信号与系统-11.16第八章 离散系统的z域分析

第八章,1,第八章 离散系统的Z 域分析,第八章,2,与连续系统比较,离散系统也可用类似于分析连续系统所采用的变换法进行分析。在分析连续系统时，经过拉氏变换将微分方程变换为代数方程，从而使分析简化。在分析离散系统中，Z变换的地位的作用类似于连续系统中的拉氏变换，利用Z变换把差分方程变换为代数方程，从而使离散系统的分析大为简化。,第八章,3,一、Z变换,8-1 离散信号Z变换,Z变换,对于任意序列f(k)，有,第八章,4,z变换意义,F(z)是关于z -k 的幂级数， 系数是f(k) 。,- k 0 正幂系数构成左边序列f(k)U(-k) 0 k 负幂系数构成右边序列f(k)U(k) - k 正、负幂系数构成双边序列f1(k)U(-k)+f2(k)U(k),1) 双边Z变换：,2) 单边Z变换：,f(k):原序列F(z):象函数,分类：,拉氏变换与变换：,第八章,5,二、Z变换的收敛域,不同f(k)的Z变换，由于收敛域不同，可能对应于相同的Z变换，故在确定Z变换时，必须指明收敛域。,（右序列或因果序列）,级数收敛,（左序列）,级数收敛,收敛域,Z平面,收敛域,Z平面,第八章,6,例 1,（aa时，第二项收敛于 ，对应于右边序列。,|z|0左边有限长序列： F(z)=f (-1)z 1+ f (-2)z2+ |z|,第八章,8,Z变换的收敛域,左边序列,收敛域在圆内,双边序列，收敛域由圆环组成。,右边序列的收敛域,左边序列的收敛域,双边序列的收敛域,右边序列,收敛域在圆外,第八章,9,三、常用信号的Z变换,单位序列 (k),单边指数序列 akU(k),左序列 -akU(-k-1),单位阶跃序列 U(k),复指数序列,第八章,10,几个常用信号的Z变换,正弦函数 sinkU(k),余弦函数 coskU(k),同理可证：,第八章,11,例 2,求序列 f (k)= 2k U(-k)+(-0.5)kU(k) 的Z变换及收敛域。,解：,第八章,12,例 3,求序列 f (k)= (0.5)k U(-k)+(-0.5)k U(k) 的Z变换及收敛域。,解：,无公共收敛域，故该序列的Z变换不存在。,第八章,13,四拉普拉斯变换与Z变换关系,s平面与z平面的映射关系,ej是以wk为周期的周期函数,第八章,14,8-2 Z变换的基本性质,线性,叠加性和齐次性,Z域尺度变化性,第八章,15,位移性（移序性）,1双边z变换：,序列不变，移序只影响时间轴上位置。,“”左移；“”右移,收敛域：只会影响z=0或z=,第八章,16,位移性（移序性）,2单边z变换：,单边Z变换在0的k域进行，它先移序，后舍去k0,第八章,20,例 4,求下列序列的z变换。,解：,查看性质,1),2),3）积分性,4),积分性,第八章,21,周期性,若f1(k)是除0k0,移位性,微分性,第八章,30,Z变换,方法：1.幂级数展开法 2.部分分式展开法 3.围线积分法留数法,Z反变换,拉氏变换,拉氏逆变换,方法：1、解析法 2、部分分式法 3、围线积分法留数法,8-3 Z反变换,第八章,31,返回,一、幂级数展开法,例 1：已知 ，求 f (k)。,根据泰勒公式：,若把F(z)展开成 的幂级数之和，则该级数的各系数就是序列 f (k) 的值。,解：,第八章,32,一、幂级数展开法,z变换式一般是z的有理函数，可直接用长除法进行反变换。,用长除法可得z-1的幂级数。但得不到解析式,例 2：,右序列,左序列,按Z的降幂展开,按Z的升幂展开,第八章,33,返回,二、部分分式展开法,单极点：,按 可展开成,部分方式求逆Z变换步骤：1） (有理函数)F(z)/z(真分式）； 2） F(z)/z进行部分分式展开；3） 求部分分式中的系数； 4）部分分式型 F(z)/z F(z)；5）利用基本形式进行逆变换，求得f(k)。,第八章,34,返回,二、部分分式展开法,多重极点：,n重根,第八章,35,例 3,求 f (k)。,解：,反变换公式,第八章,36,例 3：,解：,反变换公式,第八章,37,例 4：,解：,第八章,38,三、围线积分法（留数法）,zi为单极点，则留数为：,zi为r重极点，则留数为：,返回,反变换定义：,可以把该围线积分表示为围线C内所包含的各极点的留数之和，即,第八章,39,例 5,解： 用留数法：,留数公式,右序列,F(z)zk-1在围线c内有4个极点：,z10，z2-1，z32，z43,各极点留数为,（1）k=0,第八章,40,例 5,（2）k0,F(z)zk-1在围线c内有3个极点：,z1-1，z22，z33,各极点留数为,第八章,41,例 6 部分分式展开法,已知 ，求 f (k)。,解一： 部分分式展开法：,对于极点 右边序列；对于极点z=2,|z|1/3)，按Z的降幂次序展开：,第八章,44,已知 ，求 f (k)。,解三： 长除法：,左边序列(|z|2)，按Z的升幂次序展开：,例 6 长除法,第八章,45,z变换的基本形式：,第八章,46, 84 离散系统z域分析,、应用z变换求解差分方程,零输入响应z域求解,（1）对差分方程进行z变换（利用移序性质）：,（2）由z域方程求出响应,（3）求反变换，得差分方程时域解,第八章,47,一、应用z变化求解差分方程,2