利用换元法解方程(组)

第第 6 6 讲讲 利用换元法解方程利用换元法解方程 一 方法技巧一 方法技巧 一 换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分 达到化简的目的 二 运用换元法解方程 主要有三种类型 分式方程 无理方程 整式 高次 方 程 解分式方程 无理方程 整式 高次 方程的基本思想是将分式方程化为整式方 程 无理方程化为有理方程 整式 高次 方程逐步降次 三 换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的 不同的方程就有不同的换元 方法 因此 这种方法灵活性大 技巧性强 恰当地换元 可将复杂方程化简 以便寻求解题的途径 常用换元方法有局部换元 均值换元 倒数换元 常数换元等 例如 2 560 11 xx xx 可使用局部换元法 设 1 x y x 2 2 11 0 xx xx 变形后也可使用局部换元法 设 1 xt x 22 22 12219 116 xxxx xxx 看着很繁冗 变形整理成 22 22 1119 1 116 xxx xxx 时 就可使用局部换元法 44 3182xx 可设 31 2 2 xx yx 方程变成 44 1182yy 使方程变得易解 这是均值换元法 432 6538560 xxxx 符合与中间项等距离的项的系数相等 如 4 6x与6 3 5x与5x系数相等 可构造 1 x x 换元 是倒数换元法 32 2 33310 xxx 不易求解 若反过来看 把设x看作已 知数 把设为设 则方程就变成 3t 223 2110 x txtx 数字换元法不常用 但不失为一种巧妙的解题方法 有时根据方程各部分特点可设双元 达到化繁为简 求解的目的 例如 222 22222 3232321321451xxxxxxxxxx 观察发现 故可设 222 32321451xxxxxx 2 32xxu 原方程变为 方程由繁变简 可得解 2 321xxv 2 22 uuvvuv 四 本讲注重研究用换元法解方程的技能 技巧 拓宽学生知识面 培养学生学习 和研究数学的兴趣 二 应用举例二 应用举例 类型一类型一 局部换元局部换元 高次方程 例题1 解方程 42 320 xx 答案 1 1x 2 1x 3 2x 4 2x 解析 试题分析 通过观察发现 故设 原方程变形为 可把高次方 2 42 xx 2 xy 2 320yy 程降次 转化为可解的一元二次方程 试题解析 解 设 则原方程变形为 2 xy 2 320yy 解得 1 1y 2 2y 由得 解得 1 1y 2 1x 1 1x 2 1x 由得 解得 2 2y 2 2x 3 2x 4 2x 方程的解是 1 1x 2 1x 3 2x 4 2x 难度 较易 分式方程 例题2 解方程 2 560 11 xx xx 答案 1 3 4 x 2 2 3 x 解析 试题分析 括号里的分式相同 由这个特点 可以用换元法来解 试题解析 解 设 于是原方程变形为 1 x y x 2 560yy 解得 1 3y 2 2y 当时 解得 1 3y 3 1 x x 1 3 4 x 当时 解得 2 2y 2 1 x x 2 2 3 x 经检验 均为原方程的根 1 3 4 x 2 2 3 x 方程的解是 1 3 4 x 2 2 3 x 难度 较易 例题 3 已知实数满足 那么的值是 x 2 2 11 0 xx xx 1 x x 答案 2 解析 试题分析 由于 故设 可解 2 2 2 11 2xx xx 1 xt x 试题解析 解 设 1 xt x 原方程化简得 2 11 20 xx xx 2 20tt 解得 1 1t 2 2t 由化简得 0 无解 舍去 1 1x x 2 10 xx 1 2x x 点评 方程中并无 相同 的部分时 可通过代数式间的关系变形构造出 相同 部分 设元 难度 一般 无理方程 例题 4 解方程 210 1 23 x xx 答案 1 1 4 x 2 9 4 x 解析 试题分析 