江苏省高三历次模拟试题分类汇编：第13章空间向量与立体几何

- 1 - 目录 （基础复习部分） 第十三章 空间向量与立体几何 . 2 第 01课 空间向量与运算 . 2 第 02课 空间向量与空间角的计算 . 2 - 2 - 第十三章 空间向量与立体几何 第 01课 空间向量与运算 第 02课 空间向量与空间角的计算 22 如图，已知长方体 ， 3， 2， 5， E 是棱 不同于端点的点，且 （ 1） 当 钝角时，求实数 的取值范围； （ 2） 若 25，记二面角 E 的的大小为 ，求 | 22 解： （ 1） 以 D 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 由题设，知 B(2， 3， 0)， ， 0， 5)， C(0， 3， 0)， ， 3， 5) 因为 ，所以 E(0， 3， 5) 从而 (2， 0， 5)， (2， 3， 5 5) 2 分 当 钝角时， 0， 所以 0，即 2 2 5(5 5) 0， 解得 15 45 即实数 的取值范围是 (15， 45) 5 分 （ 2）当 25时， (2， 0， 2)， (2， 3， 3) 设平面 一个法向量为 (x， y， z)， 由 0， 0得 2x 2z 0，2x 3y 3z 0， 取 x 1， 得 y 53， z 1， 所以 平面 一个法向量为 (1， 53， 1) 7 分 易知，平面 一个法向量为 (1， 0， 0) （第 22 题图） A B C D E 1 1 （第 22 题图） x y z A B C D E 1 1 - 3 - 因为 | 1439 34343 ， 从而 | 34343 10 分 在如图所示的多面体中，四边形 正方形，四边形 直角梯形， ， 面 （ 1）求证： 面 （ 2）求平面 平面 成的锐二面角的大小 （ 1）由已知， 两垂直，可以 D 为原点， 在直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 1 分 设 ，则 )0,0,0(D ， ),0,0( )0,( )0,2,0( 故 ),0,0( ， )0,( ， )0,( ， 2 分 因为 0 0 故 ， ， 即 ， ， 又 D C D Q D 4 分 所以 ， 面 5 分 （ 2）因为 面 所以可取平面 一个法向量 为 )1,0,0(1 n ， 点 B 的坐标为 ),0,( 则 ),0( ， ),( ， 设平面 一个法向量为 ),(2 ，则 02 ， 02 ， A B C D P Q - 4 - 故,0,0,0,0 1 则 0x ， 故 )1,1,0(2 n 设 1n 与 2n 的夹角为 ，则2221|c 1 21 分 所以，平面 平面 成的锐二面角的大小为40 分 如图，在长方体 A B C D A B C D 中， 2C， 1 ， 与 相交于点 O ，点 P 在线段 （点 P 与点 B 不重合） （ 1） 若异面直线 与 所成角的余弦值为 5555，求 长度 ； （ 2） 若 322求平面 与平面 所成角的正弦值 （ 1）以 为一组正交基底， 建立如图所示的空间直角坐标系 D ， 由题意，知 (0,0,0)D ， (2,0,1)A ， (2,2,0)B ， (0,2,1)C ， (1,1,1)O 设 ( , ,0)P t t ， ( 1 , 1 , 1 )O P t t ， ( 2 , 0 ,1) . 设 异面直线 与 所成角为 ， 则22 ( 1 ) 1 55c o 1 ) 1 5O P B C B C t ， 化简得 22 1 2 0 4 0 ，解得 23t或 27t， 2 23 2 27 5 分 （ 2） 322 33( , , 0)22P， A B C P D C D O B A A B C P D C D O B A y x z - 5 - M P D C B A （第 22 题） (0 , 2 ,1) ， (2, 2, 0 )， 13( , ,1)22， 31( , ,1)22 ， 设平面 的一个法向量为1 1 1 1( , , )n x y z， 110,0,n D B 11112 0 ,2 2 0 ,即 112,取1 1y ，1 (1, 1, 2)n ， 设平面 的一个法向量为2 2 2 2( , , )n x y z， 220,0,n P C 2 2 22 2 213 0,2231 0,22x y zx y z 即 2222,取2 1y ，2 (1,1,1)n ， 设平面 与平面 所成角为 ， 121222c o ， 7 10 分 如图，在四棱锥 P ， 底面 面 边长为 2 的 菱形， 60 ， 6， M 为 中点 （ 1）求异面直线 成的角的大小； （ 2）求平面 平面 成的二面角的正弦值 解：（ 1） 设 于点 O，以 O 为顶点，向量 x， y 轴，平行于 方向向上的向量为 z 轴建立直角坐标系 1 分 则 ( 1,0,0)A ， (1,0,0)C ， (0, 3, 0)B ， (0, 3,0)D ， ( 1, 0, 6)P ， 所以 6(0,0, )2M， 6( 0 , 3 , )2， (1, 3 , 6 ) ， 3 分 33c o s , 033 1 3 62M D P P P A 4 分 