《应变测量方法》PPT课件

第二章电阻应变测量及方法 2 2电阻应变计 2 3应变片测量电路 2 1概述 2 5应变片在构件上的布置和组桥 2 6静态应变测量 2 4直流式电阻应变仪 2 1概述 电阻应变测量技术是用电阻应变片测量构件的表面应变 再根据应力 应变关系确定构件表面应力状态的一种实验应力分析方法 1 用电阻应变片测量应变的过程 3 应变测量工作温度可分为五个区段 2 电阻应变测试技术分类 1 静态测量 对永远恒定的载荷或短时间稳定的载荷的测量 2 动态测量 对载荷在2 1200HZ范围内变化的测量 1 常温应变测量 工作温度 2 中温应变测量 工作温度 3 高温应变测量 工作温度在以上 4 低温应变测量 工作温度 5 超低温应变测量 工作温度以下 4 电阻应变测量方法的优点 3 频率响应好 可以测量从静态到数十万赫的动态应变 4 应变片尺寸小 重量轻 最小的应变片栅长可短到0 178毫米 安装方便 不会影响构件的应力状态 5 测量过程中输出电信号 可制成各种传感器 6 可在各种复杂环境下测量 如高 低温 高速旋转 强磁场等环境测量 1 测量灵敏度和精度高 其最小应变读数为 微应变 在常温测量时精度可达 2 测量范围广 可测 5 电阻应变测量方法的缺点 1 只能测量构件的表面应变 而不能测构件的内部应变 2 一个应变片只能测构件表面一个点沿某个方向的应变 而不能进行全域性测量 2 2电阻应变片 一 电阻应变片的工作原理 由物理学可知 金属导线的电阻率为 其中 导线材料电阻率 导线长度 导线横截面积 当金属导线沿其轴线方向受力变形时 伸长或缩短 电阻值会随之发生变化 增大或减小 这种现象就称为电阻应变效应 将上式取对数并微分 得 式中 为金属导线长度的相对变化 为导线横截面积的相对变化 若导线直径为D 则 式中 为导线材料泊松比 二 电阻应变片的构造 电阻应变片由敏感栅 引线 基底 盖层 粘结剂组成 其构造如图所示 敏感栅 用合金丝或合金箔制成的栅 栅长L 指两端圆弧内侧或两端横栅内侧之间的距离 一般为0 2 100mm 栅宽B 敏感栅外侧之间的距离 应变片轴线 敏感栅纵栅的中心线 引线 用来由敏感栅引出电信号的金属导线 用镀锡铜线 通常 制成 基底 用来保持敏感栅的几何形状和相对位置 盖层 用来保护敏感栅 常用材料有纸 胶膜 玻璃纤维等 粘结剂 将敏感栅固定在基底上 常用环氧树脂类和酚醛树脂类粘结剂 作用 将 三 电阻应变片的主要性能 一 应变片电阻 R 二 灵敏系数 K 指应变片在未经安装 不受力的情况下 于室温时测定的电阻值 常用的应变电阻值 在单向应力作用下 应变片的电阻相对变化与试件表面沿应变片轴线方向的应变之比值 称为应变片的灵敏系数 即 二 灵敏系数 K 在单向应力作用下 应变片的电阻相对变化与试件表面沿应变片轴线方向的应变之比值 称为应变片的灵敏系数 即 注意 K值是应变片的主要参数 它取决于敏感栅的材料 型式 几何尺寸 基底 粘结剂等多种因素 通常由制造厂在专用设备上标定给出K值 常用的K 2 0 2 4 三 横向效应系数 H 应变片的敏感栅除有纵栅外 还有圆弧或直线形的横栅 横栅主要对垂直于应变片轴线方向的横向应变敏感 因而应变片指示应变中包含有横向应变的影响 这就是应变片的横向效应 将应变片置于平面应变场中 沿应变片轴线方向的应变为 垂直于轴线方向的横向应变 应变片敏感栅电阻相对变化为 式中 分别为和引起的敏感栅电阻的相对变化 分别为应变片轴向和横向灵敏系数 横向灵敏系数与轴向灵敏系数的比值称为横向效应系数H 将应变片安装在自由膨胀的构件上 无外力作用 当环境温度变化时 则输出一定的指示应变 称为热输出 用表示 四 热输出 产生原因 1 由于温度变化 敏感栅材料的电阻率发生变化 