江苏省各地市高三历次模拟数学试题分类汇编：第7章数列

- 1 - 目录 （基础复习部分） 第七章 数列 . 2 第 40 课 数列的概念和简单表示 . 2 第 41 课 等差数列 . 2 第 42 课 等比数列 . 5 第 43 课 数列求和 . 5 第 44 课 综合应用（） . 45 课 综合应用（） . 28 - 2 - 第七章 数列 第 40课 数列的概念和简单表示 已知*7 ()52n N，设 则 m 8 （南京盐城模拟一） 已知数列 a ，211| | 2 (a n N*) 若数列 21单调递 减，数列 2数列 . 答案： ( 2) 13n（说明： 或 写成21,321,3 为 奇 数为 偶 数第二数归法可证，第二步分 k 奇偶 ） 设单调递增数列 各项均为正整数，且 20,=an+,n N*，则 答案： 194. 20,所以 k,m,所以 k+m=3,所以 k=1,m=2. 第 41课 等差数列 在等差数列 1 4,a m a n则28a 32 若等差数列 项和 ,255 34 a 则 7a 若一直角三角形的三边长构成公差为 2 的等差数列，则该直角三角形的周长为 24 等差数列 22, 788,则该数列前十项的和10S 30 （苏州期末） 已知等差数列 610，若前 5 项的和5 5S ，则其公差为 . 2 （苏北四市期末） 在等差数列 n中，已知2811，则3 113值为 22 （淮安宿迁摸底） 已知 752 3 0 ，则9 3 （盐城期中） 在 等差数列 ， 前 n 项和 ， 若75= +4则93 . 12 （南京盐城二模） 记等差数列 前 n 项和为 已知1 2a，且数列 13a= 。 50 （南通调研二） 已知 等差数列 ，公差为 2，前 n 项和为5 44(k N )，则 【答案】 7 （南通调研三）在等差数列 ，若 an+4n+6（ n N*），则该数列的通项公式 【 答案 】 2n+1 （苏北三市调研三） 设 等差数列 n 项和为526，4 28S ， 则10 37 （南京三模） 记 等差数列 前 n 项和 为 1 8， 0， 1 10，则 正整数 k 9 - 3 - 已知数列 n N*， 1 46n ）满足1 1, 1 1 5 ,1 , 1 6 3 0 ,1 , 3 1 4 5 ,a 其中 0d ， n N* （ 1）当 1a 时，求46d 的表达式，并求46 （ 2）设集合 |i j kM b b a a a ， i ， j ， k N*， 1 1 6i j k 若 13a， 14d，求证： 2 M ； 是否存在实数 a ， d ，使 18， 1 ， 5340都属于 M ？ 若存在，请求出 实数 a ， d ；若不存在，请说明理由 19 解：（ 1）当 1a 时， 16 1 15，31 16 15，46 11 6 1 5 ( ) 2 分 因为 0d ， 21，或 21 ， 所以46 ( , 1 4 4 6 , )a 4 分 （ 2） 由题意 1134n ， 1 16n ， 314i j 6 分 令 3124i j k ，得 7i j k 因为 i ， j ， k N*， 1 1 6i j k ， 所以令 1i ， 2j ， 4k ，则 2 M 8 分 不存在实数 a ， d ，使 18， 1 ， 5340同时属于 M 9 分 假设存在实数 a ， d ，使 18， 1 ， 5340同时属于 M ( 1)na a n d ， 3 ( 3 )b a i j k d ， 从而 | 3M b b a m d ， 3 42m ， 11 分 因为 18， 1 ， 5340同时属于 M ，所以存在三个不同的整数 x ， y ， z （ x ， y ， z 3,42 ）， 使得13,83 1,533,40a 从而7( ) ,86( ) ,5y x dz x d 则 3548 13 分 因为 35 与 48 互质，且 与 为整数， 所以 | | 35 ， | | 48 ，但 | | 39 ，矛盾 - 4 - 所以不存在实数 a ， d ，使 18， 1 ， 5340都属于 M 16 分 （南师附中四校联考） 设数列 n 项和为 121)1( 11 *. （ 1）若数列 数列 （ 2）设 62 a ，求证：数列 （ 1） 121)1( 11 1212 1 公差为 d， 则 1)1(21)(2 )1(2 111 1)(21)2()2( 11212 4 分 01)(2122111421 6 分 24 8 分 注：由121221212232121,21 但没有证明原式成立，只给 