高中数学第二章函数2.5第2课时函数的奇偶性课件

第二章 函数 5简单的幂函数 第2课时函数的奇偶性 自主预习学案 大自然是一个真正的设计师 它用对称的方法创造了千百万种不同的生命 被誉为 上海之鸟 的浦东国际机场的设计模型 是一只硕大无比 展开双翅的海鸥 它的两翼呈对称状 看上去舒展优美 它象征着浦东将展翅高飞 飞向更高 更广阔的天地 创造更新 更宏伟的业绩 一些函数的图像也有着如此美妙的对称性 那么这种对称性体现了函数的什么性质呢 奇函数与偶函数 1 一般地 图像关于 对称的函数叫作奇函数 在奇函数f x 中 f x 与f x 绝对值 符号 即f x 反之 满足 的函数y f x 一定是奇函数 2 一般地 图像关于 对称的函数叫作偶函数 在偶函数f x 中 f x 与f x 的值 即f x 反之 满足 的函数y f x 一定是偶函数 3 当函数f x 是奇函数或偶函数时 称函数f x 具有 原点 相等 相反 f x f x f x y轴 相等 f x f x f x 奇偶性 C D 3 互动探究学案 命题方向1 函数奇偶性的判定 规范解答 1 f x 的定义域为 0 不关于原点对称 故f x 为非奇非偶函数 2 f x x3的定义域为R 关于原点对称且f x x 3 x3 f x f x x3为奇函数 3 f x x 的定义域为R 关于原点对称且f x x f x f x x 为偶函数 规律总结 函数奇偶性的方法判断 1 定义法 注意 利用定义判断函数奇偶性时 首先应看函数的定义域是否关于原点对称 2 在选择 填空题中 也可以用如下性质判断函数奇偶性 偶函数的和 差 积 商 分母不为零 仍为偶函数 奇函数的和 差仍为奇函数 奇 偶 数个奇函数的积 商 分母不为零 为奇 偶 函数 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数 解析 1 f x 的定义域为 2 不关于原点对称 因此 函数f x 为非奇非偶函数 2 f x 的定义域为 1 1 且f x 0 f 1 0 f 1 0 f 1 f 1 且f 1 f 1 因此 函数f x 既是奇函数 又是偶函数 命题方向2 分段函数奇偶性的判定 规律总结 1 判断分段函数的奇偶性 必须分段考虑 2 若分段函数是奇函数或偶函数 常用含绝对值符号的函数表达式来表示 命题方向3 函数奇偶性的概念与图像 A 规律总结 利用函数的奇偶性作图 其依据是奇函数图像关于原点对称 偶函数图像关于y轴对称 规范解答 可结合我们已学过的函数及奇 偶函数的图像特征来判断 偶函数的图像一定关于y轴对称 但不一定与y轴相交 如函数y x0 y x 2都是偶函数 但它们的图像不与y轴相交 故 错误 正确 奇函数的图像关于原点对称 但不一定过原点 如y x 1 故 错误 若函数y f x 既是奇函数又是偶函数 由定义可得f x 0 但未必x R 如x 1 1 只要其定义域关于原点对称即可 故 错误 所以四个结论中只有 正确 故选A 函数单调性与奇偶性的综合运用 奇偶性反映函数在定义域上的对称性 单调性反映函数在某一区间函数值的变化趋势 函数的奇偶性与单调性是函数的两个重要性质 在解答数学问题时 要善于应用函数观点 挖掘函数的奇偶性与单调性 并注意奇偶性与单调性的相关性质 1 若函数f x 为奇函数 当f x 在区间 a b 上是单调函数时 f x 在其对称区间 b a 上也是单调函数 且单调性相同 2 若函数f x 为偶函数 当f x 在区间 a b 上是单调函数时 f x 在其对称区间 b a 上也是单调函数 且单调性相反 函数的奇偶性与单调性常用于解抽象不等式 在求解过程中 关键是去掉函数符号 f 得到关于自变量的一个不等式 组 然后求出某个变量的范围 规律总结 解决此类问题时一定要充分利用已知的条件 把已知不等式转化成f x1 f x2 或f x1 f x2 的形式 再根据奇函数在对称区间上单调性一致 偶函数的单调性相反 列出不等式或不等式组 同时不能漏掉函数自身定义域对参数的限制 C 规律总结 判断函数奇偶性的步骤 1 求函数定义域 若定义域关于原点对称 执行 2 否则下结