温度效应 2 敏感栅材料与被测构件材料之间的线膨胀系数不同 设温度变化为 且应变片的灵敏系数K随温度变化可略去 则应变片的热输出为 式中 敏感栅材料的电阻温度系数 被测材料的线膨胀系数 敏感栅材料的线膨胀系数 需要说明的是 我们希望应变片的指示应变反映的是构件因受力所产生的应变 而不是环境温度变化所引起的 否则会带来很大误差 因此在测量中必须设法消除温度变化的影响 五 稳定性 它是反映应变片长期静态工作能力的重要性能 常用电阻漂移值和蠕变大小来表示 1 应变片的电阻值漂移 指在工作温度恒定 安装在未受外力作用的构件上 其应变片电阻值随时间的变化 产生漂移原因 由于敏感栅 基底 粘结剂等材料在应变片的制造或安装过程中 内部形成的应力缓慢释放所致 2 应变片的蠕变 指在工作温度恒定 安装在承受外力 但变形恒定的构件上的应变片电阻值随时间的变化 产生原因 粘结剂与基底在传递应变时出现滑动所致 在恒定温度下 对安装有应变片的试件加载 卸载 以试件的机械应变为横坐标 应变片的指示应变为纵坐标绘成曲线 加载与卸载曲线不重合 这种现象称为机械滞后 六 机械滞后 机械滞后量 以加载曲线与卸载曲线中两个指示应变的最大差值来表示 产生原因 敏感栅 基底和粘结剂在承受机械应变后产生残余变形所致 消除 在正式测试前 反复加 卸载n次 七 应变极限 在恒定温度下 对安装有应变片的试件逐渐加载 直至应变片的指示应变与试件的机械应变的相对误差达到10 此时 机械应变即作为该应变片的应变极限 一般情况下 八 绝缘电阻 应变片的绝缘电阻时指应变片的引线与被测试件之间的电阻值 为使提高 可选用绝缘性能好的粘结剂和基底材料 一般情况下 兆欧 九 疲劳寿命 N 在幅值恒定的交变应力作用下 应变片连续工作 直至产生疲劳损坏时的循环次数 称为应变片的疲劳寿命 疲劳损坏 1 敏感栅或引线发生断路 2 应变片输出幅值变化达到10 3 应变片输出波形上出现尖峰 四 电阻应变片工作特性的标定 一 灵敏系数的标定 1 单向应力状态 故采用纯弯梁 2 应变片轴线应平行单向应力 注意贴片方向 注意 3 标定材料为钢梁 标定梁泊松比为 标定思路 1 由三点挠度仪测 2 由惠斯顿电桥测 根据材料力学公式和几何关系 求出纯弯曲上下表面的轴向应变为 其中 f为由三点挠度仪上千分表测出的挠度值 得应变片的灵敏系数为 标定K值时 取 若电阻应变仪灵敏系数和读数应变分别为和表示 则 二 横向效应系数的标定 设想造成一种单向应变场 设计专用装置 其顶部工作区试件很薄 6mm 两边尺寸较大 使试件仅沿x方向产生应变 y方向应变很小 接近于零 在试件上贴有一个电阻应变片 其中 由于 将两个应变片分别组成两个半臂半桥接入电阻应变仪 则两应变片电阻变化量的比值 五 电阻应变片的分类 电阻应变片按敏感栅材料不同可分为金属电阻应变片和半导体应变片 本课仅介绍金属电阻应变片 一 丝绕式应变片 敏感栅是用直径为0 01 0 05毫米的铜镍合金或镍铬绕制而成 缺点 其横向效应大 测量精度较差 应变片性能分散 优点 基底 盖层均为纸做成 价格便宜 易安装 二 短接式应变片 将金属丝平行排成栅状 端部用粗丝焊接而成 优点 横向效应小 制造时敏感栅形状易保证 测量精度高 缺点 焊点多 疲劳寿命较低 三 箔式应变片 敏感栅采用的是0 002 0 005毫米的铜镍合金或镍铬合金的金属箔 采用刻图制板 光刻及腐蚀等工艺制作 优点 横向效应较小 易安装 散热性好 疲劳寿命长 测试精度较高 敏感栅型式 六 电阻应变片的常规使用技术 一 电阻应变片的选择 1 测试环境 温度 湿度 磁场 4 测试精度 二 应变片的粘贴 1 检查和分选应变片 2 粘贴表面的准备 3 贴片 4 固化 5 测量导线的焊接与固定 