4 分 . （ 2） 1212 1 121)1(2 11 得 )2(0)32(211 10 分 )1(0)52()22(12 2(0)42()54()22(112 12 分 )2(02)22()44()22(1112 )2(22)22(1112 14 分 62 a 可 得 10,231 02123 0212 16 分 - 5 - 第 42课 等比数列 已知等比数列 3614 , ,2则45 3 等比数列 632 0，3 4 5 1a a a ，则数列的前 6 项和为 答案 ： 214； 已知等比数列 若 24224516， 则5a 132（ 扬 州 期末 ） 设数列 的前 n 项和为 114 ( )2 ， 若对 任 意 n N* ，都有1 ( 4 ) 3 n ，则实数 p 的取值范围是 . 2,3 （镇江期末） 设等比数列 n 项和为3 7S ，6 63S ， 则 987 . 448 （盐城期中） 若等比数列 a ，4 9a ，则6a . 27 （泰州二模） 在等比数列 知3 7 54 , 2 3 2 0a a a ，则7a 64 (南 通中学期中 ) 已知数列2q （ q 为常数），若3 4 5 6, , ,a a a 18， 6， 2， 6，30，则1a 【知识点】 单元综合 答案】 26， 解析】 由已知可得， +2=q（ ）， n=1， 2， ， 当 2 时，显然有 6， 30，此时 2 当 2 时，则1 22a ，（ q 为常数 ）， 又因为 6， 30， 所以 ， ， ， 0， 8， 32， 因为 2，所以 0， 从而 =32， =8， =或 =8， =32故有 q= q= 3， 或 26 【思路点拨】 观察已知式子，移项变形为 +2=q（ ），从而得到 与 +2 的 关 系，分 2 和 2 讨论，当 2 时构造等比数列 ，公比为 q计算可得答案 第 43课 数列求和 （盐城期中）设函数 2 1 1 *3 2 2 4 ( )x x n N 的图象在 x 轴上截得的线段长为数列 前 n 项和为 若存在正整数 n ，使得 22l o g 1 1 8成立，则实数 m 的最小值为 . 13 （南师附中四校联考） 已知数列 项公 式 分 别 为 ， ，若123121 ，则数列 . )23(6 - 6 - （金海南三校联考）设 数列 前 n 项和，若 Sn= 3n(n 1)(n N*)且 1，则 已知有穷等差数列 差为 4，其首项的平方与其余各项之和不超过 100，这样的数列至多 有 项 答案： 8 已知 等差数列，其前 n 项的和为 等比数列，且 2， 21， 30 （ 1）求数列 通项公式； （ 2） 记 n N*， 求数列 前 n 项和 解： （ 1） 设 等差数列 公差为 d，等比数列 公比为 q 由 2，得 2 3d， 28 6d 3 分 由条件 21， 30，得方程组 2 3d 221，8 6d 230， 解得 d 1，q 2 所以 n 1， 2n， n N* 7 分 （ 2）由题意知， (n 1) 2n 记 则 2 2 3 22 4 23 n 2n 1 (n 1) 2n， 2 2 22 3 23 (n 1) 2n 1 n 2n (n 1)2n 1， 所以 2 2 (22 23 2n ) (n 1) 2n 1， 11 分 即 n 2n 1， n N* 14 分 已知数列na、 中，12a，数列 项和2*()n a nN,数列 2b b （ 1）求数列na、项公式； （ 2） 是否存在自然数 m ，使得对于任意 * , 2,N 有121 1 1 84b b 存在 ,求出 m 的最小值； （ 3） 若数列, 为 奇 数为 偶 数， 求数列n 项和T 解：（ 1） 因为()S n a n ，2( 1)S n a， 所以 2211( 1 )n n n n S n a n a - 7 - 所以1( 1 ) ( 1 )a n a ，即111 2 分 又1 12a，所以1 2 3 2 11 2 3 2 1n n n na a a a a a a a 1 2 3 2 1 11 1 4 3 2n n nn n n 1( 1). 4 分 当 1n 时，上式成立， 因为112 , 2b b，所以，公比为 2 的等比数列， 故 2. 6 分 (2) 由（ 1）知 2，则 2121 1 1 1 1 1 11 1 22 2 2 2b b +. 假设存在自然数 m ，使得对于任意 *, 2,N 有121 1 1 84b b 1824恒成立，由8 24m ，解得 16m 9 分 所以存在自然数 m ，使得对于任意 * , 2,N 有1 1 1 81 4b b 时， m 的最小值为 16. 