江苏省高三历次模拟数学试题分类汇编：第15章矩阵与变换

- 1 - 目录 （基础复习部分） 第十五章 矩阵与变换 . 2 第 01课 几种常见的变换 . 2 第 02课 矩阵的复合、乘法与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量 . 6 - 2 - 第十五章 矩阵与变换 第 01课 几种常见的变换 已知矩阵 A 2 属于特征值 的一个特征向量为 1 1 （ 1）求实数 b， 的值； （ 2）若曲线 C 在矩阵 A 对应的变换作用下，得到的曲线为 C： 22，求曲线 C 的方程 解： （ 1）因为矩阵 A 2 属于特 征值 的一个特征向量为 1 1 ， 所以 2 1 1 1 1 ，即 2 b 2 3 分 从而 2 b ， 2 解得 b 0， 2 5 分 （ 2）由（ 1）知， A 2 01 3 设曲线 C 上任一点 M(x， y)在矩阵 A 对应的变换作用后变为曲线 C上一点 P( 则 2 01 3 23y ， 从而 2x，x 3y 7 分 因为点 P 在曲线 C上，所以 22，即 (2x)2 2(x 3y)2 2， 从而 3691 所以曲线 C 的方程为 3691 10 分 已知曲线2:2y x，在矩阵 对应的变换作用下得到曲线1C，1在矩阵 对应的变换作用下得到曲线2，求曲线2 解 ：设 A 则 1 0 0 21 0 0 2 1 0 ， 3 分 设 , P x y 是曲线 C 上任一点，在两次变换下，在曲线2,Px y ， - 3 - 则 0 2 2 10 x x yy y x ， 即2 ,1 7 分 又点 , P x y 在 曲线2:2C x上， 21( ) 22 ， 即218 10 分 已知矩阵 1002A ， 1201B ，若矩阵 1对应的变换把直线 l 变为直线 : 2 0l x y ，求直线 l 的方程 1201B ， 1 1201B ， 1 1 0 1 2 1 20 2 0 1 0 2 5 分 设直线 l 上任意 一点 ( , )矩阵 1对应的变换下为点 ( , ) 1202 ， 2,2,x x 代入 : ( 2 ) ( 2 ) 2 0l x y y ，化简后得 :2 10 分 求曲线 1在矩阵 M 10103对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积 解：设点00( , )线 1上的任一点，在矩阵 10103M对应的变换作用下得到的点为 ( , )， 则由 0010103x xy y ， 3 分 得： 00,1 ,3 即00,3, 5 分 所以曲线 1在矩阵 10103M对应的变换作用下得到的曲线为31， 8 分 所围成的图形为菱形，其面积为 1 2 222 3 3 10 分 - 4 - （南京盐城模拟一） 求直线 10 在矩阵22222222M的变换下所得曲线的方程 解：设 ( , )P x y 是所求曲线上的任一点，它在已知直线上的对应点为 ( , )Q x y， 则22 ,2222 ,22x y xx y y 解得2 ( ) ,22 ( ) ,2x x yy y x 5 分 代入 10 中，得 22( ) ( ) 1 0x y y x ， 化简可得 所求曲线方程为 22x. 10 分 （扬州期末） A （本小题满分 10 分，矩阵与变换）在平面直角坐标系 ，设曲线 矩阵 A= 1010 2对 应的变换作用下得到曲线 2 2 14x y，求曲线 方程 设 ( , )P x y 是曲线1 ( , )P x y 在矩阵 A 对应的变换下变为点 ( , )P x y ， 则有 1010 2 ，即 , 5 分 又因为点 ( , )P x y 曲线 2 22 :14上， 故 2 2() ( ) 14x y ，从而 2 2() ( ) 142， 所以曲线124 （镇江期末） 已知矩阵 1002M ， 1 0201N，试求曲线 xy 在矩阵 换下的函数解析式 解： 10021 0201= 1 0202， 4 分 即在矩阵 换下 110220 2 2x x x xy y y y ， 6 分 - 5 - 12， 2 ， 8 分 代入得： 1 2 ， 即曲线 在矩阵 换下的函数解析式为 2 10 分 （苏北四市期末） 已知 ,a b R ，矩阵 1 3 所对应的变换10 变换为自身 ， 求 a,b 的值。 