智能控制 第章 模糊控制论-理论基础

第2章模糊控制论 理论基础 智能控制基础 目录 2 1引言 2 2模糊集合论基础 2 4模糊控制系统的组成 2 5模糊控制系统的设计 2 6模糊PID控制器 2 7模糊控制器的应用 2 3模糊逻辑 模糊逻辑推理和合成 模糊控制的发展历史 1965年 L A Zadeh提出模糊集理论 1972年 L A Zadeh提出模糊控制原理 1974年 E H Mamdani应用于蒸汽机和锅炉控制中 80年代 污水处理 汽车 交通管理模糊芯片 模糊控制的硬件系统 90年代 家电 机器人 地铁 21世纪 更为广泛的应用 模糊控制的特点 无需知道被控对象的数学模型与人类思维的特点一致模糊性经验性构造容易鲁棒性好 主要内容 模糊控制的理论基础模糊集合论基础模糊逻辑 模糊逻辑推理和合成模糊控制系统模糊控制系统的组成模糊控制系统的设计模糊PID控制器模糊控制器的应用 目录 2 1引言 2 2模糊集合论基础 2 4模糊控制系统的组成 2 5模糊控制系统的设计 2 6模糊PID控制器 2 7模糊控制器的应用 2 3模糊逻辑 模糊逻辑推理和合成 2 2模糊集合论基础 2 2 1模糊集概念 2 2 2模糊集合运算 2 2 3模糊集合运算的基本性质 2 2 4隶属度函数的建立 2 2 5模糊关系 经典集合 内涵和外延都必须是明确的 经典集合论 表示方法 特点 列举法定义法归纳法特征函数法 表示方法 列举法 U 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 归纳法 U ui 1 ui 1 i 1 2 9 u1 1 特征函数法 定义法 U u u为自然数且u 5 表示方法 特征函数法 用特征函数值表示元素属于集合的程度 隶属度函数 将特征函数值扩展为上取值的隶属度 F DegreeofMembership 描述思维和语言的模糊性 模糊集合 FuzzySets 查德表示法 连续域 支集 Support 模糊集合F的支集S是一个普通集合 它是由论域U中满足 F u 0的所有u组成的 即 模糊单点 Singleton 如果模糊集合F的子集在论域U上只包含一个点u0 且 F u0 1 则F就称为模糊单点 即 2 2模糊集合论基础 2 2 1模糊集概念 2 2 2模糊集合运算 2 2 3模糊集合运算的基本性质 2 2 4隶属度函数的建立 2 2 5模糊关系 2 2 2模糊集合的运算 考察具有公共论域U的模糊集合A B之间的各种运算关系 包括以下内容 相等 包含空集 全集 交 并 补 如果模糊集合C具有以下性质 举例 已知模糊子集求 求解 其它运算 2 2模糊集合论基础 2 2 1模糊集概念 2 2 2模糊集合运算 2 2 3模糊集合运算的基本性质 2 2 4隶属度函数的建立 2 2 5模糊关系 模糊集合运算的基本性质1 模糊集合运算的基本性质2 与经典集合性质的比较 基本性质完全相同模糊集运算不满足互补律 2 2模糊集合论基础 2 2 1模糊集概念 2 2 2模糊集合运算 2 2 3模糊集合运算的基本性质 2 2 4隶属度函数的建立 2 2 5模糊关系 隶属度函数的建立 隶属度函数的设计原则1 必须是凸模糊集合 呈单峰形 通常是对称和平衡的要遵从语意顺序 避免不恰当的重叠 隶属度函数的设计原则2 考虑重叠指数 一般取重叠率为0 2 0 6 或鲁棒重叠性0 3 0 7 举例 设计方法 模糊统计法例证法专家经验法二元对比排序法 隶属度函数的常见形状1 Z函数 隶属度函数的常见形状2 S函数 隶属度函数的常见形状3 函数 2 2模糊集合论基础 2 2 1模糊集概念 2 2 2模糊集合运算 2 2 3模糊集合运算的基本性质 2 2 4隶属度函数的建立 2 2 5模糊关系 模糊关系 普通关系 表示元素之间是否关联 模糊关系 表示两个论模糊集合之间的关联程度 用其直积空间的隶属度函数表示 定义 所谓A B两集合的直积中的一个模糊关系R 是指以A B为论域的一个模糊子集 序偶 a b 的隶属度为 R a b 多元关系 二元关系多元关系 考察n个集合的直积A1 A2 An 其隶属度函数为 R a1 a2 an 模糊集合表示法举例考查两个整数间的 大得多 的关系 设论域U 