6 检查 2 3应变片测量电路 从前面的讨论知道 电阻应变片的作用是将构件表面的应变转变为电阻的变化 其关系式为 一般 若取 则 显然太小了 为了便于测量 需将应变片的电阻变化转换成电压 电流 信号 再将信号放大 然后由指示仪 记录仪 指示出应变值 这一任务是由电阻应变仪来完成的 电阻应变仪中电桥通常采用直流电桥和交流电桥 本课仅讨论前者 一 直流电桥 一 电桥的输出电压 设电桥中四个桥臂电阻为 其中任一个电阻可以是应变片 AC两端为输入 接直流电源 用表示 从ABC半个桥看 流经的电流 两端压降 两端压降 电桥输出电压 电桥输出电压 由上式知 当时 则电桥输出电压则称电桥处于平衡状态 设处于平衡状态的电桥各桥臂由电阻增量为则电桥的输出电压为 精确公式 若将平衡条件代入上式 并考虑略去高阶微量 则电桥的输出电压为 设处于平衡状态的电桥各桥臂由电阻增量为则电桥的输出电压为 1 等臂电桥 四个桥臂电阻值相等 即由 2 式输出电压为 3 若四个桥臂为应变片 其灵敏度K均相同 代入则电桥输出电压为 4 说明 当满足时 电桥的输出电压与各桥臂应变片代数和成线形关系 上式由假定 忽略高阶微量推导而来 为近似公式 如果只考虑AB桥臂接应变片 即仅有一增量 感受应变 则由 3 和 4 式 得输出电压为 5 5 上式表明 输出电压与应变成线形关系 这是个近似公式 同样只在桥臂AB上接应变片 即 则由 1 式 精确公式 得电桥的输出电压为 6 将 5 6 两式相比 6 式中增加了一个系数 即圆括号部分 称为非线性系数 它愈接近1 说明电桥的非线性就愈小 也就是说按近似公式及精确公式计算得到的输出电压值愈接近 通常取应变片的灵敏系数K 2 若应变 则由 可得到 式中的非线性系数等于0 999 非常接近于1 因此在一般应变范围内按接近公式计算输出电压 所产生地方误差非常小 可以忽略不计 卧式桥 同样只在AB桥臂上接应变片 此时 由近似公式 2 及精确公式 1 得到的输出电压表达式与等臂电桥的 5 及 6 式完全相同 它的非线性系数也相等 立式桥 若AB桥臂接应变片 即有一增量 由近似公式 2 得到输出电压为 式中 按精确公式 1 得到输出电压为 8 将 7 8 两式相比 8 式中的括号为非线性系数 讨论等臂电桥与立式电桥非线性系数 立式桥非线性系数比等臂桥大 误差比等臂桥小 二 电桥的平衡 测量前 必须先使电桥处于平衡状态 即电桥无输出 但由于应变片电阻值总有偏差 接触电阻 导线电阻等存在 往往电桥不能平衡 因此需设置预调平衡电路 在电桥中增加电阻和电位器 可分为两部分 见 b 将星形连接变为三角形连接 则 与是分别并联在和上的 只要调节和就可使电桥平衡 一般 为以上 调节范围不大 要求四个桥臂电阻相差 二 测量电桥的组成及温度影响的补偿 在等臂电桥中 四个桥臂都接应变片 则电桥的输出电压为 应变仪的读数应变为 9 式中相应为电桥上四个桥臂电阻所感受的应变值 应变仪的读数应变为 9 式中相应为电桥上四个桥臂电阻所感受的应变值 上式反映了桥路特性 两相邻桥臂电阻所感受的应变代数值相减 两相对桥臂电阻所感受的应变代数值相加 合理地利用上述特性可测单一内力分量 并可消除的影响 一 温度补偿 1 补偿块补偿 在构件上粘贴应变片 工作应变片 接AB桥臂上 补偿块上粘贴应变片 补偿片 接BC桥臂上 电桥的AD和CD桥臂接固定电阻 组成等臂电桥 因温度改变引起的电阻变化是相等的 利用桥路特性可消除的影响 2 工作片补偿法 在同一被测试件上粘贴n个工作应变片 将它们接入桥中 当试件受力变形时 每个应变片的应变中都有外力和温度变化引起的应变 根据桥路基本特性 可消除 而得到所需要的应变 二 测量电桥的几种组成方法 合理利用桥路特性可达到以下目的 