《数学物理方法》PPT课件

数学物理方法 学时 48 学分 3 0教材 自编教师 李丽Email lilic Tel 62471434数学物理方法 复变函数论 数学物理方程 特殊函数 计算机辅助 自学 复变函数论部分 复变函数论 主要内容 第一章 复数与复变函数第二章 解析函数第三章 复变函数的积分第四章 复数级数第五章 留数第六章 Fourier Laplace变换 教学参考书 习题参考书 网络资源 图书馆电子资源http 202 202 36 190 source serv3 htmMIT开放课程 计算机辅助工具 数学物理方法是理工科类专业的一门重要基础课 既是数学课程 又是物理课程 其教学目的是进一步系统的提高和培养学生建立数理模型 解决物理问题的能力 是用数学知识解决物理问题的方法 首先先从数学知识开始讲起 引言 第一章 复数与复变函数 学时 4重点和要求复数及其运算复变函数 区域 连续 极限作业习题一 11 14 19 22 6 10 26 1 4 30 1 1复数基本运算 一 复数的表示法 注意 复数的虚部是一个实数 一个复数的共扼通常记做 物理学中常用z 表示 2 复数的几何表示 实数组 x y 与平面直角坐标系上的点一一对应 因此 复数z也与平面直角坐标系上的点一一对应 这样的平面叫做复平面 两个坐标轴分别叫做实轴和虚轴 具体图示参看课本 主值argz的范围 z x iy argz 其中 补充内容 幅角应注意的问题 3 复数的三角函数与指数函数表示 二 复数运算规则 1 复数的基本运算如果复数z的实部和虚部都等于零 则复数等于零 记作z 0 图示具体见教案 2 复数的运算法则 共扼复数的性质 复数的乘法与除法的代数形式与指数形式的计算总结 可见复数的乘除法用指数形式方便 3 复数的乘幂与方根 重点 具体见下页 用指数形式求解 如果在复平面上画出这n个不同方根 它们就是以原点为中心 以r1 n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点 Note k 0 1 2 n 1 Forexample 解 1 先把代数式化为指数式因为 1的辐角为 而模为8 2 根据公式可得 4 方根的图示 三 例题1 2 3 4见课本 四 复数的无穷远点 在实变函数微积分学中的 只是一个符号而已 而复球面上的无穷远点却是一个完全确定的点 并且只有一个无穷远点 补充一些内容 具体见课本 无穷远点 复平面上模为无穷大的点涉及无穷大的复数运算 确定值 条件是 不确定值 复数的无穷远点 本节总结与注意 1 掌握书上的例题 并且会举一反三 例题1要根据复数的模的基本性质证明 例题2要记住结论 例题3此类题目用z x iy代入方程化简即可 3 2 复数的幂和根式的求法 见例题4 重点内容 首先要求把复数的代数形式化为极坐标形式 找出模与幅角的主值 定义 对于复平面的点集E 它的每个点z都有一个或多个点 通过确定的关系与之对应 则称 为z的复变函数 记作 f z z EE叫做定义域 复变函数可以看做两个实二元函数有序组合 f z u x y iv x y 复变函数有单值函数和多值函数之分复变函数研究的重点是解析函数 一 复变函数的定义 1 2复变函数 画图说明 邻域 z z0 记做 z0 去心邻域0 z z0 设G为复平面上的点集 z0为G内任意点内点 存在一个 z0 属于G 开集 G上的点都是内点区域 1 开集 2 连通 举例子在教案 区域的边界点 非内点区域的边界 所有边界点的集合 线条 点 闭区域 区域 边界区域有界 任意 z M 否则称为无界 以某点z0为圆心 以任意小的正实数 为半径的圆的内部 称为z0的 邻域 二 复平面上的区域 点z的集合不包含点z0 叫做点z0的去心邻域 具体见课本与教案 要画图说明 简单 闭 曲线 与自身不相交的 闭合 曲线单连通区域 任意简单闭曲线内的点都属于该区域复连通区域 非单连通的连通区域区别 单连通区域内的任意一条简单闭曲线经过连续变形可以缩为一点 直观上讲复连通区域就是区域内有孔的连通区域 三 单与复连通区域 有洞 无洞 画图说明 单连通区域可以经过变形而缩成一点 而多连通区域就不具有这个特征 复连通区域单连通化 作一些适当的割线能将复通区域的不相连接的边界线连接起来从而降为单连通区域 注意 连接边界的分开方式不唯一 边界线的正方向 为了以后学习环路积分方便 我们按照通常的规定 当人 沿边界线环行时 所包围的区域始终在人的左手边 则前进方向为边界线的正方向 对于有界的单连通区域 如图下图 a 的逆时针方向所示即为正方向 而多连通区域单连通化后 外围逆时针为正方向 内部顺时针为正方向 如图 b c 所示 a b c 复连通区域单连通化 补充 说明 当判断区域是什么样的区域时 通常按照下列顺序判断 1 有 无界 2 单 复连通 3 开 闭区域 判断 z 1 z 2 5代表什么样的区域 解 此不等式所代表的区域是焦点在z 1和z 2 长轴为5的椭圆内部 为有界单连通闭区域 区域的判断方法及实例分析 补充 1 定义 设复变函数 f z 在z0的某个去心邻域内有定义 若存在一个确定的数A 对于任意 0 必存在 0使得在0 z z0 时 总有 f z A 那么称A是f z 的极限 记作 四 复变函数的极限 注意 1 f z 在z0可以没有定义 2 z趋近于z0的路径是任意的 极限都是A 3 z沿不同路径趋近于z0得到的极限不同 表示f z0 没有极限 解释一下作业题 2 复变函数极限的基本定理 复变函数与二元实变函数极限的区别在于复变函数f z u x y iv x y 中包含两个二元实变函数u x y 和v x y 因此有下面的定理 求复变函数的极限就是求两个二元实变函数的极限 因此具有相同的几何意义 因此可以证明 在存在极限limz z0f z A limz z0g z B的条件下 下列极限运算法则对