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教学资料范本2021高三数学北师大版（文）课后限时集训：利用导数解决函数的零点问题含解析编 辑：_时 间：_利用导数解决函数的零点问题建议用时：45分钟1(20xx全国卷)已知函数f(x)(x1)ln xx1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)0有且仅有两个实根、且两个实根互为倒数解(1)证明：f(x)的定义域为(0、)f(x)ln x1ln x.因为yln x在(0、)上单调递增、y在(0、)上单调递减、所以f(x)在(0、)上单调递增又f(1)10、f(2)ln 20、故存在唯一x0(1,2)、使得f(x0)0.又当xx0时、f(x)x0时、f(x)0、f(x)单调递增、因此、f(x)存在唯一的极值点(2)证明：由(1)知f(x0)0、所以、f(x)0在(x0、)内存在唯一根x.由x01得1x0.又fln 10、故是f(x)0在(0、x0)的唯一根综上、f(x)0有且仅有两个实根、且两个实根互为倒数2已知函数f(x)x3x2axb.(1)当a1时、求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)的图像与直线yax恰有两个不同的交点、求实数b的值解(1)当a1时、f(x)x3x2xb、则f(x)3x22x1、由f(x)0、得x1或x、所以函数f(x)的单调递增区间为(、1)和.(2)函数f(x)的图像与直线yax恰有两个不同的交点、等价于f(x)ax0有两个不等的实根令g(x)f(x)axx3x2b、则g(x)3x22x.由g(x)0、得x或x0；由g(x)0、得x0.所以函数g(x)在和(0、)上单调递增、在上单调递减所以当x时、函数g(x)取得极大值gb；当x0时、函数g(x)取得极小值为g(0)b.要满足题意、则需gb0或g(0)b0、所以b或b0.3(20xx武汉调研)已知函数f(x)exax1(aR)(e2.718 28是自然对数的底数)(1)求f(x)的单调区间；(2)讨论g(x)f(x)在区间0,1上零点的个数解(1)f(x)exax1、f(x)exa、当a0时、f(x)0恒成立、f(x)的单调递增区间为(、)、无单调递减区间；当a0时、令f(x)0、得xln a、令f(x)0、得xln a、f(x)的单调递减区间为(、ln a)、单调递增区间为(ln a、)(2)令g(x)0、得f(x)0或x、先考虑f(x)在区间0,1上的零点个数、当a1时、f(x)在(0、)上单调递增且f(0)0、f(x)在0,1上有一个零点当ae时、f(x)在(、1)上单调递减、f(x)在0,1上有一个零点当1ae时、f(x)在(0、ln a)上单调递减、在(ln a,1)上单调递增而f(1)ea1、当ea10、即1ae1时、f(x)在0,1上有两个零点；当ea10、即e1ae时、f(x)在0,1上有一个零点再考虑x时、由f0、得a2(1)综上所述、
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