11 分 （ 3） 当 n 为奇数时， 2 4 1131 1 1( ) ( )3b b ba a n a 2 4 1 2 4 ( 1 ) ( 2 2 2 ) 122 1 1 4 (1 4 )2 2 1 4 2 14 3 4 ( 2 1 )43 ； 13 分 当 n 为偶数时， 241 3 11 1 1 ( )3 ( 1 )nT b b ba a n a 24( 2 4 ) ( 2 2 2 ) 22 4 (1 4 )2 2 1 4 2 24( 2 1 )43 . 15 分 - 8 - 因此2124 3 4 ( 2 1 ) ,4324 ( 2 1 ) ,43n 为 奇 数为 偶 数 16 分 （苏州期末） 已知数列 a，11 ,33 , n n n 为 奇 数 ,为 偶 数（ 1）是否存在实数 ，使数列2是等比数列？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由； （ 2）若n 项和，求满足 0的所有正整数 n 解：（ 1）设 2，因为 211 2 2221 213 n a a 2222116 2 1 133n n ， 2 分 若数列2是等比数列，则必须有 221 13 （常数）， 即 21 1 1 03 nq a q ，即 1 0,3( 1) 1 0 , 1,33,2q 5 分 此时1 2 13 1 3 1102 3 2 6b a a ， 所以存在实数 32，使数列 2是等比数列 6 分 （注：利用前几项，求出 的值，并证明不扣分） （ 2）由（ 1）得 6为首项， 13为公比的等比数列， 故 123 1 1 1 12 6 3 2 3 ，即21 1 32 3 2 ， 8 分 由 2 2 11 213a n ，得 12 1 21 1 1 53 3 2 1 62 3 2a n n ， 10 分 所以 12 1 21 1 1 16 9 2 6 92 3 3 3n n a n n ， - 9 - 2 1 2 3 4 2 1 2n n nS a a a a a a L 21 1 12 6 1 2 93 3 3 n 1 )2 6 91213n 22111 3 6 3 1 233n n n ， 12 分 显然当 n N*时， 2 又当 1n 时，2 7 03S ，当 2n 时，4 8 09S ，所以当 2n 时， 2 0 ； 22 1 2 2 3 1 1( ) 3 ( 1 )2 3 2nn n a n ， 同理，当且仅当 1n 时， 210 综上，满足 0 的所有正整数 n 为 1 和 2 16 分 （盐城期中） 设 数列 n 项和 为 211 3 2 ( 2 , )n n S n n n N . （ 1）若 求 （ 2） 若1 1a. 当2 1a 时，试求100S； 若数列 3 225，试求满足条件的所有正整数 k 的值 . 解：（ 1）由等差数列求和公式 211( 1 ) ()2 2 2n n n d dS n a d n a n ， 11n n S 2 2 21 1 1( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )2 2 2 2 2 2d d d d d dn a n n a n n a n 2 1( 3 2 ) 3 ( ) ,22a n 2 分 2 2 2113( 3 2 ) 3 ( ) 3 ( ) 3 22 2 2 2d d d dn a n n a n d n ， 13 3 , , 222 ，解得12, 1， 21； 4 分 （ 说明 ：也可以设 2nS a n b n；或令 2, 3，先求出首项1d ） （ 2） 由 211 3 2 ( 2 )n n S n n ， 得 212 3 ( 1 ) 2n n S n ， 6 分 12 6 3 ( 2 )n n na a a n n ， 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 9 8 9 9 1 0 0( ) ( ) ( )S a a a a a a a a a a 11 ( 6 2 3 6 9 8 3 ) 3 3 1 0 0 0 02 . 