这是一个根号里含有分式的无理方程 也可通过换元后求解 通过变形发现 22 1 x xx 与互为倒数 可设 则原方程变形为 无理方程化为有理方 2 x x 2 1y x 110 3 y y 程 试题解析 解 设 则原方程变形为 2 10yy x 110 3 y y 整理得 2 31030yy 解得 1 3y 2 1 3 y 当时 解得 1 3y 2 13 x 1 1 4 x 当时 解得 2 1 3 y 21 1 3x 2 9 4 x 经检验 都是原方程的根 1 1 4 x 2 9 4 x 原方程的解是 1 1 4 x 2 9 4 x 难度 一般 例题 5 解方程1310 xx 答案 1 7 1 2 x 2 7 1 2 x 解析 试题分析 注意到原方程可变为 可设两个未知数 利用韦达定理求解 131xx 试题解析 解 设 1xm 3xn 原方程变为1mn 又 2 22 2mnmnmn 即142mn 3 2 mn 根据韦达定理 是方程的根mn 2 3 0 2 zz 解得 1 17 2 z 2 17 2 z 17 0 2 舍去 2 z 即或 17 2 m 17 2 n 故 或 17 1 2 x 17 3 2 x 解得 1 7 1 2 x 2 7 1 2 x 经检验 是原方程的解 1 7 1 2 x 2 7 1 2 x 方程的解是 1 7 1 2 x 2 7 1 2 x 难度 一般 类型二类型二 均值换元均值换元 例题 6 解方程 44 3182xx 答案 1 0 x 2 4x 解析 试题分析 观察方程可知 适合使用均值法换元 故设 312xx 31 2 2 xx yx 可达到降次目的 试题解析 解 设 31 2 2 xx yx 原方程变为 44 1182yy 整理得 2 2222 1121182yyyy 22 22 412182yy 42 6400yy 解得 舍 2 10y 2 4y 即 1 2y 1 2y 由 得22x 1 0 x 由 得22x 2 4x 原方程的解为 1 0 x 2 4x 点评 一般形如的方程可用均值法 设 44 xaxbc 进行代换 化原方程为双二次方程求解 22 xaxbab yx 难度 较难 类型三类型三 倒数换元倒数换元 例题 7 解方程 432 6538560 xxxx 答案 1 1 2 x 2 2x 3 3x 4 1 3 x 解析 试题分析 本题的特点是 按降幂排列后 与中间项等距离的项的系数相等 如与 与x 4 6x6 3 5x 系数相等 可构造换元 5x 1 x x 试题解析 解 显然不是方程的解 故用除方程两边 0 x 2 x 整理得 2 2 11 65380 xx xx 设 则 1 yx x 22 2 1 2xy x 上式变为 2 625380yy 整理得 2 65500yy 解得 1 5 2 y 2 10 3 y 由 解得 15 2 x x 1 1 2 x 2 2x 由 解得 110 3 x x 3 3x 4 1 3 x 点评 形如的方程称为倒数方程 其特点是 按某一字母降幂 432 0axbxcxbxa 排列后 与中间项等距离的项的绝对值相等 其解法是 用除各项 构造 使原 2 x 1 x x 方程变为一元二次方程得解 难度 较难 类型四类型四 常数换元常数换元 例题 8 解方程 32 2 33310 xxx 答案 1 13x 4 2 1312 2 x 4 3 1312 2 x 解析 试题分析 这是三次方程 且系数中含无理数 不易求解 若反过来看 把设看作已知数 把x 设为设 则方程就变成关于 的一元二次方程 3tt 试题解析 解 设3t 则原方程变形为 322 210 xx txtt 即 223 2110 x txtx 2 110 x txxtx 2 31310 xxxx 整理得 2 311310 xxx 或 2 3110 xx 310 x 解得 1 13x 4 2 1312 2 x 4 3 1312 2 x 难度 困难 三 实战演练三 实战演练 类型一 局部换元 高次方程 1 已知 则的值为 2222 