有限体积法(完整版本)

有限体积法 参考书 李人宪有限体积法基础国防工业出版社 有限差分法 FDM FiniteDifferenceMethod计算机数值模拟最早采用的方法 至今仍被广泛运用 该方法将求解域划分为差分网格 用有限个网格节点代替连续的求解域 有限差分法采用Taylor级数展开等方法 把控制方程中的导数用网格节点上函数值的差商代替进行离散 从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组 该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法 数学概念直观 表达简单 是发展较早且比较成熟的数值方法 有限差分法 差分格式分类从格式的精度来划分 有一阶格式 二阶格式和高阶格式 从差分的空间形式来考虑 可分为中心格式和逆风格式 考虑时间因子的影响 差分格式可以分为显格式 隐格式 显隐交替格式等 目前常见的差分格式 主要是上述几种形式的组合 不同的组合构成不同的差分格式 差分方法主要适用于结构网格 网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定 FVM FiniteVolumeMethod有限体积法又称为控制体积法 从物理量守恒这一基本要求出发提出的 其基本思路是 将计算区域划分为一系列不重复的控制体积 并使每个网格点周围有一个控制体积 将待解的微分方程对每一个控制体积积分 便得出一组离散方程 其中的未知数是网格点上的因变量的数值 为了求出控制体积的积分 必须假定值在网格点之间的变化规律 即假设值的分段的分布剖面 有限体积法 发展情况 1980年 S V Patanker在其专著 NumericaclHeatTransferandFluidFlow 中对有限体积法作了全面的阐述 此后 该方法得到了广泛应用 是目前CFD应用最广的一种方法 FLUENT PHOENIX等软件都基于有限体积法 Patanker与Spalding于1967年发表了求解抛物型流动的P S方法 在P S方法中 把x y平面上的计算区域 边界层 转换到x w平面上 w为无量纲流函数 从而不论在边界层的起始段还是在其后的发展段 所设置的计算节点均可落在边界层范围内 1969年Spalding在英国帝国理工学院 ImperialCollege 创建了CHAM Concentration HeatandMass Limited 旨在把他们研究组的成果推广应用到工业界 1972年SIMPLE算法问世于是所谓分离式的求解方法应运而生 即先求解有关一个速度分量 而把其他作为常数 随后再逐一求解其它变量 于是就产生了这样的问题 就是所谓速度与压力的耦合问题 SIMPLE算法成功地解决了这一问题 SIMPLE算法的一个基本思想是 在流场迭代求解的任何一个层次上 速度场都必须满足质量守恒方程 这是保证流场迭代计算收敛的一个十分重要的原则 1977年由Spalding及其学生开发的ENMIX程序公开发行 1979年由Spalding教授及其合作者开发的流动传热计算的大型通用软件PHOENICS第一版问世 PHOENICS是英语Parabolic HyperbolicorEllipticNumericalIntegrationCodeSeries的缩写 意为对抛物型 双曲型 椭圆型方程进行数值积分的系列程序 1980年Patankar教授的名著 NumericalHeatTransferandFluidFlow 出版 这本书内容精炼 说理透彻 注重物理概念的阐述 深受全世界数值传热的研究者与使用者的欢迎 出版后不久 被相继译成俄文 日文 波兰文及中文等 成为数值传热学领域中的一本经典著作 优点 1 出发点是积分形式的控制方程 同时积分方程表示了特征变量在控制容积内守恒 2 积分方程中每一项都有明确的物理意义 从而使方程离散时 对各离散项可以给出一定的物理解释 