8 分 - 10 - （ 说明 ：用2 1a ，利用 分组方法求和， 类 似 给分 .） （ 3）设2 由 211 3 2 ( 2 )n n S n n ，得1 2 3 14S S S 与234 29S S S ， 1 2 33 2 1 4a a a ， 3 11 2 ， 1 2 3 43 3 2 2 9a a a a ， 4 ， 10 分 又 212 3 ( 1 ) 2n n S n ， 12 6 3 ( 2 )n n na a a n n ， 11 6 3 ( 3 )n n na a a n n ， 相减得 21 6 ( 3 )a n ， 52 66a a x ， 数列 递增数列， 1 2 3 4 5a a a a a ，解得 7 1133x， 12 分 由3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 2 3 1 3( ) ( ) ( )k k k kS a a a a a a a a a a a a ， 3 11 2 ( 6 4 3 6 ( 3 2 ) 3 ) ( 1 )2kS x k k ， 23 9 3 2 2 5kS k x ， 14 分 2 7 1 19 2 2 2 ( , )33 ，解得 5k . 16 分 （苏北三市调研三） 设 正项 数列 n 项和为满足21122n n nS a a 正项等比数列 2 4 6,.b a b a（ 1） 求 数列 （ 2） 设 , 2 1 ( ), 2 ( )n k n k k 列 n 项和为求所有 正整数 m 的值 ， 使 得221好为数列 (1) 因为 0,当 1n 时 ,21 1 11122a a a,解得1 1a. 1 分 由21122n n nS a a, 当 2,n 21 1 11122n n nS a a , 两式相减， 得22 1111) ( + ) 022n n n na a a a （ 2 分 又因为 0,所以1+0， 所以1=1,1 ( 1 ) 1na a n n 4 分 由2 2 4 6,.b a b a得2 64223 ， 所以 222 2 ( 3 )b q 6 分 (2)由 题意得12, 2 1 ( )2 3 , 2 ( )n k k k k N ， - 11 - 所以2 1 3 2 1 2 4 2( ) ( )m m mT a a a b b b 2( 1 2 1 ) 2 ( 1 3 ) 312 1 3 m m 8 分 2 1 1 22 1 2 2 3 1 2 3 3 1m m mm m b m m 所以 222 1 2 1 2213 1 2 ( 1 )333 1 3 1m mT m m 10 分 故若221 项只能为1 2 3,c c c 11 分 () 若 2122 ( 1 )3 = 131mm m ,则 130m ,所以 m 无解 12 分 （ ）若 2 12122 ( 1 )3 = 2 3 1 031 显然 1m 不符合题意， 2m 符合题意 当 3m 时，即 12( ) 3 1 ,mf m m 则 1( ) 3 l n 3 2 ,mf m m 设 1( ) 3 l n 3 2 ,mg m m则 12( ) 3 ( l n 3 ) 2 0 ， 即 1( ) 3 l n 3 2mf m m 为增 函数，故 ( ) ( 3 ) 0f m f， 即 ()故 ( ) ( 3 ) 1 0 .f m f 故当 3m 时方程 123 1 = 0m m 无解，即 2m 是方程唯一解。 15 分 （ ）若 2122 ( 1 )3 3 ,31mm m则 2 1m ,即 1m . 综上所述， 1m 或 2m 16 分 第 44课 综合应用（） 设等比数列 q（ 01q），前 n 项 和为1 3 44a a a，且6 6S 634记数列 前 n 项和为 1， 2(n 2， n N*)，则 2 2n 1 已知数列 a ，前 n 项和为满足 ( )*122 n+ + = ? ，则满足21 0 0 1 1 11 0 0 0 1 0成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对( , )若不存在，请说明理由 . - 30 - （南通调研一） 设数列 n 项和为若11 22 (n N*)，则称 紧密数列 ” （ 1）若数列 n 项和 21 34nS n n(n N*)，证明： 紧密数列 ”； （ 2）设 数列 q 的等比数列 若数列 紧 密数列 ”，求 q 的取值范围 - 31 - （淮安宿迁摸底）列 列 ，其 前 n 项和为若4 10S ，13 91S （ 1） 求 （ 2） 若 数列 足条 件： 11 当 2n 时，1其中数列 1 1t ，N 试找出一组2t，3t，使得 22 1 3M M M； 证明： 对于数列 