1 5 7 9 20 模糊关系的表示方法1 模糊关系的表示方法2 模糊矩阵表示法 适用于二元关系 其中 笛卡尔积算子 算子 A1 A2 An的笛卡尔积是在积空间U1 U2 Un中的一个模糊集 其隶属度函数为 直积 极小算子 用 min表示代数积 用 AP表示 例2 9 考虑如下模糊条件语句如果C是慢的 则A是快的 其中C A分别属于两个不同的论域U V 其隶属度函数分别为 A 快 0 0 0 20 0 3 40 0 7 60 1 80 1 100 C 慢 1 0 0 7 20 0 3 40 0 60 0 80 0 100 求它们的直积和代数积 直积 代数积 模糊关系的合成 背景 已知 IFATHENB IFBTHENC求 IFATHENC定义 如果R和S分别为笛卡尔空间U V和V W上的模糊关系 则R和S的合成是定义在笛卡尔空间U V W上的模糊关系 并记为RoS 其隶属度函数的计算方法有两种 模糊关系的合成的隶属度函数计算 上确界 Sup 算子下确界 Inf 算子 例2 10 已知某家中子女与父母的长像相似关系R 父母与祖父母的相似关系S 求 家中孙子 孙女与祖父 祖母的相似程度 解 合成算子Sup min的特性1 分配率 合成算子Sup min的特性2 目录 2 1引言 2 2模糊集合论基础 2 4模糊控制系统的组成 2 5模糊控制系统的设计 2 6模糊PID控制器 2 7模糊控制器的应用 2 3模糊逻辑 模糊逻辑推理和合成 模糊逻辑 模糊逻辑是研究含有模糊概念或带有模糊性的陈述句的逻辑 是不确定性推理的主要方法之一 是经典数理逻辑的推广 2 3 1二值逻辑 2 3 2模糊逻辑的基本运算 2 3 3模糊语言逻辑 2 3 4模糊逻辑推理 2 3 5模糊关系方程的解 2 3模糊逻辑 模糊逻辑推理和合成 二值逻辑 命题P中的元素可以赋予一个二元真值T P 在二元逻辑中 T P 或者为1 真 或者为0 假 设U是所有命题构成的论域 则T就是从这些命题 集合 中的元素u到二元值 0 1 的一个映射 T u U 0 1 命题联结词 2 3模糊逻辑 模糊逻辑推理和合成 2 3 1二值逻辑 2 3 2模糊逻辑的基本运算 2 3 3模糊语言逻辑 2 3 4模糊逻辑推理 2 3 5模糊关系方程的解 模糊命题 模糊命题是普通命题的推广 模糊命题的真值不是绝对的 真 或 假 而是反映其以多大程度隶属于 真 所以真值的运算也就是隶属度函数的运算 基本运算1 各元素分别相减部分作为限界差 基本运算2 各元素分别相加 比1小的部分作为限界和 各元素分别相减部分作为限界差 基本运算3 P P P P P P P Q Q P P Q Q P P Q R P Q R P Q R P Q R P P Q P P P Q P P Q R P Q P R P Q R P Q P R 基本定律1 互补律在模糊逻辑中不成立 基本定律2 2 3模糊逻辑 模糊逻辑推理和合成 2 3 1二值逻辑 2 3 2模糊逻辑的基本运算 2 3 3模糊语言逻辑 2 3 4模糊逻辑推理 2 3 5模糊关系方程的解 模糊语言逻辑 模糊语言逻辑是由模糊语言构成的一种模拟人思维的逻辑 针对自然语言的模糊性 涉及概念 语言值语言变量语言算子 语言值 语言中与数值有直接联系的词 如长 短 大 小等 可以再加上语言算子 如很 非常 较 偏等 而派生出来的词组 可以用模糊数来表示 所谓模糊数 指至少有一个元素u的隶属度值为1的模糊子集 举例 个子高 0 2 150 0 4 160 0 6 170 0 8 180 1 190 1 200 语言变量 用一个五元素的集合 X T X U G M 来表征 语言算子 语气算子模糊化算子判定化算子 语气算子 表示语言中对某一个单词或词组的确定性程度 包括强化算子和淡化算子强化算子 如 很 非常 等淡化算子 如 较 稍微 等H A A A为语言值 如 大概 近似于 大约 等 把原来的概念模糊化 记模糊化算子为F 则模糊化变换可表示为F A 并且它们的隶属度函数关系满足 其中 R x c 是表示模糊程度的一个相似变换函数 通常可取正态分布曲线 即 模糊化算子 判定化算子 肯定化处理 例如 倾向于 大半是 等 记判定化算子为P 则判定化变换可表示为P