设直线 01 任意一点 ( )Px y， 在变换 )P x y ， ， 由 13a x xb y y ，得 ,3.x x bx y 4 分 因为 ( )P x y ， 在直线 01 ， 所以 10- - = ，即 01)3()1 ， 6 分 又因为 ( )Px y， 在直线 01 ，所以 01 8 分 因此 1 1,3 - = - = ,2 10 分 （泰州二模） 已知矩阵 010A a ，矩阵 020B b ，直线 04:1 矩阵 A 所对应的变换得到直线 2l ，直线 2l 又经矩阵 B 所对应的变换得到直线 04:3 （ 1）求 , 2） 求直线 2l 的方程 解：（ 1） 0 2 0 1 2 00 0 0b a b 设 ( , )P x y 是1在 , )， 得1 2x ，则 2 4 0a x b y 即为直线 1 : 4 0l x y，则得 1 ,12 5 分 （ 2） 0210B ，同理可得2 4 0 ，即 2 4 0 10 分 （苏北三市调研三） 已知矩阵 A 的逆矩阵 122222222A 求曲线 1在矩阵 A 所对应的变换作用下所得的曲线方程 设 1上任意一点 ,矩阵 A 所对应的变换作用下 对应 的点 , ，则 - 6 - 122222222x x y y ， 4 分 由此得 2 ,22 ,2x x yy y x 6 分 代入方程 1，得 222. 所以 1在矩阵 A 所对应的线性变换作用下的曲线方程为 222 10 分 解法二： 22222222A 4 分 设 1上任意一点 ,矩阵 A 所对应的线性变换作用下的像为点 ,，则 22222222 ， 其坐标变换公式为22,2222,22x x yy x y 由此得 2 ,22 ,2x x yy y x 6 分 代入方程 1，得 222. 所以 1在矩阵 A 所对应的线性变换作用下的曲线方程为 222 10 分 第 02课 矩阵的复 合、乘法与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量 已知矩阵 00 i i ，其中 (1i il， 2)是互不相等的实常数， (1i i， 2)是非零的平面列向量，1 1l ，211，求矩阵 M B选 修 4 2：矩阵与变换 解：由题意，1l，2) 0af a 的两根 因为1 1l ，所以 1 2 分 又因为2 2 2l，所以20 1 10 1 1ab l ，从而22,5 分 - 7 - 所以 22 1 因为12所以2 1l 从而 1 8 分 故矩阵 0110 M 10 分 已知矩阵 1 0202M，试求 （ 1）矩阵 M 的逆矩阵 M 1； （ 2）直线 2在矩阵 M 1 对应的变换作用下的曲线方程 . （南通调研一） 已知矩阵273 的逆矩阵1 27nM m ，求实数 m ， n （苏州期末） 已知矩阵 1211A ，向量 21，求向量 ，使得 2A ,，由 2A 得 3 4 22 3 1 ， - 8 - 3 4 2 ,2 3 1, 2,1,21 （南京盐城二模） 已知矩阵 A 3 02 a ， A 的逆矩阵 A 113 0b 1 （ 1）求 a， b 的值； （ 2）求 A 的特征值 解 ：（ 1）因为 A A 1 3 02 a 13 0b 1 1 023 a 1 00 1 所以a 1，23 0解得 a 1， b 23 5 分 （ 2）由（ 1）得 A 3 02 1 ， 则 A 的特征多项式 f() 3 0 2 1 ( 3)( 1) 令 f() 0，解得 A 的特征值 1 1， 2 3 10 分 （南通调研二） 设 23是矩阵 232a 实数 a 的值 解：设 23是 矩阵 M 属于特征值 的一个特征向量， 则 232a23 23， 5 分 故 2 6 2 12 3 a ，解得 4 1. a= ， 10 分 （南京三模） 已知矩阵 A a 11 a ，直线 l： x y 4 0 在矩阵 A 对应的变换作用下变为 直线 l： x y 2a 0 （ 1）求实数 a 的值； （ 2）求 解： （ 1）设直线 l 上一点 M0(矩阵 A 对应的变换作用下变为 l 上点 M(x， y)， - 9 - 则 a 11 a 所以 x y0，y 3 分 代入 l 方程得 ( ( 2a 0， 即 (a 1)(a 1)2a 0 因为 (足 4 0， 所以 21 4，解得 a 2 6 分 （ 2）由 A 2 11 2 ，得 2 11 2 2 11 2 5 44 5 10 分 （盐城三模） 若 矩阵 21 的一个特征向量为 11，求矩阵 M 的逆矩阵 1M . 解：由题意，得 2 1 131 1 1 ，解得 12，所以 1221 M. 设 1 M，则 1 1 2 1 02 1 0 1 解得 1 2 2 1, , ,3 3 3 3x y z w ，即 112332133M . 10 分 （苏锡常镇二模） - 10 - （南师附中四校联考） 二阶矩阵 A 有特征值 6 ，其对应的 一个特征向量为 11e，并且矩阵 A 对应的变换将点（ 1,2）变换成点（ 8,4），求矩阵 A. 设所求二阶矩阵 A= dc 48216 4 分 482266428266 8 分 解方程组得 A= 28 24