1 实现温度补偿 2 从复杂的变形中测出所需要的应变分量 3 扩大应变仪读数 以减小读数误差 提高测量灵敏度 1 半桥接线法 在测量电桥的桥臂AB BC上接应变片 另外两桥臂AD CD上接应变仪内部固定电阻R 则称半桥接线法 由于下半个桥接的固定电阻不感受应变 由公式 9 可得应变仪的读数应变为 实际测量时 可分为两种情况 1 半桥测量 电桥的两个桥臂AB BC接应变片 2 半臂测量 电桥的两个桥臂AB BC上 任一桥臂上接工作应变片 而另一桥臂接温度补偿片 2 全桥接线法 在测量电桥的四个桥臂上都接上应变片 对于等臂电桥 此时应变仪的读数应变由公式 9 可得出 实际测量时 可分两种情况 1 全桥测量 四个桥臂上都接工作应变片 2 相对两臂测量 电桥相对两臂接工作应变片 另相对两臂接温度补偿片 3 串联和并联接线法 测量中若采用多个应变片时 也可以将应变片串联或并联起来 应变电阻阻值R 其增量是 在AB桥臂 电阻相对变化 这与桥臂AB上只接单个应变片时电阻相对变化是完全相同 因此串联 并联接线都不会增加读数应变 2 4直流式电阻应变仪 电阻应变仪的读数方法 从应变仪上读出的是应变即 应变仪灵敏系数 当应变仪灵敏系数为某一值时 做实验时相应调 使 若不相等则需调整 2 5应变片在构件上的布置和组桥 进行测量时 先要根据测量目的选择构件上被测点的位置 然后根据被测点的应力状态 合理利用桥路特性 提高测试灵敏度 2 测单一内力 3 使提高 一 拉压变形 例2 1测定图示受拉构件的拉伸应变 方案1单臂测量 见a图 在构件表面沿轴向粘贴一工作片 在补偿块上贴应变片 补偿块材料与被测件材料相同 感受的应变有 感受的应变有 可见 这样布片和接线 1 消除了因温度变化引起的应变 2 只测出了由载荷P引起的拉伸应变 在同一温度场中 相同 接成半桥线路进行单臂测量 c 读数应变为 方案2半桥测量 接成半桥 见c图 应变仪的读数应变为 拉伸应变为 在杆件表面沿轴向和横向分别粘贴和 见b图 此时 可见 这种布片和接线 3 使读数应变增大倍 提高了测量灵敏度 1 消除了由温度变化而引起的应变 2 测出载荷P作用下引起的拉伸应变 例2 2测定材料弹性模量E和泊松比 E和可以在实验机上作拉伸实验进行测定 由于试件可能会有初曲率 另外试验机机头难免会在存在一些偏心作用使试件两面应变不相同 即试件除产生拉伸应变外 还附加了弯曲变形 因此在测量中需消除除弯曲变形的影响 1 测量弹性模量E 在构件两侧面对称位置上沿其轴线y方向粘贴两工作应变片 另外在补偿块上粘贴补偿片 并分别将和接入相对两桥臂 组成全桥 此时各应变片的应变量是 应变仪读数应变为 此时由轴向拉伸变形引起的应变为 可见在读数应变中消除了弯曲变形和温度变化的影响 若试件面积为A 得到弹性模量 2 测量泊松比 在构件两侧面对称位置上 沿与试件轴线垂直的x方向贴两个应变片 另外在补偿片上贴两个温度补偿片 将和分别接入两相对桥臂组成全桥 此时各应变片的应变是 仪器的读数应变 将代入上式 可得材料泊松比为 二 扭转变形 例2 3测定图示 a 圆轴的扭转剪应力 圆轴扭转时 表面各点为纯剪切应力状态 其主应力大小和方向 如图 b 所示 即在与轴线分别成方向上有最大拉应力和最大压应力 且在作用方向有最大拉应变 在方向有最大压应变 且绝对值相等 因此可沿方向粘贴应变片和 此时 接半桥测量 应变仪读数应变为 扭矩作用在 作用方向所引起的应变为 根据广义胡克定律可得 由此可得 将代入上式 得扭转剪应力 三 弯曲变形 例2 4测定图示悬臂梁的弯曲应变 梁弯曲时 在同一截面上 上表面受拉 下表面受压 且 在同一截面上 下表面沿杆件轴向各贴一个应变片 此时各应变片的应变为 接成半桥 则应变仪的读数应变为 