A 并且它们的隶属度函数关系满足 当取 1 2时 P1 2可用来表示 倾向于 2 3模糊逻辑 模糊逻辑推理和合成 2 3 1二值逻辑 2 3 2模糊逻辑的基本运算 2 3 3模糊语言逻辑 2 3 4模糊逻辑推理 2 3 5模糊关系方程的解 模糊逻辑推理 不确定性推理方法的一种方法还在发展之中 比较典型的有扎德 Zadeh 方法 玛达尼 Mamdani 方法 鲍德温 Baldwin 方法 耶格 Yager 方法 楚卡莫托 Tsukamoto 方法 最常用的是玛达尼极大极小推理法 常见种类 近似推理 常识性推理 广义肯定式推理广义否定式推理模糊条件推理多输入推理多输入多规则推理 1 近似推理 广义肯定式推理 前提1 如果x是A 则y是B前提2 如果x是A 结论 y是隶属度函数的计算 模糊关系矩阵R的计算 采用Mamdani推理法模糊蕴含最小运算法模糊蕴含积运算法 广义否定式推理 前提1 如果x是A 则y是B前提2 如果y是B 结论 x是隶属度函数的计算其中 Zadeh推理法 例2 14 考虑如下逻辑条件语句 如果 转角误差远远大于15 那么 快速减少方向角 其隶属度函数定义为 A 转角误差远远大于15 0 15 0 2 17 5 0 5 20 0 8 22 5 1 25B 快速减少方向角 1 20 0 8 15 0 4 10 0 1 5 0 0 求 当A 转角误差大约在20 时 方向角应该怎样变化 步骤1 定义A 转角误差大约在20 的隶属度函数 0 1 15 0 6 17 5 1 20 0 6 22 5 0 1 25则问题化为已知 A x 0 0 2 0 5 0 8 1 B y 1 0 8 0 4 0 1 0 当 A x 0 1 0 6 1 0 6 0 1 时 求解B 步骤2 由玛达尼 Mamdani 推理法计算出关系矩阵 步骤3 计算代数积算子直积算子 代数积算子 直积算子 问题 如何比较两种算子 2 模糊条件推理 如果x是A 则y是B 否则y是C 其逻辑表达式为 模糊关系R 隶属度函数 推理结论 3 多输入模糊推理 前提1 如果A且B 那么C前提2 现在是A 且B 结论 基于玛达尼推理 则模糊关系矩阵为 例2 16 已知 时 问 时 解 推理简化 削顶法 推理形式可等价为可得隶属度关系如下 是指模糊集合A与A 交集的高度 削顶法图示 4 多输入多规则推理 如果A1且B1 那么C1否则如果A2且B2 那么C2 否则如果An且Bn 那么Cn已知A 且B 那么C 在这里 An和A Bn和B Cn和C 分别是不同论域X Y Z上的模糊集合 推理方法 推理结果可表示为其中 推理过程图示 2 3模糊逻辑 模糊逻辑推理和合成 2 3 1二值逻辑 2 3 2模糊逻辑的基本运算 2 3 3模糊语言逻辑 2 3 4模糊逻辑推理 2 3 5模糊关系方程的解 模糊关系方程 已知A和B 有以下关系 求关系矩阵R A F U V B F U W R F V W 分别为笛卡尔空间U V U W V W上的模糊关系矩阵 有A aij m n B Bij m s R rij n s 问题分解 用分块矩阵的形式表示 有其中 则原问题可化为s个简单的模糊矩阵方程 问题的分解 考察设合成算子取 需要考虑以下问题 问题的分解 具体有以下两类问题 等式问题 ai1 r1 bi ai2 r2 bi ain rn bi 不等式问题 ai1 r1 bi ai2 r2 bi ain rn bi 分解问题的求解 a r b的解a r b的解 解的综合 设第k个方程等式成立 则一个部分解为 W k r1 r2 rk rn 其中 rk 表示第k个等式方程的解 ri 表示第i个不等式方程的解 i k 则分解问题的全部解为 Rji W 1 W 2 W n 最终解为m个全部解的交集 Rj Rj1 Rj2 Rjm 例2 18 已知模糊关系方程 0 5 r1 0 4 r2 0 8 r3 0 5求模糊关系方程解 步骤1 化为三个一元一次等式方程 0 5 r1 0 5 0 4 r2 0 5 0 8 r3 0 5和三个一元一次不等式 0 5 r1 0 5 0 4 r2 0 5 0 8 r3 0 5等式方程的解为 r1 0 5 1 r2 r3 0 5 不等式方程的解为 r1