信号与系统-10.19第五章

第五章,1,第五章 连续系统的复频域分析,第五章,2,傅里叶变换的问题,傅里叶变换在分析信号的频谱等方面是十分有效的，但在系统分析方面有不足之处：对时间函数限制严， 是充分条件。不少函数不能直接按定义求，如阶跃信号U(t)、斜坡信号tU(t)、单边正弦信号sinwtU(t)等。如增长的指数函数 eat a0，傅里叶变换就不存在。,不能解决零输入响应问题，只能解决零状态响应。,求傅里叶反变换也比较麻烦。,第五章,3,1 拉普拉斯变换,从傅里叶变换到拉普拉斯变换 用 e-t f (t)来保证傅里叶积分收敛,令 s=+j 称为复频率,称为复傅里叶变换或双边拉普拉斯变换。也称为象函数。,称为拉普拉斯反变换，也称原函数。,对于有始信号，,称为单边拉普拉斯变换或拉普拉斯变换。,称为单边拉氏反变换或拉氏反变换。简记：f (t)F(s),记F(s) = f (t),记f (t) = -1F(s),e-t,f (t),收敛因子,第五章,4,一、拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系,傅里叶变换和拉普拉斯变换是双边拉普拉斯变换的特殊情况，双边或单边拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广。,第五章,5,二、几个基本函数的拉普拉斯变换,指数函数 f (t)=es0tU(t) s0为复常数。,即 ResRes0,令 s0 = 实数， 则 ， Res,令 s0 = j 虚数， 则 ， Res0,单位阶跃函数 U(t) 令上例中s0=0。则 Res0,单位冲激函数 (t),Res-,课本p156表52,第五章,6,三、拉普拉斯变换的收敛域,单边拉普拉斯变换的收敛域,若存在常数0，使Res= 0则 t时，f (t)e-t 0故，收敛域为 Res= 0，,若存在两个常数1和2，使得,双边拉普拉斯变换的收敛域,Res1,Res2,故，收敛域为 1Res2,收敛域,收敛域,第五章,7,例 1,求f (t)= e-a tU(t) 的单边拉普拉斯变换的收敛域，其中a0。,解：,为保证收敛，有 a+0，故收敛域为 a,收敛域,第五章,8,例 2,求 f (t)= -e-a tU(-t)的单边拉普拉斯变换的收敛域， 其中：a 0,解：,为保证收敛，有 a+0，故收敛域为 -a,收敛域,f (t)= -e-a tU(-t),t0， 1，,第二项的收敛域 2+0， 2，,为保证收敛，取公共收敛域，其收敛域为 1。,收敛域,第五章,10,说明几点,f (t)的拉普拉斯变换仅在收敛域内存在，故求F(s)时应指明其收敛域。在实际存在的有始信号，只要取得足够大，总是满足绝对可积条件的。故单边拉普拉斯变换一定存在。所以，单边拉普拉斯变换一般不说明收敛域。两个函数的拉普拉斯变换可能一样，但时间函数(原函数)相差很大。这主要区别在于收敛域。见例和例。如果拉普拉斯变换的收敛域不包括j轴，那么傅里叶变换也不收敛。f (t)的拉普拉斯变换存在多个收敛域时，取其公共部分（重叠部分）为其收敛域。,第五章,11,收敛域的若干特性,f (t)是有限长的，则收敛域是整个S平面，Res。,f (t)为右边信号，则收敛域是 Res0，00,收敛域,f (t)为左边信号，则收敛域是 Res0，00。,收敛域,f (t)为双边信号，则收敛域是S平面的一条带状区域。,第五章,12,四、 拉普拉斯变换的性质,线性,尺度性,时移性,频移性,时域微分,时域积分,复频域微分,时域卷积,复频域积分,复频域卷积,初值定理,终值定理,返回,F(s)真分式,F(s)极点在s平面左半平面 ；jw轴上无极点。,第五章,13,举 例,例 1 余弦函数 f1(t)=cos(w0t) 正弦函数 f2 (t)=sin(w0t),应用线性性质:,返回,解：,第五章,14,举 例,例 2,例3: 求图示信号的拉氏变换。,第五章,15,返回,例3求周期矩形脉冲信号的拉氏变换。,解：,设,应用时移性质:,RETURN,周期函数的拉普拉斯变换：,第五章,16,举 例,例 4 指数余弦函数 f1 (t)= e-t cosw0t 指数正弦函数 f2 (t)= e-t sinw0t,应用频移性质:,返回,解：,应用频移性质:,第五章,17,例5图示信号f(t)，求F(s)。,返回,解：,f(0-)=0,f(0-)=0,第五章,18,举 例,例 6 锯齿波,方法一：用频域微分性质：,方法二：用时域微分性质：,返回,第五章,19,例8,解：,(1),(2),频域积分性,时域积分性,返回,第五章,20,当f(t)含有冲激A0(t)、B0(t)等时，有,初值定理：,条件： F(s)是真分式,第五章,21,初值定理和终值定理的应用,初值定理的应用条件：F(s)必须是真分式，若不是真分式，则应用长除法将F(s)化成一个整式与一个真分式F0(s)之和。函数f (t)初值f (0+)应等于f 0(0+)的初值。终值定理的应用条件：F(s)的极点必须位于S平面的左半平面；F(s)在s=0处若有极点，也只能有一阶极点。,初值定理：终值定理：,第五章,22,初值定理和终值定理的应用,求下列各象函数反变换的初值与终值。,由于在S平面的j轴上有一对共轭极点，故 f (t)不存在终值。,第五章,23,例9,解：,(1),(2),第五章,24,举 例,例 10 f (t)如图所示，求拉普拉斯变换。,解：设信号在第一个周期内为 f0(t)，则,查看性质,例3,第五章,25,52 拉普拉斯反变换,第五章,26,返回,部分分式展开法,一般为有理函数单极点：D(s)=0的根也称为极点。,F(s)可展开成,为 n个不相等的单根。,mn=2,第五章,29,例 3,已知 ，求 f (t)。,反变换公式,解：,第五章,30,返回,部分分式展开法,多重极点：,F(s)可展开成,分母多项式D(s)=0有重根,第五章,31,例 4,已知 ，求 f (t)。,反变换公式,解：,第五章,32,拉普拉斯变换的性质,返回,第五章,33,应用拉氏变换的性质求反变换,查看性质,例 5：已知 ，求 拉氏反变换 f (t)。,解：,应用时移性质：,解：,应用时域微分性质：,例 6：已知 ，求 拉氏反变换 f (t)。,第五章,34,应用拉氏变换的性质求反变换,例 7：已知 ，求 拉氏反变换 f (t)。,解：令 已