故梁上表面贴片处的弯曲应变为 可见这样布片和接线 使应变仪读数为梁弯曲应变的两倍 提高了测量灵敏度 四 组合变形 例2 5测定图示杆件承受弯曲和拉伸变形时的弯曲应变和拉伸应变 1 测定弯曲应变 在杆件的上下表面沿轴向粘贴应变片 并按照 b 图接成半桥 此时各应变片的应变为 应变仪读数应变为 弯曲应变为 可见这样贴片和接线 消除轴向力和温度变化的影响 测出仅由弯矩引起的弯曲应变 2 测定拉伸应变 在杆上下表面分别粘贴两个工作应变片 另外在补偿块上粘贴两个补偿片 将和接入两个相对桥臂 组成全桥 此时各应变片的应变为 应变仪的读数应变为 由P引起的拉伸应变为 可见这样贴片 组桥 消除了弯矩的影响 测出的是仅由轴向拉力引起的拉伸应变 例2 6测定图示圆轴在拉伸 弯曲和扭转时的扭转剪应力 在圆轴上成方向贴四个应变片 组成全桥 若以和分别代表轴向拉力 弯矩和扭矩引起的被测点在方向的应变 则各应变片的应变为 应变仪读数应变为 由扭矩作用引起被测点在方向的应变为 由广义胡克定律得扭转剪应力 可见采用这样组桥 消除了弯矩 轴向力和温度变化的影响 测出了所需要的扭转剪应变 增大读数应变 提高测量灵敏度 注意 因为应变片只能测线应变 而扭转 弯曲 剪应力引起的线应变在最大 所以测剪应变只能在方向贴片 测正应力可沿方向贴片 五 应变片式传感器 将应变片粘贴在弹性元件上 接成桥路 从而将感受到的电信号输出 根据所测力学量不同可做成各种传感器 常用的有 1 力 载荷 传感器 2 位移传感器 3 扭矩传感器 4 压强传感器 5 加速度传感器 弹性元件是传感器的关键元件 因此要求弹性元件 b 稳定性好 因而对材料 结构形式 热处理加工等都有一定的要求 a 高 弹性范围大 要求弹性元件的最大工作应力处于材料的线弹性范围内 c 为保证灵敏度 要求贴片部位的应变足够大 一 测力传感器 根据弹性元件上粘贴应变片处的变形特点 可分为拉压弹性元件 弯曲弹性元件和剪切弹性元件 1 拉压弹性元件 1 柱式弹性元件 测拉力或压力的传感器 弹性元件常采用空心圆柱 以便于粘贴应变片和易于热处理 淬透 为防止失稳 壁厚不易太薄 应变片在圆筒中部均布 每处贴一纵向片和一横向片 8片应变片组全桥 应变片在圆筒中部均布 每处贴一纵向片和一横向片 8片应变片组全桥 纵向串 横向串 各桥臂应变为 应变仪读数应变为 圆筒的轴向应变 若圆筒截面面积为A 则压力P与读数应变之间的关系为 由上式可知 压力和应变成线形关系 这仅仅是理论计算公式 实际上截面面积A在加载时是变化的 因此每一个传感器的读数应变与力的关系都是要经过严格的标定试验确定的 上述弹性元件受到拉力或压力时很难保证作用力严格通过柱的轴线 这就使得弹性元件除了受到轴向力外 还会受到横向力和弯矩作用 为了消除这种影响 在圆筒受载荷端增加两片膜片 2 平板开孔式弹性元件 当测量较小载荷时 常选用有小孔的平板作为弹性元件 将应变片粘贴在孔的边缘 由于孔边产生应力集中 应变比无孔时大得多 可提高测量应变的读数 二 弯曲弹性元件 1 悬臂梁式弹性元件 这种弹性元件适用于制作小载荷测力传感器 在固定端附近上下表面各贴两个应变片 组成全桥 得读数应变为 由材料力学可知 载荷P与读数应变的关系为 问题 当P力作用点移动时会产生误差 显然P与L有关 改进后 若P有偏移 两个截面中一个截面弯矩增加 一个截面弯矩减小 且增加量等于减少量 不会影响读数的大小 2 圆环式弹性元件 1 纯圆环弹性元件 截面AB的弯矩分别为 组成全桥 得到读数应变与弯曲应变关系为 由材料力学可知 若忽略圆环曲率的影响 贴片处的弯曲应变为 其中 b是圆环的厚度 h是圆环的宽度 2 有加载端的弹性元件 由于环的两端尺寸加大部分刚度很大 故可把它看作圆环的固定端来进行内力分析 