138xyxy 22 xy 答案 1 解析 试题分析 解题时把当成一个整体考虑 再求解就比较简单 22 xy 试题解析 解 设 则 22 xyt 0t 原方程变形为 138tt 整理得 510tt 解得 1 5t 2 1t 0t 1t 的值是 1 22 xy 难度 较易 2 解方程 2 22 2360 xxxx 答案 1 0 x 2 2x 3 3x 4 1x 解析 试题分析 观察可知 方程整理后 可用换元法降次 2 22 2320 xxxx 试题解析 解 方程整理后 2 22 2320 xxxx 设 则 2 2xxy 原方程变为 2 30yy 解得 1 0y 2 3y 由 得 解得 1 0y 2 20 xx 1 0 x 2 2x 由 得 解得 2 3y 2 23xx 3 3x 4 1x 原方程的解是 1 0 x 2 2x 3 3x 4 1x 难度 较易 3 方程 如果设 那么原方程可变形为 2 22 35 320 xx 2 3xy A B C D 2 520yy 2 520yy 2 520yy 2 520yy 答案 D 解析 试题分析 注意到与互为相反数 只有符号要变化 可利用换元法变形 2 3x 2 3x 试题解析 解 设 则 2 3xy 2 3xy 用表示后代入方程得y 2 3x 2 520yy 故选 D 难度 较易 4 解方程 2 22 13xx 答案 1 1x 2 1x 解析 试题分析 1 以为一个整体换元 因此要对方程进行变形使其含有 2 1x 2 1x 2 把方程展开成标准的双次方程 再对进行换元 2 x 试题解析 解法一 原方程可化为 2 22 1120 xx 设 得 2 1xy 2 20yy 解得 1 2y 2 1y 由 解得 2 12x 1 1x 2 1x 由 无实根 2 11x 2 2x 方程的解是 1 1x 2 1x 解法二 由方程得 42 20 xx 设 2 xy 得 2 20yy 解得 舍去 1 1y 2 2y 由 解得 2 1x 1 1x 2 1x 方程的解是 1 1x 2 1x 点评 换元的关键是善于发现或构造方程中表达形式相同的部分作为换元对象 在解方程的 过程中换元的方法常常不是唯一的 解高次方程时 只要能达到将次目的的换元方法都可 以应用 难度 较易 分式方程 5 解方程 2 2 6 1xx xx 答案 1 2x 2 1x 解析 试题分析 方程左边分式分母为 可将右边看成一个整体 然后用换元法解 2 xx 2 xx 试题解析 解 设 则原方程变形为 2 xxy 6 1y y 解得 1 3y 2 2y 当时 0 此方程无实根 1 3y 2 3xx 当时 解得 2 2y 2 2xx 1 2x 2 1x 经检验 都是原方程的根 1 2x 2 1x 难度 较易 6 解方程 2 2 2 1 x x x 答案 1 12x 2 12x 解析 试题分析 整理后发现 故 就可换元解题了 2 22x xxx 2 211x xx 试题解析 解 方程整理后变为 2 2 2 2 1 xx x 两边加 1 得 2 2 2 11 1 x x 设 则 2 1xy 原方程变为 2 1y y 整理得 2 20yy 解得 舍去 1 2y 2 1y 由得 解得 1 2y 2 12x 1 12x 2 12x 经检验 是原方程的解 1 12x 2 12x 方程的解是 1 12x 2 12x 难度 较易 7 解方程 22 22 12219 116 xxxx xxx 答案 12 1xx 3 35 2 x 4 35 2 x 解析 试题分析 观察到 设 原方程可化 22 22 222 11 221 1 111 xxx xxx xxxxxx 2 2 1 1 xx y x 为 由繁变简 可解 119 1 6 y y 试题解析 解 原方程变形得 22 22 1119 1 116 xxx xxx 即 22 22 1113 116 xxx xxx 设 则原方程变为 2 2 1 1 xx y x 113 6 y y 整理得 2 61360yy 解得 1 3 2 y 2 2 3 y 由得 