力矩 转动定律 转动惯量PPT课件

转动平面 设在转动平面内 对z轴的力矩 一 力矩 注意 下述情况中 力对转轴的力矩为零 20的作用线通过转轴 10的方向与转轴平行 是转轴到力作用线的距离 称为力臂 大小 或 用来描述力对刚体的转动作用 1 力不在转动平面内 注 1 在定轴转动问题中 如不加说明 所指的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩 把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量 2 合力矩 合力矩等于各个力矩的代数和 3 4 合内力矩 刚体的合内力矩为零 质点系的合内力矩 0 5 例 有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上 1 这两个力都平行于轴作用时 它们对轴的合力矩一定为零 2 这两个力都垂直于轴作用时 它们对轴的合力矩可能为零 3 当这两个力合力为零时 它们对轴的合力矩一定也为零 4 当这两个力对轴的合力矩为零时 它们合力一定也为零 二 刚体定轴转动定律 应用牛顿第二定律 可得 O 对刚体中任一质量元 外力 内力 采用自然坐标系 上式切向分量式为 O 6 用乘以上式左右两端 设刚体由N个点构成 对每个质点可写出上述类似方程 将N个方程左右相加 得 根据内力性质 每一对内力等值 反向 共线 对同一轴力矩之代数和为零 得 7 得到 上式左端为刚体所受外力的合外力矩 以M表示 右端求和符号内的量与转动状态无关 称为刚体转动惯量 以J表示 于是得到 刚体定轴转动定律 刚体定轴转动定律 8 讨论 2 J与总质量 质量分布以及转轴的位置有关 3 M的符号 使刚体向规定的转动正方向加速的力矩为正 对比 9 10 例题 质量为m半径为R的薄圆盘从静止开始在恒力矩M的作用下绕通过直径的光滑轴转动 J mR2 4 t秒后点B的切向加速度at 法向加速度an 解 由转动定律 M J 得 M J 而at R an 2R t 11 三转动惯量 J的意义 转动惯性的量度 转动惯量的单位 kg m2 决定转动惯量的要素 1 体密度 2 几何形状 3 转轴位置 两个相同的圆盘 铁质与木质 质量分布离轴越远 J越大 同一刚体 转轴位置不同 J就不相同 12 质量离散分布 J的计算方法 质量连续分布 质量元 体积元 13 例 求长L 质量m均匀细棒的转动惯量 1 O轴通过棒一端且与棒垂直 2 O 轴通过棒中点且与棒垂直 解 取轴为坐标原点 取长度微元如图 dm dx m L dJ r2dm x2 dx 1 过棒的一端O L3 3 mL2 3 2 过棒的中点O x3 3 L3 12 mL2 12 结果表明 同一刚体对不同位置的转轴 转动惯量并不相同 14 例题求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量 设圆盘的半径为R 质量为m 密度均匀 解设圆盘的质量面密度为 在圆盘上取一半径为r 宽度为dr的圆环 如图 环的面积为2 rdr 环的质量dm 2 rdr 可得 15 几种常见刚体的转动惯量 细棒 细棒 薄圆环或薄圆筒 圆盘或圆柱体 16 质点与刚体组合的转动惯量 17 四平行轴定理 质量为的刚体 如果对其质心轴的转动惯量为 则对任一与该轴平行 相距为的转轴的转动惯量 18 质量为m 长为L的细棒绕其一端的J 圆盘对P轴的转动惯量 19 2 为瞬时关系 3 转动中与平动中地位相同 1 与方向相同 说明 转动定律应用 20 竿子长些还是短些较安全 飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘 21 例1 一根轻绳跨过一定滑轮 滑轮视为圆盘 绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体 m1 m2 滑轮的质量为m 半径为R 所受的摩擦阻力矩为Mf 绳与滑轮间无相对滑动 试求 物体的加速度和绳的张力 已知 m1 m2 m R Mf 求 解 研究对象m1 m2 m 建立坐标 受力分析如图 Mf 对m1 对m2 对m 22 联立求得 注意 当不计滑轮的质量及摩擦阻力时 这便是质点动力学中所熟知的结果 2020 4 5 23 例 已知 R m求 圆盘自静止开始转动后 转过的角度与时间的关系 解 圆盘和物体受力分析如图 对圆盘 对物体 联立 1 2 3 得 24 例2质量为mA的物体A静止在光滑水平面上 和一质量不计的绳索相连接 绳索跨过一半径为R 质量为mC的圆柱形滑轮C 并系在另一质量为mB的物体B上 B竖直悬挂 滑轮与绳索间无滑动 且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计 1 两物体的线加速度为多少 水平和竖直两段绳索的张力各为多少 2 物体B从静止落下距离y时 其速率是多少 25 解 1 用隔离法分别对各物体作受力分析 取如图所示坐标系 A B C 26 27 解得 28 如令 可得 2 B由静止出发作匀加速直线运动 下落的速率 29 稳定平衡状态 当其受到微小扰动时 细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动 试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度 例3一长为l 质量为m匀质细杆竖直放置 其下端与一固定铰链O相接 并可绕其转动