Rt ADB 中 AB AD B sin AD AB sinB csinB S ABC BacADasin 2 1 2 1 同理 可证 S ABC AbcCabsin 2 1 sin 2 1 S ABC BacAbcCabsin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 absinc bcsinA acsinB 在等式两端同除以 ABC 可得 即 b B a A c Csinsinsin C c B b A a sinsinsin 方法四 外接圆证明正弦定理方法四 外接圆证明正弦定理 在 ABC 中 已知 BC a AC b AB c 作 ABC 的外接圆 O 为圆心 连结 BO 并延长交圆于 B 设 BB 2R 则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 BAB 90 C B sinC sinB R c BC 2 sinsin R C c 2 sin 同理 可得 R B b R A a 2 sin 2 sin R C c B b A a 2 sinsinsin 这就是说 对于任意的三角形 此等式均成立 设计意图 设计意图 引导学生用特殊到一般的思维来处理问题 通过观察思考 实现一问多解 充分发挥学生 的主观能动性 同时提高学生运用数形结合和等价转化的思想解决问题 3 形式变形 形式变形 深化定理深化定理 辨析 1 你能用文字语言叙述这个关系吗 三角形各边与其所对角的正弦值的比值相等 三角形各边与其所对角的正弦值的比值相等 设计意图设计意图 通过问题辨析 加深公式的理解 辨析 2 小组讨论 完成下列问题 公式的变形 C y O A BX Cb D C B A a 1asin bsinC sinB asinC csinA B b 2 a b c a 3 2 sinsinsin bca b c R ABC 设计意图设计意图 学生小组合作探究 让学生积极参与其中 以便突破重难点 2 公式在计算上的应用公式在计算上的应用 1 分析实例 分析实例 应用公式应用公式 例 1 在中 边求边 a b 的长 ABC 10 45 30 oo cAC 解 sinsin ac AC 0000 sin10 sin45 10 2 180 4530 105 sinsin30 o o cA aB C sinsin bc BC 0 0 0 sin10 sin105 20sin755 62 sinsin30 cB b C A 试一试 试一试 变式 根据下列条件 解变式 根据下列条件 解 ABC 0 0 0 1b 4 c 8 B 30 CAa 2 30b 2 2 3 BcACa CaA 已知 求 已知 求 已知b 6c 9B 45 求 解 解 000 0022 sin 1sin 1 30 0 180 C 45135 45105 3 1 135 15 31 cB C b c bCC CAaCAa 由正弦定理得 因为所以或 当时 当时 sin3 2 3 sin1 4 cB C b 所以此题无解 设计意图 设计意图 借助学生对于刚学习的知识所拥有的探求心理 让他们学会使用公式来求值 2 建立模型建立模型 灵活运用灵活运用 例 2 台风中心位于某市正东方向 300km 处 正以的速度向西北方向移动 距离台风中心40 km h 250km 范围内将会受其影响 如果台风风速不变 那么该市从何时起要遭受台风影响 这种影响持续 多长时间 结果精确到 0 1 h 解 设台风中心从点 B 向西北方向沿射线 BD 移动 该市位于点 B 正西方向 300 km 处的点 A 假设经过 t h 台风中心到达 C 则在中 AB 300 km AC 250 km BC 40t km ABC 2 1 正弦定理 1 正弦定理 例 1 练习 2 定理的证明 例 2 分析区域 B D A 1 C E 2 C 由正弦定理 0 45 B sinsinsin ACABBC BCA 知 sin3 2 sin0 8485 5 ABB C AC 利用计算器算得角 C 有两个解 00 12 121 95 58 05 CC 当 时 0 1 121 95C 00000 1 180 180 45121 95 13 05 ABC 所以 1 1 sin 79 83 sin ACA BCkm B 1 1 2 0 40 BC th 同理 当 时 0 2 58 05C 22 344 4 8 6 BCkm th 21 8 62 06 6 tth 答答 约 2 h 后将要受台风影响 持续 6 6 h 设计意图 设计意图 联系生活实际 从客观事实出发 解决实际问题 从直观认识提升到理论的水平 合理建 模 以便突破本节重点 3 总结反思总结反思 提高认识提高认识 提出问题 1 通过本节课的学习 你学会了什么定理 你能用文字和符号语言描述它吗 2 学会了运用定理去处理什么类型的问题 3 你能总结