解得 1 3 2 y 2 2 13 12 xx x 12 1xx 由得 解得 2 2 3 y 2 2 12 13 xx x 3 35 2 x 4 35 2 x 经检验 都是原方程的解 12 1xx 3 35 2 x 4 35 2 x 原方程的解是 12 1xx 3 35 2 x 4 35 2 x 难度 一般 8 解方程 2 2 27 2720 xx xx 答案 1 12x 2 12x 3 1 2 x 4 2x 解析 试题分析 观察可发现 而 22 22 2711 272272xxxx xxxx 故可设为辅助元 可得解 2 2 2 11 2xx xx 1 x x 试题解析 解 将原方程转化为 2 11 22720 xx xx 设 则 1 xy x 原方程转化为 2 2760yy 解得 1 2y 2 3 2 y 当时 解得 1 2y 1 2x x 1 12x 2 12x 当时 解得 2 3 2 y 13 2 x x 3 1 2 x 4 2x 经检验 都是原方程的解 1 12x 2 12x 3 1 2 x 4 2x 所以 原方程的解是 1 12x 2 12x 3 1 2 x 4 2x 难度 一般 9 解方程 2 2 232 2 322 xx xx 答案 1 17 3 x 2 17 3 x 解析 试题分析 这个方程左边两个分式互为倒数关系 抓住这一特点 可设 2 2 32 x y x 试题解析 解 设 则原方程可化为 2 2 32 x y x 1 2y y 即 2 210yy 解得 2 10y 1y 由 得 2 2 1 32 x x 2 3220 xx 解得 1 17 3 x 2 17 3 x 经检验 都是原方程的根 1 17 3 x 2 17 3 x 点评 解有倒数关系的分式方程时 常把原方程中的一个分式作为整体进行换元 换元时 要注意分子 分母互换时分式可以用一个新元和它的倒数来表示 即 形如的方程 可设 0 b a f xc f x A yf x 难度 较易 10 解方程 222 122 272221xxxxxx 答案 1 15x 2 15x 解析 试题分析 观察方程的分母 发现各分母均是关于的二次三项式 仅常数项不同 抓住这一特点 x 可设 2 2yxx 试题解析 解 设 原方程可化为 2 2yxx 即 122 721yyy 12 721yyy 即 2 120yy 解得 1 4y 2 3y 由 解得 2 24xx 1 15x 2 15x 由 0 方程无解 2 23xx 经检验 都是原方程的解 1 15x 2 15x 方程的解是 1 15x 2 15x 难度 较难 11 解方程 222 111 0 11102101310 xxxxxx 答案 1 5x 2 2x 3 5x 4 2x 解析 试题分析 观察方程的分母 发现三个分母都是关于的二次三项式 仅一次项不同 抓x 住这一特点 可设 2 210yxx 试题解析 解 设 2 210yxx 则原方程可化为 111 0 915yxyyx 整理得 22 4450yxyx 解得 1 9yx 2 5yx 由 解得 2 2109xxx 1 5x 2 2x 由 解得 2 2105xxx 3 5x 4 2x 经检验知 它们都是原方程的解 点评 以上三个例子可以看出 换元时必须对原方程仔细观察 分析 抓住方程的特点 恰当换元 花繁为简 达到解方程的目的 难度 较难 双元换元 12 解方程 2 1313 42 11 xxx x xx 答案 1 1x 2 6x 3 32x 4 32x 解析 试题分析 本题整理后 发现 22 1313 42 11 xxx xx 22 13131313 13 111 xxxx xxx 设 可得 利用韦达定理可求解 2 13 1 xx a x 2 13 1 x b x 13ab 42ab 试题解析 解 设 2 13 1 xx a x 2 13 1 x b x 可得 13ab 42ab 由韦达定理 知 是方程的两根ab 2 13420zz 解得 1 6z 2 7z 即或 6 7 a b 7 6 a