所以异面直线 成的角为 90 5 分 （ 2）设平面 法向量为1 1 1 1( , , )x y zn，平面 法向量为2 2 2 2( , , )x y zn， - 6 - 因为 ( 1, 3 , 0 ) ， (1, 3 , 6 )， (0 , 0 , 6 )， 由1 1 11 1 1 13 0 ,3 6 0 ,C D x x y z y，得1 ( 3 ,1, 2 )n， 7 分 由222 2 2 26 0 ,3 0 ,P A x y z y ，得2 ( 3 , 1, 0)n， 8 分 所以1212123 1 6c o s , 662 以 12 30s i n , 6 10 分 （南通调研一） 如图，在四棱锥 ，底面 平行四边形，平面 平面 E， 90 （ 1）求异面直线 成角的 大小； （ 2）求二面角 余弦值 B A E D C - 7 - - 8 - （南京盐城模拟一） 如图，在直三棱柱1 1 1A B C A B C中， C ， 3， 4，动点 P 满足1 ( 0 )C P C C当 12时，1P （ 1）求棱1 （ 2）若二面角1B 的大小为3，求 的值 解：（ 1）以点 A 为坐标原点， 1x ， y ， z 轴， 建立空间直角坐标系，设1CC m， 则1(3, 0, )(3,0,0)B ， (0, 4, )， 所以1 (3, 0, )A B m， ( 3 , 4 , )P B m 2 分 当 12时，有1 1( 3 , 0 , ) ( 3 , 4 , ) 02A B P B m m ， 解得 32m ，即棱12 4 分 （ 2）设平面 一个法向量为1 ( , , )n x y z， (3, 0, 0)， A B P 1 22 题图 - 9 - 则由 110,0,AB n 得 3 0 ,3 4 3 2 0 ,xx y z 即 0,4 3 2 0 令 1z ，则 324y ，所以平面 一个法向量 为132( 0 , , 1 )4n 6 分 又平面1y 轴垂直，所以平面10,1, 0)n 因二面角1B 的平面角的大小为3， 所以 122321 4c o s ,2 32( ) 14，结合 0 ，解得 269 10 分 （苏州期末） 如图，已知正方形 矩形 在的平面互相垂直，2， 1. （ 1）求二面角 大小； （ 2）试在线段 确定一点 P，使 成角为 60 . 1）如图，以 正交基底建立空间直角坐标系， 则 (0,0,1)E ， ( 2 , 0, 0)D ， (0, 2, 0)B ， ( 2 , 2 ,1)F 平面 法向量 (1, 0, 0)t ( 2 , 2 , 0 )， ( 2 , 0 ,1) 设平面 法向量 ( , , )n a b c ，则 0n ， 0n 2 2 0 ,2 0 , 令 1a ，得 1b ， 2c ， (1, 1, 2 )n 从而 (1 , 0 , 0 ) (1 , 1 , 2 ) 1c o s ,1 2 2 ， 显然二面角 A 为锐角，故二面角 A 的大小为 60 （ 2）由题意，设 ( , ,0)P a a (0 2 )a ， A B C F E D A B C F E D y z x - 10 - 则 ( 2 , 2 , 1 )P F a a ， ( 0 , 2 , 0 ) 成角为 60 ，22 ( 2 ) 1c o s 6 022 2 ( 2 ) 1 ， 解得 22a或 322a （舍），所以点 P 在线段 中点处 （镇江期末） 已知四棱锥 P 的底面为直角梯形， /D ， 90 ， 底面 且 1 12P A A D D C A B ， M 是 中点 （ 1）证明：平面 平面 （ 2）求 成角的余弦值； （ 3）求平面 平面 成二面角（锐角）的余弦值 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则 (0,0,0)A ， (1,0,0)D ， (0,0,1)P ， (0,2,0)B ， (1,1,0)C ， 1(0,1, )2M 1 分 （ 1）因为 (0, 0,1)， (0,1, 0)， 故 0C，所以 C 由题设知 C ， 且 平面 的两条相交直线， 由此得 面 又 面 故平面 面 4 分 （ 2）因 (1,1, 0)， (0, 2, 1)， | | 2， | | 5， 2B， M P A D B C M P A D B C x y z - 11 - 10c o s , 5| | | |A C P P P B 7 分 （ 3）设平面 一个法向量为1 1 1 1( , , )n x y z， 则1n 1 1 1 1 1 111( , , ) ( 0 , 1 , ) 022n A M x y z y z 又1n 1 1 1 1 1 1( , , ) ( 1 , 1 , 0 ) 0n A C x y z x y ， 取1 1x，得1 1y ，1 2z ，故1 (1, 1, 2)n 同理可得面 一个法向量为2 (1,1,2)n 1212121 1 4 2c o s ,366 ， 平面 平面 成二面角（锐角）的余弦值为 23 10 分 （苏北三市调研三） 如图，在菱形 ， 2， 60 ，沿对角线 折起，使 A ，C 之间的距离为 6 ， 若 P ， Q 分别为线段 的动点 （ 1）求线段 度 的 