一定存在数列 得数列 （ 1） 设数列 差为 d ， 由4 10S ，13 91S ，得 11434 1 021 3 1 21 3 9 12 ， 2 分 12q - 32 - 解得 1 11， 所以 21( 1 )22nn n n nS n a d 4 分 （ 2） 因为111， 若2 2,t 2 2 1 3 1 2M S S ， 33332 1 32t S ， 因为 22 1 3M M M， 所以 33 1 342， 331 14 ，此方程无整数解； 6 分 若2 3,t 2 3 1 6 1 5M S S ， 33333 1 62t S ， 因为 22 1 3M M M， 所以 33 1 6 2 52， 331 62 ，此方程无整数解； 8 分 若2 4,t 2 4 1 1 0 1 9M S S ， 33334 1 102t S ， 因为 22 1 3M M M， 所以 33 1 1 0 8 12， 331 1 8 2 ，解得 3 13t ， 所以2 4t ，3 13t 满足题意 10 分 由 知1 1t ，2 13t ， 23 1 3 3t ，则1 1M， 22 3M ， 23 9M ， 一般的取 21 311 3 3 32 ， 13 分 此时3 1 3 11222 ，1113 1 3 11222 ， 则nM 11213 1 3 1 3 1 3 1112 2 2 2 322n n n ， 所以 因此存在数列 得数列 16 分 （南京盐城二模） 给定一个数列 在这个数列里，任取 m(m3， m N*)项，并且不改变它们在数列 的先后次序，得到的数列称为数列 一个 m 阶子数列 已知数列 通项公式为 1n a (n N*， a 为常数 )，等差数列 数列 一个 3 阶子数列 （ 1）求 a 的值； （ 2）等差数列 ， 一个 m (m3， m N*) 阶子数列，且 1k (k 为常数， k N*， k2)，求证： mk 1； - 33 - （ 3）等比数列 ， 一个 m (m3， m N*) 阶子数列， 求证： 12m 1 解 ： （ 1）因为 等差数列，所以 又因为 12 a， 13 a， 16 a， 代入得 12 a 13 a 13 a 16 a，解得 a 0 3 分 （ 2）设等差数列 ， 公差为 d 因为 1k，所以 1k 1， 从而 d 1k 1 1k 1k(k 1) 6 分 所以 (m 1)d1k m 1k(k 1) 又因为 0，所以 1k m 1k(k 1) 0 即 m 1 k 1 所以 m k 2 又因为 m， k N*，所以 mk 1 9 分 （ 3）设 1t (t N*)，等比数列 ， 公比为 q 因为 1t 1，所以 q 1 从而 11t 1n 1（ 1nm， n N*） 所以 t 1t 11 1t 12 1t 1m 1 t 1t 1 1m t 1t 1m 1 13 分 设函数 f(x) x 11，（ m3， m N*） 当 x (0， )时，函数 f(x) x 11为单调增函数 因为当 t N*，所以 1 t 1t 2 所以 f(t 1t )2 12m 1 即 12m 1 16 分 （南京三模） 已知数列 各项均为正数，其前 n 项的和为 对任意 的 m， n N*， 都有 (n 4 - 34 - （ 1）求 （ 2） 求证 ： 等比数列； （ 3）已知 数列 足 | | p(p 3)是给定的正整数， 数列 前 p 项的和分别为 证：对任意正整数 k(1 k p)， 解： （ 1）由 (n 4 ( 4 (2 4 因为 0， 0，所以 2 2 3 分 证明 ： （ 2） （ 方法一 ） 令 m 1， n 2， 得 ( 4即 (2 4 令 m n 2， 得 2即 2 所以 48 又因为 2， 所以 4 6 分 由 (n 4得 (1 4(2 4 两 式相除，得 (2 (1 以2 1 S12 即 2 2(1 从而 3 2(2 所以 3 22，故当 n 3 时， 公比为 2 的 等比数列 又因为 24而 2 n 1， n N* 显然 ， 2 n 1 满足题设， 因此 首项为 比为 2 的等比数列 10 分 （ 方法二 ） 在 (n 4 ， 令 m n， 得 2 令 m n 1， 得 1 2 2 ， 在 中 ， 用 n 1 代 n 得 ， 2 22 ， 得 1 2 2 22 2 ， 得 2 22 2 2 2 2( 2 由 得 1 2 8 分 代入 ， 得 1 2代入 得 2 21， 所以 21 12又 2， 从而 2 n 1， n N* 显然 ， 2 n 1 满足题设， 因