截面AB的弯矩分别为 组全桥 可得到P力与读数应变的关系 3 剪切弹性元件 1 梁式剪切弹性元件 在梁的中性轴上 各点均为纯剪切应力状态 故沿与轴线成方向粘贴四个应变片 组成全桥 得到P与读数应变的关系为 特点 当载荷P的作用位置由偏移时 中性轴上的剪应力和方向上的线应变不会变化 可消除载荷作用点偏移造成的误差 为了尽可能减少弯矩的影响 采用图中结构形式 使得贴片截面出的弯矩等于零 2 轮辐式剪切弹性元件 轮辐式弹性元件形似一个平放的车轮 其辐条的横截面积形状是矩形 应变片粘贴在辐条侧面的中点处 并且与轴线成角 由材料力学可知 当弹性元件承受P作用时 在辐条中间截面的中性轴附近 材料处于纯剪切应力状态 横截面上的最大剪应力为 因轮辐的主要变形形式是剪切 故此传感器称为剪切轮辐式荷重传感器 或轮辐式荷重传感器 在与轴线成角的方向上 辐条侧面的最大伸长及缩短线应变的数值为 若辐条的数目为4 则 在材料的弹性范围内 与P成线性关系 如果测得 可得P与的关系 可见这种组桥方式使电桥灵敏度提高 在实现温度补偿的同时 还可消除因力的偏心而产生的影响和因有侧向力而产生的影响 轮辐式荷重传感器的特点 外型高度较小 可实现过载保护 二 位移传感器 对于位移传感器弹性元件的要求是刚度要小 以避免当弹性元件变形时 对被测构件形成较大的反力而影响被测构件的位移值 位移传感器测量位移范围 十分之几毫米 几十毫米 梁式弹性元件 在悬臂梁固定端附近截面的上下各粘贴两个应变片 接成全桥线路 可测得被测定的自由端位移与读数应变的关系 梁式弹性元件 在悬臂梁固定端附近截面的上下各粘贴两个应变片 接成全桥线路 可测得被测定的自由端位移与读数应变的关系 上式为理论关系 实际应用时需要对传感器逐一进行标定 测量裂纹张开位移 常选用双悬臂梁式弹性元件 具有结构简单 线性好等优点 2 6静态应变测量 利用应变片测出的是构件上某一点处沿某一方向的线应变 必须经过应变 应力换算才能得到主应力 不同的应力状态有不同的关系式 一 应变 应力换算关系 一 已知主应力方向的单向应力状态 构件在外力作用下 若被测点位单向应力状态 则主应力方向已知 只有主应力值是一个未知量 此时可沿主应力的方向贴一个应变片 测得应变后 由单向应力胡克定律 E 被测构件材料的弹性模量 二 已知主应力方向的二向应力状态 以受内压作用的薄壁容器为例 如果测点的应力状态是已知主应力方向的二向应力状态 有主应力值两个未知量 此时可沿主应力方向各贴一个应变片 与补偿片组成两个单臂半桥 分别测出两个主应变和 再由广义胡克定律求得主应力 被测构件材料的泊松比 三 未知主应力方向的二向应力状态 对于薄壁筒受压力加扭转作用表面任一点应力状态如何呢 这种复杂受力状态 被测点两个主应力值未知 主应力方向也是未知的 即存在三个未知量 从数学角度 需沿三个方向线应变 根据测得应变值换算成主应力值 1 平面应变状态分析 设从x y方向取出被测点单元体 讨论应变发生在同一平面 xy平面 内的平面应变状态 该单元体的应变可用线应变和来表示 研究中规定 1 伸长的线应变为正 2 使直角 如xoy角 增大的剪应变为正 3 角逆时针为正 4 新坐标系中沿x方向的线应变用表示 剪应变用表示 1 确定和 设图中单元体的和均为正量 坐标系xoy逆时针旋转角后 得到新坐标系 讨论沿方向的线应变 由于是小变形 分别讨论和各自对方向微分线段长度变化的影响 再叠加起来 得的伸长量为 沿方向的线应变为 把关系式代入上式 a 用类似方法求得角的剪应变 是指直角的角度改变量 若假设方向微分线段的角度改变为 若假设方向微分线段的角度改变为 则直角的角度改变量为 由和引起方向微分线段的角度改变分别为 叠加以上结果 和使直角增大 而使直