3 区域离散的节点网格与进行积分的控制容积分立 有限体积法 方法特点 有限体积法主要优势 处理复杂网格 坐标变换函数必须足够光滑 否则损失精度 实际问题 外形复杂 光滑的结构网格生成困难 基本概念 基本概念 控制体积的形成单元中心方式 单元位于控制体积的中心 即将单一的网格单元作为控制体积 网格单元互不重叠 单元顶点方式 以网格节点为中心 它的形成有多种方式 其常用的构成方式是由以该节点为顶点的格子的形心以及各共顶点的网格线中心点的一系列连接线段所构成一个多边形控制体积 也可以由环绕该节点的一组格子组成控制体 基本概念 单元顶点方式 单元中心方式 对于计算同样多的变量 单元中心方式变量布置简单直观 易于处理边界条件和保持离散的守恒性 而且需要的网格数要比单元顶点方式少得多 可节省计算时间 网格 结构网格具有一定的分布特征 可以用相应的行列关系来顺序描述的网格 有矩形网格 曲线网格及块结构网格 结构网格矩形网格最为常用 网格生成方便 但对复杂边界处理过于粗糙 曲线网格 1 只提供了离散点的变换 而不给出解析函数形式的变换关系 使用不光滑的网格时 对变换关系的差分近似会造成了很大的数值误差 甚至会导致不切实际的值 2 如果网格严重偏离正交性 就会极大损坏原有的迭代方法的收敛速率 3 因变量的选择也须谨慎考虑 在曲线网格中 可取原始笛卡尔坐标系变量或曲线坐标系中沿网格方向的协变量两种作为因变量 网格 非结构网格非结构网格中单元格分布不再规则一致 其位置很难再凭借行列索引关系确定 非结构网格可以采用任意形状的单元格 单元边的数目也无限制 弥补了结构化网格不能够解决任意形状和任意连通区域的网格剖分的缺欠 网格 非结构网格最重要的一个特征是控制方程离散得到的代数方程的系数矩阵不再是结构网格下有规律的对角结构 若用对角形式存储 其带宽只能通过适当的布置单元编号顺序来减少 非结构网格原则上可应用于任何类型的数值方法 但非结构网格的FVM算法更成熟 应用更广 网格 非结构网格最早用于FEM 但流体流动是高度非线性问题 而且FEM计算量较大 这些问题使得基于FEM的非结构网格技术未能在对流问题为主的地面水流 如浅水流动 水波运动等 计算上得到重视 八十年代以来 基于FVM的非结构网格技术在空气动力学得到了广泛的发展和应用 九十年代开始一些专家学者根据浅水流动特征 将这些算法引入到计算浅水动力学中 并在模拟涌潮 溃坝等水力计算难题上取得了成功 粘性流动的非结构网格FVM模拟也开始出现 并在20世纪90年代中后期掀起了研究高潮 作为全球计算流体力学软件供应商和技术服务商的Fluent公司已经将最新的非结构网格研究成果集成 实现了研究成果的商业化 非结构网格在有限体积法中的应用 利于边界调节的实现便于控制网格密度易作修改和适应性调整网格生成有众多富有成效的方法和自适应技术比曲线网格更易得到高质量的单元格 非结构网格优点 单元格排列不规则 须建立相应的数据结构存储单元格信息 控制方程离散得到的代数方程的系数矩阵是高度稀疏的非对角型矩阵 需要寻求合适的存储方式及解法 隐格式较难实现 粘性项处理困难 数值解后处理工作量大 二阶非结构FVM较易实现 若要扩展到高阶格式 则需花费较大的代价 非结构网格需要解决的问题 方程离散 一维对流扩散方程 在P所在的控制体积上积分 假设单元P的值代表整个控制体的值 在对流项积分时 需要假定通量或者因变量从tn过渡到tn t时间段内的变化关系 离散方程 0 离散格式为显式 0 1 加权隐式 1 2 Clank Nicholson格式 1 全隐格式 0时 0 1时 显式 隐式 状态变量分布近似 单元界面e处内外侧状态 状态变量分布近似 状态变量分布近似 单元界面e处内外侧状态 在用有限体积法计算时 和有限差分法一样 方程的解是用单元节点上离散点值构成的 而不关心单元间的状态变量是怎么变化的 也就是不关心解的分布 有限单元法中一旦选定了分布曲线 就确定了状态变量的分布函数是不同的 