b 即或 2 2 13 6 1 13 7 1 xx x x x 2 2 13 7 1 13 6 1 xx x x x 经检验 都是原方程的根 1 1x 2 6x 3 32x 4 32x 所以方程的解是 1 1x 2 6x 3 32x 4 32x 难度 较难 13 222 22222 3232321321451xxxxxxxxxx 答案 13 1xx 2 2x 4 1 3 x 解析 试题分析 观察发现 故可设 222 32321451xxxxxx 2 32xxu 原方程变为 方程由繁变简 可得解 2 321xxv 2 22 uuvvuv 试题解析 解 222 32321451xxxxxx 设 2 32xxu 2 321xxv 原方程变为 2 22 uuvvuv 2 22 2uuvvuv 即或0uv 0u 0v 即或 2 320 xx 2 3210 xx 解得 1 1x 2 2x 3 1x 4 1 3 x 方程的解是 13 1xx 2 2x 4 1 3 x 点评 对于本题这样繁冗的方程 直接展开求解不可取 可通过观察 找到代数式间的联 系 不妨设两个辅助元 将方程变形 目的是使方程有繁变简 可解 难度 较难 无理方程 14 解方程 211xx 答案 1x 解析 试题分析 解无理方程的基本思想是将其转化为有理方程 通常是设根式为元 本题的两根式存在 的关系 故设一个辅助元即可 1 12xx 试题解析 解 设 则 即1yx 2 1xy 2 21xy 原方程可化为 2 11yy 变形为 2 11yy 两边平方 并整理得0y 由 解得10 x 1x 经检验是原方程的解1x 点评 解无理方程时 常把方程中的一个含有未知数的根式作为整体换元 达到化去根号 转化为可解的方程的目的 难度 一般 15 解方程组 18 323 xy xy 答案 19 1 x y 解析 试题分析 此题是整式方程与无理方程合并的方程组 解题时应从无理方程出发 将其化为有理方程 求解 试题解析 解 设 则3xu 2yv 原方程组可化为 22 17 3 uv uv 1 2 由 2 得 3 3uv 将 3 代入 1 得 2 2 317vv 解得 不能为负 1 1v 2 4v 2y 4u 得 解得 34 21 x y 19 1 x y 经检验 知是原方程组的解 19 1 x y 原方程组的解为 19 1 x y 点评 妙用换元法 将无理方程组化为有理方程组 从而把繁杂而生疏的问题转化为简单 而熟悉的问题 难度 一般 16 解方程 22 2653150 xxxx 答案 1 5x 2 2x 解析 试题分析 由于根号里面与根号外面 对应系数成比例 故可以将其变形 2 3xx 2 26xx 不难找到辅助元 22 23153130 xxxx 试题解析 解 设 则原方程可以化为 2 31xxy 2 2530yy 解得 舍去 1 1 2 y 2 3y 即 2 313xx 解得 1 5x 2 2x 经检验 是原方程的解 1 5x 2 2x 点评 以前学过的取平方去根号法解无理方程 是种普遍方法 现在的换元法必须构造出根 号内外两个相同的式子才行 难度 较难 类型二 均值换元 17 解方程 214719xxxx 答案 1 585 2 x 2 585 2 x 3 55 2 x 4 55 2 x 解析 试题分析 方程的左边是四个二项式乘积 故展开求解不可取 应通过观察找突破口 左边重组后 可设元求解 2714xxxx 22 51454xxxx 试题解析 解 原方程变形后 271419xxxx 整理后得 22 5145419xxxx 设 22 2 51454 55 2 xxxx yxx 方程可变为 即 9919yy 2 100y 解得 1 10y 2 10y 由得 解得 1 10y 2 5510 xx 1 585 2 x 2 585 2 x 由得 解得 2 10y 2 5510 xx 3 55 2 x 4 55 2 x 方程的解是 1 585 2 x 2 585 2 x 3 55 2 x 4 55 2 x 点评 本题也可设为辅