同济大学高等数学下册期末试卷及解答6

1 综合练习 一 填空题 1 函数 fx y的偏导数 x fx y和 y fx y在区域D内连续 是 fx y在 D内可微的 条件 此时对于非零向量 la b 有 f l 解 充分条件 2222 grad xy lxy afbfa b f f eff l abab 2 设 0 0 1 0 0 1ABC 则 2 arctan 1 L y dxxx dy x 其中 L为三角形ABC的正向边界 解 1 1 2 LDD QP PdxQdydxdydxdy xy 3 设曲面 33 1 3 xy z 22 2 2 xy z 22 3 2 x y z 它们在xOy面上的 投影区域均为 22 1xy 则它们的面积 123 S SS 的大小关系为 解 2222 2244 1 11 11 xy xyxy Szz dxdyxy dxdy 2222 2222 2 11 11 xy xyxy Szz dxdyxy dxdy 2222 222442 3 11 11 xy xyxy Szz dxdyx yx y dxdy 故 312 SSS 4 幂级数 1 1 1 2 n n n x n 的收敛区间是 解 1 1 1 1 21 limlim2 1 2 2 n n nn n n na R a n 即1231xx 2 5 设 22 1216Lxy 则 22 24 L xyxy ds 解 22 1251111 2488 LLL xydsds 二 设 f u的导函数连续 且 111f f 令 lnzfxyxy 其中 yy x 是方程0 xy exy 确定的隐函数 求 0 x dz dx 解 1 fxydzdydy yx dxf xydxdx 而0 x 时1y 又 0 1 102 1 xy xy xy x dydydyyedy eyx dxdxdxxedx 故 0 1 12102 1 x fdz dxf 三 设 222 22 2320 xyz zxy 求 dy dz dx dx 解 246023 2222 dydzdydz xyzyzx dxdxdxdx dzdydydz xyyx dxdxdxdx 解得 2316 22321 3 xxzxzdy dxyyzyz 2 3131 xxdzx dxzz 四 求 22 Iz xydV 其中 222 1xyz 解 2 222 1121 222 0000 1 22 6 z xyz Idzz xydxdydzdzd 222 22 11 21 222 0000 1 22 6 xy xy Idxdyz xydzddzd 3 或者 sincos sinsin cos xr yr zr 21 2 222 000 2sincossin 6 Iddrrr dr 五 设 2222 33zxyxy 面密度为 求 对z轴的转动惯量 解 22 222222 3 1 zxy xy IxydSxyzz dxdy 22 23 222 00 3 1 329 xy xydxdydd 六 求 22 221 2Ixxy dydzyyz dzdxxy dxdy 其中 为 22 4zxy 取上侧 解 取 1 22 0 4 z xy 下侧 则 11 22Ixz dv 2222222 2 0 444 1 22124 xyxyxyz xy dxdyzdvdxdydzzdxdy 2 2 0 244844zzdz 七 设0 讨论级数 1 1 1 11 cos n n n 的收敛性 解 2 2 1111 1 cos 22nnn 故 1 2 时 级数绝对收敛 注意到 1 1 cos n 单调减少趋向于零 故 1 0 2 时 级数条件收敛 八 A 设向下凸的曲线L经过 0 1 且在该点有水平的切线 L上任意 x y 处的曲率半径等于该点到x轴距离的平方 求L的方程 4 解 设 L yy x 则 32 2 2 1 1 y y y 注意到曲线下凸 故0y 于是 3 2 2 2 1 1yy y 令 dy p dx 则 dpdxy y dydyp 代入方程 得 3 2 2 322 2 2 1 1 1 dppdpdy pp dyyy p 解得 1 2 2 1 1pC y 代入0 x 1 0yp y 得0C 故 222 2 11 1 dydy pyydx dx y 解得 2 ln1yyCx 代入0 1xy 得0C 因此 2 22 1 2 xx x ee yyey 由于0 1xy 故 2 xx ee y 八 B 求 21 221 xyz L 绕x轴旋转而成的旋转面的方程 并求该旋转面 在 0 2 1M 处的切平面方程 解 设旋转面为 则 x y z 必有一点 000 N xyzL 使 M N 位于同一个旋转圆上 于是 0 xx 2222 00 yzyz 利用 0 000 0 2 21