傅里叶光学-1第1章 现代光学的物理基础

第1章 现代光学的数学物理基础,1 光波场的复振幅描述-光波场的复振幅描述 -光波场中任意平面上的复振幅及其空间频率2 二维傅里叶变换与频谱函数-傅里叶级数与频谱-傅里叶变换与频谱函数3 卷积与相关 4 现代光学中常用的函数5 连续函数信号的离散与抽样定理,光波场的复振幅描述,1.定态波场：-空间各点的振动是同频率简谐振荡（频率与振源相同）-波场中各点振动的振幅不随时间变化，在空间形成稳定的振幅分布,3.复振幅,4.由复振幅计算光强,2.单色光波场中某点P在t时刻的光振动u(P,t)的表达式为,或,或,思考:比较复振幅和振幅,平面波,沿z方向传播的平面波,沿空间任一方向传播的平面波,球面波,球面波的变换,问题：哪些器件能够将一个球面波转换为另外一个球面波？,发散球面波,会聚球面波,变换器件,柱面波,问题：如何得到柱面波？,平面波的复振幅分布（在与z=z1的一平面上）,等相面方程,其中,复振幅分布,表明，位相因子是直角坐标的线性函数,平面波的复振幅分布（在与z=z1的一平面上）,思考:上图说明什么意思?,球面波的复振幅分布（在与z=z1的一平面上）,以下是在不同近似条件下，球面波在任一平面上的复振幅表达式,二次型相位因子,一次型相位因子,思考: 1)为什么要近似处理? 2)杨氏干涉到近似哪一步?,平面波复振幅的空间频率描述,问题：为什么提出空间频率的概念？,其中，空间频率分量,空间频率,空间周期分量,空间周期,ksi,eit,lambda,问题：1)上两图中,能标出 吗? 2)两个lambda有什么关系?,问题：上两图中,波长相同.在传播方向上和X方向上,哪一个空间频率大？,平面波复振幅的空间频率描述,X,X,傅里叶级数(三角形式),若f(x)是周期为,的周期函数，那么在整个区间,内都可由三角傅里叶级数表示：,傅里叶系数为,指数傅里叶级数形式：,，(n=1，2，3),，(n=1，2，3),傅里叶系数为,显然，指数傅里叶级数和三角傅里叶级数只是同一种级数的两种表示方式，一种系数可由另一种系数导出。,傅里叶级数(指数形式),傅里叶级数(三角形式),或表示为,第一项为零频项(n=0)；f0为基频；频率为f0的余弦分量称为基波(n=1)；其它各项频率都是f0整数倍，称为谐波。表明:周期函数可以表示为无穷多不同频率余弦波分量的线性组合.,式中,-傅里叶系数 、 和 是频率 的函数，称为频 谱函数，简称频谱。 称为振幅频谱， 称为相位频谱。 -定义在空间域的函数 ，也可以从频率域来研究它。 即把函数看作是不同频率的复指数分量的线性组合，研 究系数 与频率 的关系，也就是研究频谱。,频谱函数,周期性矩形脉冲的频谱,在周期性函数的频谱中，代表各频率成分的谱线仅出现在基频的整数倍频率上，是一种离散谱。,振幅频谱图,相位频谱图,复系数频谱图,周期性矩形脉冲,傅里叶变换定义,对非周期函数 作正交展开，即把函数看作复指数函数在整个连续的频率区间上的积分和,式中，,傅里叶变换,傅里叶逆变换,是 的原函数； 是 的傅里叶变换，或频谱。,非周期函数的频谱不是离散的，是频率的连续或分段连续的函数。,注意对比傅里叶级数,傅里叶变换性质,1、线性,两个函数线性组合的傅里叶变换等于它们各自变换的线性组合,2.平移,空域的平移,傅里叶变换性质,位移,频域的相移,频移,空域的平移,频域的相移,空域的相移,频域的平移,例： 令 则,傅里叶变换性质,解释现象,解释现象,原函数,频谱,原函数,频谱,傅里叶变换性质,3.相似性,空域的展宽在频域表现为压缩及能量的增加,空域的压缩在频域表现为展宽及能量的降低,原函数,频谱,傅里叶变换性质,4.旋转,原函数,频谱,傅里叶变换性质,5.对称,即：表明:正变换和逆变换无本质区别,傅里叶变换性质,6.,共轭,实函数 时的频谱分布,实函数 时的频谱分布,为实函数时,傅里叶变换性质,7.,乘积,卷积,作用：在不同域进行转换，可简化运算和处 理，如，消模糊。,乘积和卷积,傅里叶变换性质,8.分离变量函数的二维傅里叶变换,作用：简化运算和处理。如，矩孔衍射看成两个 单缝衍射的乘积。注意：与卷积性质的不同。,如果则,卷 积,定义：,本质： 用于描述输入经线性系统后的输出,经过小孔成模糊像,输入f,系统h,输出g,卷积的性质,思考：光学模拟？,数字图像卷积,输出图像,输入图像,展宽、平滑,卷积的图解法计算,四个过程： 折叠、 位移、 相乘、 积分,自相关：当 时。,定义和性质,用于描述两输入之间相似性的量度,相关的四个过程,相 关,相关的相似性量度,复共轭、位移、相乘、积分,自相关定律,相关定律,互相关定律,几种常用的函数,可以表示成序列的极限,函数,定义与性质,可以表示成序列的极限,现代光学中常用的函数,Delta函数的图像表示,函数的物理意义,用于表示在空间高度集中化的某种量. 如：点光源，点电荷，点质量，线光源-,脉冲函数在视觉上可以表示成一根细细的针，其高度无限，宽度为0, 其面积（一维）或体积为1.,线光源（一维函数）, z = gaus(x/0.01); mysurf(x,y,z);,点光源（二维函数）, z = gaus(x/0.01).*gaus(y/0.01); mysurf(x,y,z);,第一章 傅里叶分析,41,函数,性质,筛选性质（得到某点函数值）,比例变化性质（范围减少，式左边为1/|ab|，右边也应减少）,与普通函数乘积的性质（相当于对该点取样）,函数的傅里叶变换为1,1,光学模拟？,取样操作, 函数对 f(x)进行取样可以表示成.,f(x) d(x-x0)函数在图形中可以表示成位于x0 ，高度为 f(x0)的线.,偶脉冲对与奇脉冲对,定义,FT,物理意义,双孔,？,阶跃函数,符号函数,FT：,矩形函数,FT：,三角形函数,FT：,Sinc函数,FT：,高斯函数,圆域函数,BT：,FT：,抽样函数,FT：,抽样函数的特性,光学模拟？,Comb 图形表示, x = -4:4; y = ones(size(x); stem(x,y); axis(-4 4 0 1.5);,取样以后的某函数, x = linspace(-4,4,51); y=sinc(x); stem(x,y);,衍射屏透过率的函数表达,1、单缝（无限长，缝宽为0）2、单缝（无限长，缝宽为a）3、矩孔（边长a ,b）4、双缝（缝间距为b，缝宽为a）5、透射型振幅光栅 （缝间距为d，缝宽为a ，无限边长）6、透射型振幅光栅 （缝间距为d，缝宽为a ，边长为L和M）7、余弦型振幅光栅8、正弦型位相光栅9、矩形位相光栅,衍射屏透过率的函数表达,函数抽 样与恢复,为什么要离散化(抽样)?,离散信号的表示 (例),抽样定律,抽样间隔要满足 , 即,频谱混叠,思考:频谱混叠有什么不好影响?为什么?,思考:此频谱有什么特点?为什么?,抽 样与恢复的原理和步骤,用滤波的方法，从离散函数频谱中抽取出原函