尽管我们在离散方程的时候要假定单元分布曲线 但是这只是为了推导公式时计算积分近似而采用的一些辅助关系式 一旦离散化方程推导出来了 就可以不用再管这些分布曲线近似 在积分离散时 根据数值模拟的需要 对控制方程中的每一项都可以采用不同的分布曲线来近似单元界面上的状态变量 而不必要追求近似假设的一致性 方程离散1 一维稳态扩散问题 按节点整理后 得到 最后解方程组得到节点的值 例题 解 1点控制容积积分 方程离散1二维扩散 一维稳态对流扩散问题 方程离散2 稳态对流扩散方程 连续性方程 对控制体积分 定义 解 对中间节点2 3 4 边界节点1 整理得到 边界节点5 整理得到 工况1 改进办法 需要增加网格数 工况2 工况3 差分格式问题 中心差分格式 在扩散方程中 未引起数值解和分析解之间较大的差别 但在包含对流项的对流扩散方程中 某些计算条件下需要加密网格结果才合理 边界的计算形式 差分格式问题 控制容积界面处变量的近似计算格式是否对数值计算结果有影响 采用其他差分格式是否能提高计算精度 差分格式近似计算式在流场计算中的物理意义是什么 差分格式应该满足三个特性 守恒性 有界性和输运性 守恒性 如果对一个离散方程在定义域的任一有限空间内作求和的运算 相当于连续问题中对微分方程作积分 所得的表达式满足该区域上物理量守恒的关系时 则称该离散格式具有守恒特征 有限体积法正是从物理量守恒这一基本要求出发提出的 有限体积法的离散化方程满足了单个控制体积的平衡 当然在整个计算区域内 诸如质量 动量等物理量的积分守恒也就都能精确得到满足 无论在数值计算中采用巨大数目的细网格和少数的粗网格 数值解也照样显示准确的积分平衡 有限体积法的离散思想自动满足守恒定律 如质量守恒 动量守恒 能量守恒等等 所以有限体积法是守恒定律的一种最自然的表现形式 有界性 离散方程为代数方程组 求解时需要用迭代方法 获得收敛解 扩散问题对流扩散问题 需要满足 则有界 输运性 Peclet数 Pe数用来度量某点处变量的对流和扩散强度比 Pe 0 对流为0 完全靠扩散 扩散是无方向的 Pe增大 对流作用增加 对流是有方向的 输运性 网格Peclet数大 上游节点变量值对下游影响大 下游对上游影响小 Pe 0 上下游影响一样 中心差分格式使节点P处场变量对所有相邻节点一样 没有反映出扩散和对流的差别 不能体现输运方程的方向性 在高Peclet数数时 中心差分格式不具有输运特征 中心差分格式离散方程特点 1 守恒性 满足 2 有界性 Pe小于2时满足 不然不满足 3 输运性 没有 4 计算精度 二阶精度 Pe小于2时精度较高 Pe大于2或流动为强对流时 收敛性和精度均较差 双曲型方程特征值体现了微分方程的解 或者说扰动 信息 的传播方向 表达了波动 能量等的传播方向 应该充分考虑这一物理特性 与之相适应 恒取上游节点处的值建立差分格式 一阶上风差分格式 对无源扩散问题 只对对流项的差分格式进行改变 离散方程为 解 2 3 4点 边界 整理 工况1 工况2 显示上风差分格式考虑了流动的方向性 在有较强对流输运状况时具有计算优势 上风差风格式性质 1 守恒性 满足 2 有界性 满足 计算结果不会出现振荡或不收敛 3 输运性 考虑了流动方向 满足 4 计算精度 一阶精度 同时扩散项采用中心差分格式 随着Pe数增大 对流输运增强 扩散输运减弱 所以 当Pe足够大 仍然保持不变的扩散输运强度 必然带来误差 称为假扩散 混合差分格式 Spalding提出 当网格Pe数小于2时采用中心差分格式计算控制容积界面值 具有二阶精度 当Pe数大于2时采用上风差分格式计算控制容积界面对流输运量 同时忽略扩散输运量 计算精度一阶 但能反映流动的输运特征 工况2 上风格式有扩散 混合格式无扩散 QUICK格式 上风格式和中心差分格式的优缺点 1979年Lenoard提出用于计算控制容积界面的二次插值计算格式 对流项的二次上风插值 的英文缩写 QuadraticUpwindInterpol