最小值； （ 2） 当线段 度最小 时，求 平面 成角的 正弦值 解：取 点 E ，连结 则 D ， D ， 3A E C E， 6， 2 2 2A E C E A C ， 为直角三角形， E， 平面 2 分 以 ,C 别为 ,，建立如图空间直角坐标系， 则 1 , 0 , 0 , 0 , 3 , 0 , 0 , 0 , 3B C A， 3 分 （ 1） 设 ,0,0 , = 0 , 3 , 3C Q C A ， 则 , 3 , 0 0 , 3 , 3 , 3 3 , 3P Q P C C Q a a 222 2 2 2 2 133 3 3 6 6 3 6 22P Q a a a 5 分 当 10,2a 时， 度最小值为 62 6 分 （ 2） 由 （ 1） 知 330 , ,22 ，设平面 一个法向量为 n= ,x y z A D P Q B C （第 22 题） A B C D - 12 - 由 n ,n 得 , , 1 , 0 , 3 0, , 1 , 3 , 0 0x y zx y z ，化简得 3030，取 n 3, 1, 1 设 平面 成角为 ，则 3 1 0s i n | c o s , |56 52P Q n . 故直线 平面 成角的正弦值为 105. 10 分 （南京三模） 如图 ， 四棱锥 P ， 面 D， 2 33 ， 1，2 （ 1）求异面直线 成角的余弦值； （ 2）求二面角 A C 的余弦值 解： （ 1）因为 面 面 面 所以 B， D 又 B， 故分别以 在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 根据条件得 3 所以 B(1， 0， 0)， D(0， 3， 0)， C(1， 2 33 ， 0)， P(0， 0， 2) 从而 ( 1， 3， 0)， (1， 2 33 ， 2) 3 分 设异面直线 成角为 ， 则 | | |( 1， 3， 0) (1， 2 33 ， 2)2 193| 5738 即异面直线 成角的余弦值为 5738 5 分 （ 2）因为 面 以平面 一个法向量为 (1， 0， 0) 设平面 一个法向量为 n (x， y， z)， P A B C D P A B C D x y z - 13 - 由 nn (1， 2 33 ， 2)， (0， 3， 2)， 得x 2 33 y 2z 0，3y 2z 0，解得x 23z，y 2 33 z不妨取 z 3，则得 n (2， 2 3， 3) 8 分 设二面角 A C 的大小为 ， 则 n n n (1， 0， 0) (2， 2 3， 3)1 5 25 即二面角 A C 的余弦值为 25 10 分 （盐城三模） 如图，已知四棱锥 P 的底面是菱形，对角线 ,D 交于点 O ， 4，3， 4， 底面 设点 M 满足 ( 0 )P M M C. （ 1）当 12时，求 直线 平面 成角的正弦值； （ 2）若二面角 M 的大小 为4，求 的值 . 解：（ 1）以 O 为 坐标 原点，建立坐标系 O ，则 (4,0,0)A ， (0,3,0)B ， ( 4, 0, 0)C ， (0, 3,0)D ，(0,0,4)P ，所以 ( 4 , 0 , 4 )， (0, 6, 0 )， ( 4 , 3, 0 ) 2 时，得 48( , 0, )33M ，所以48( , 3 , )33，设平面 法向量 ( , , )n x y z ，则60483033yx y z ，得 0y ， 令 2x ，则 1z ，所以平面 一个法向量 (2, 0,1)n ， 所以 4 1 0c o s ,104 2 5P A n ，即直线 平面 成角的正弦值 1010. 5 分 （ 2）易知平面 一个法向量1 (0, 0,1)n . 设 ( ,0, )M a b ，代入 C ，得 ( , 0 , 4 ) ( 4 , 0 , )a b a b ， D 14 - 解得4141 ，即 44( , 0 , )11M ，所以 44( , 3 , )11 ， 设平面 法向量2 ( , , )n x y z，则 4 3 0443011y z ， 消 去 y ，得 (2 1) ，令 1x ，则 21z ， 43y， 所以平面 一个法向量2 4(1, , 2 1)3n ， 所以22 2 12 161 ( 2 1 )9 ，解得 13或 43， 因为 0 ，所以 13. 10 分 （前黄姜堰四校联考） 如图，直三棱柱1 1 1A B C A B C中，底面是等腰直角三角形， 2A B B C，1 3 D 为11F 在线段1 （ 1） 若 平面1求 （ 2） 设 1，求平面1成的锐二面角的余弦值 解 ： （ 1）因为直三棱柱1 1 1A B C A B C中，以 B 点为原点，1B A B C B B、 、分别为 x y z、 、 轴建立如图所示空间直角坐标系 . 因为 2A B B C ，所以( 0 0 0 ) , ( 2 , 0 0 )， ， 11( 0 2 , 0 ) , ( 0 0 3 ) , ( 2 , 0 3 ) ,C B A， ， ， ，1(02 )C , 所以1 ( 2 , 2 , 3 ). （第 23 题 ） C 1 D x y z - 15 - 设 ,AF x 则 ( 2 , 0, )( 2