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第十章 函数方程与不等式证明一. 证明不等式. (a 1, n 1)证明: 令, 在上使用拉格朗日定理 即 所以 . (a 1, n 1)二. 若a 0, b 0, 0 p 1, 证明 证明: 令显然f(0) = 0. 当x 0 时, 因为0 p 0时f(x) 0. = (1)令, 显然F(0) = 0. 所以当x 0时, F(x) 0. 由(1)知(x 0). 当x 0时F(x) F(0) = 0.所以F(1) F(0) = 0. 立即得到 四. 求证 , (0 p 1).求证: 先证当0 x 1, 0 p 1时, 有 令. 0得 . . 所以. 所以当0 x 1, 0 p 1时, 有 2 令, 则. 代入上述结论, 立即得到 即 , (0 p f(a), 所以 令 ) ( =(因为)所以F(x)单增. 又因为F(a) = 0, 所以F(b) F(a) = 0. 立即可得 方法2: 将f(x)台劳展开t, x, 所以 上式二边积分得 所以 于是 即 2 证法同1.注: 无论方法1, 2, 右边的不等式都不需要f(x)单增的条件.七. 证明: 1 2 证明: 1方法一: 先证由 得到 上述不等式中令, 得到 即 .方法二: 令, 因为 所以 即 即 2 取 f(x) = ln x, . 令p1 = p2 = = pn = 1/n.所以 立即得到.八. 设, 且, 求证: 证明: 方法1: = = =所以 | = =方法2：t, x, 所以 0 = =所以 于是 =九. 若在0, 2p上连续, 且 0, n(正整数)有 证明: = =所以 十. 设在a, b上, a x1 x2 b, 0 a 1,
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