杨松涛（理科考试研究修改稿4-16.docVIP

浅议数学思想在平面向量章节问题教学中的运用内容摘要：本文作者根据平面向量知识内容，就如何在平面向量问题解答中运用数学思想进行了阐述。关键词：平面向量 数学思想数学思想是数学思维活动的高级形式，是思维能力水平的集中体现，更是思想素养的体系支撑。当前随着高中数学新课改的深入实施，数学思想的形成和树立，已经成为高中数学问题教学活动的重要目标和行进方向。平面向量知识是近代数学中的重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，是高中阶段数学知识体系的重要组成本分。学生通过对平面向量及其运算意义的理解、向量的稽核表示以及平面向量的正交分解和坐标运算等内容的分析，可以发现，平面向量在提高学生运算能力和解决实际问题的能力上，特别是促进学生数学思想的形成上，具有特殊的推动和载体作用。一、数形结合思想在平面向量中的运用“无数不入微，无形不直观”，数形结合思想是数学思想类型中的一种形式，它将数学问题有代数形式转化为图形的方式进行分析、理解和解答，把抽象的的数学问题与直观的图形几何，使抽象变为具体，复杂变为简单，平面向量具有几何和代数运算的双重特点，是数形结合思想体现的有效载体。例题1：某人若在静止的水中游泳，速度是4千米，水流的速度是4千米。（1）如果他径直游向对岸，他实际沿什么方向前进？速度是多少千米？（2）他必须向哪个方向游才能与水流方向垂直的方法前进，实际前进的速度大小是多少？分析：上述案例实际上是一道有关向量实际运用的问题，本题考查的是向量在物理学中的应用。因此，可以采用将数字表达形式变为符号或图形的表达形式，将速度用有向线段表示，利用向量加减法的几何意义求解。同时，根据例题所涉及的内容，也可以结合向量的模以及向量加法及减法的几何意义，采用数形结合的思想进行问题的有效解答。又如在解答“已知平面上三个向量a.b.c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120度.求(a-b)垂直c”这一问题时，也可以结合向量的模以及向量加法及减法的几何意义，采用数形结合的思想进行问题的有效解答。解题过程如下：解：a.b.c的模均为1，所以|a|=|b|=|c|=1，相互之间夹角均为120度，所以(a-b)*c=ac-bc=|a|c|cos120-|b|c|cos120=cos120-cos120=0，即证得：(a-b)垂直c。二、数学模型思想在平面向量中的运用数学模型，就是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并解决实际问题的一种数学的思考方法。平面向量作为具有方向性的数学知识，在模型建立上具有显著特性。例题2：如图例题2（1）所示，在重300N的物体上栓两个绳子，这两个绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别30，60，求整个系统处于平衡状态下两个绳子拉力的大小。分析：本题考查的是平面向量知识的实际运用问题，解答该问题时，可以先作出受力分析图，借助模型思想，将实际问题转化为数学模型进行研究分析，再用向量的相关知识来进行问题的有效解答。解：如图例题2-（2）所示，作OACB,使AOC=30，BOC=60，向量与重力是相反的向量，因此=300.由BOA=AOC+BOC=30+60=90知OACB是矩形。在RtAOC中，=cos30=150.在RtOBC中，ll=cos60=300*1/2=150.与铅垂线成30角的绳子的拉力为150N，与铅垂线成60角的绳子的拉力是150N。上述问题解题过程中，可以发现，在解答受力问题时，一般可以将问题转化为向量模型，通过分析向量模型的途径进行问题的有效解答。三、转化（化归）思想在平面向量中的运用等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。数学问题解答题离不开转化与化归，它即是一种数学思想又是一种数学能力，是历年高考考查的重点，常见的转化（化归）方法有直接转化法、换元法、参数法、构造法等。例题3：以原点和A（5.2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB，若B=90，求点B和AB的坐标。分析：本题是考查向量的性质和坐标表示在三角形中的应用，解答本题的关键是求出点B的坐标，可以通过设B（x,y），由且=，可列出关于x,y的方程组，公国解方程组即可求得x,y，再求AB的坐标。解：设B(x,y),则=，因为B(x,y)，A（5,2），所以=，所以=，即10x+4y=29,又因为,所以=0，又因为=（x,y）, =(x-5,y-2),所以x(x-5)+y(y-2)=0,即x2-5x+y2-2y=0,由和组成方程组，解得x1=3/2,y1=7/2,或x2=7/2,y2=-3/2.所以B点的坐标为（3/2,7/2）或（7/2，-3/2）。所以=（-7/2,3/2）或（-3/2，-7/2