2019年中考复习学案三角形全等

8、 三角形全等一、【知识点梳理】知识点 ：三角形全等的性质与判定1、全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等(3)全等三角形的周长等、面积等失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.2、三角形全等的判定一般三角形全等SSS（三边对应相等）SAS（两边和它们的夹角对应相等）ASA（两角和它们的夹角对应相等）AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示如图，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA和AAS. 3、全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.（2）全等三角形中的辅助线的作法：直接连接法：如图，连接公共边，构造全等.倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图，由SAS可得ACDEBD，则AC=BE.在ABE中，AB+BEAE，即AB+AC2AD.截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图、.例：如图，在ABC中，已知1=2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3.二、【近几年真题再现】1、（2016泰安）如图，在PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若MKN=44，则P的度数为（）A44B66C88D922、（2010泰安）如图，ABC是等腰直角三角形，A=90，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点（1）求证：PDQ是等腰直角三角形；3（2015）如图，ABC是直角三角形，且ABC=90，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分ABC，点F在AB上，且BF=BC求证：（1）DF=AE；4（2014年泰安）如图，ABC=90，D、E分别在BC、AC上，ADDE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M（1）求证：FMC=FCM；三、【考点训练】考点一： 全等三角形的性质及判定常规题目1在ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上，若BE的延长线交AC于点F，且BFAC，垂足为F，BAC=45求证：AEFBCF【解答】证明：ADBC，BFAC，AFB=BFC=ADB=90，C+CBF=90，C+EAF=90，CBF=EAF，AFB=90，BAC=45，ABF=BAF=45，AF=BF，在AEF和BCF中，AEFBCF（ASA）【点评】本题考查了对全等三角形的判定定理，三角形内角和定理，垂直定义的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS2如图：已知DAE=CBE，EA=EB，求证：ABDBAC（你能用一次全等就证出来吗？）【分析】由EA=EB可求得EAB=EBA，结合条件证明ABDBAC【解答】证明：EA=EB，EAB=EBA，DAE=CBE，DAB=CBA，在ABD和BAC中ABDBAC（ASA）【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键3如图，BEAC于E，CFAB于F，CF、BE相交于点D，且BD=CD求证：AD平分BAC【分析】要证AD平分BAC，只需证DF=DE可通过证BDFCDE（AAS）来实现根据已知条件，利用AAS可直接证明BDFCDE，从而可得出AD平分BAC【解答】证明：BEAC，CFAB，BFD=CED=90在BDF与CDE中，RtBDFRtCDE（AAS）DF=DE，AD是BAC的平分线【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识发现并利用BDFCDE是正确解答本题的关键4已知：如图，ABC中，ABC=45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G（1）求证：BF=AC； （2）求证：CE=BF【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出A=DFB，推出BD=DC，根据AAS证出BDFCDA即可；（2）推出AEB=CEB，ABE=CBE，根据ASA证出AEBCEB，推出AE=CE即可【解答】（1）证明：CDAB，ABC=45，BCD是等腰直角三角形BD=CDDBF=90BFD，DCA=90EFC，且BFD=EFC，DBF=DCA在RtDFB和RtDAC中，RtDFBRtDAC（AAS），BF=AC（2）证明：BE平分ABC，ABE=CBE在RtBEA和RtBEC中，RtBEARtBEC（ASA）CE=AE=AC，又BF=AC，CE=BF【点评】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出BDFCDA和AEBCEB，题目综合性比较强5如图一，ACB=90，点D在AC上，DEAB垂足为E，交BC的延长线于F，DE=EB，EG=EB，（1）求证：AG=DF；（2）过点G作GHAD，垂足为H，与DE的延长线交于点M，如图二，找出图中与AB相等的线段，并证明【分析】（1）根据已知条件得到DE=EB=EB，EGD=EGD=EDB=EBD=45，进而证得AGD=FDB=135，根据三角形内角和证得A=F，由三角形外角定理证得ADG=FBD，根据三角形的判定证得ADGFDB，由全等三角形的判定即可证得结论；（2）根据已知条件得到AEDFEB，由全等三角形的性质得到AE=EM，即可得到结论【解答】解：（1）DE=EB，EG=EB，DEAB，DE=EB=EG，EGD=EDG=EDB=EBD=45，AGD=FDB=135，ACB=90，AED=90，ADE=FDC，A=F，ADG=FBD，在ADG和FDB中ADGFDB，AG=DF；（2）DE=EB，EG=EB，DE=EB=EG，DEAB，在AED和FEB中，AEDMEB，AE=EM，AE+EB=EM+DE，即AB=DM【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键考点二：旋转全等模型6如图所示，CD=CA，1=2，EC=BC，求证：ABCDEC【分析】根据三角形全等的判定，由已知先证ACB=DCE，再根据SAS可证ABCDEC【解答】证明：1=2，ACB=DCE，在ABC和DEC中，ABCDEC（SAS）【点评】本题考查了三角形全等的判定方法和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL7如图，AB=AE，B=AED，1=2，求证：ABCAED【分析】根据SAS只要证明BAC=EAD即可解决问题；【解答】证明1=2，BAC=EAD，在ABC和AED中，ABCAED【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型8如图，ABC与ADE为等边三角形，连接BD、CE求证：ABDACE【分析】直接利用等边三角形的性质结合全等三角形的判定方法得出答案【解答】证明：ABC与ADE为等边三角形，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=60，BAC+CAD=DAE+CAD，BAD=CAE，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS）【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角9如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中BAE=BCE=ACD=90，且BC=CE，求证：ABCDEC【分析】由BAE=BCE=ACD=90，可求得DCE=ACB，且B+CEA=CEA+DEC=180，可求得DEC=ABC，再结合条件可证明ABCDEC【解答】证明：BAE=BCE=ACD=90，DCE+ECA=ECA+ACB，DCE=ACB，且B+CEA=180，又DEC+CEA=180，B=DEC，在ABC和DEC中ABCDEC（ASA）【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL10如图，在四边形ABCD中，A=BCD=90，BC=DC，延长AD到E点，使DE=AB（1）求证：ABC=EDC；（2）求证：ABCEDC【分析】（1）根据四边形的内角和等于360求出B+ADC=180，再根据邻补角的和等于180可得CDE+ADE=180，从而求出B=CDE；（2）根据“边角边”证明即可【解答】证明：（1）在四边形ABCD中，BAD=BCD=90，90+B+90+ADC=360，B+ADC=180，又CDE+ADC=180，ABC=CDE，（2）连接AC，由（1）证得ABC=CDE，在ABC和EDC中，ABCEDC（SAS）【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据四边形的内角和定理以及邻补角的定义，利用同角的补角相等求出夹角相等是证明三角形全等的关键，也是本题的难点 考点三：一线三等角问题（相似专题再研究一下这个专题）11.（2016年泰安）如图，在PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若MKN=44，则P的度数为（）A44B66C88D9212如图，ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在ABC的三边上，且B=1，BD=CF求证：EBDDCF【分析】根据全等三角形的判定证明即可【解答】证明：AB=AC，B=C，EDC是EBD的外角，EDC=BED+B，即1+FDC=BED+B，B=1，FDC=BED，在EBD和DCF中EBDDCF（AAS）【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角考点四：与等边三角形有关的旋转全等模型13如图，在等边ABC中，点D为边BC的中点，以AD为边作等边ADE，连接BE求证：BE=BD【分析】根据等边三角形的性质可得CAD=DAB=CAB=30，AD=AE，DAE=60，再求出DAB=EAB，然后利用“边角边”证明ADB与AEB全等，最后根据全等三角形对应边相等证明即可【解答】证明：在等边ABC中，点D为边BC的中点，CAD=DAB=CAB=30，ADE为等边三角形，AD=AE，DAE=60，DAB=30，DAB=EAB=30，在ADB与AEB中，ADBAEB（SAS），BE=BD【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟记性质以及三角形全等的判定方法并确定出三角形全等的条件是解题的关键14如图，已知点B、C、D在同一条直线上，ABC和CDE都是等边三角形BE交AC于F，AD交CE于H（1）求证：BCEACD；（2）求证：FHBD【分析】（1）先根据ABC和CDE都是等边三角形得出BC=AC，CE=CD，BCA=ECD=60，再由SAS定理即可得出BCEACD；（2）由（1）知BCEACD，可知CBF=CAH，BC=AC，再由ASA定理可知BCFACH，可得出CF=CH，根据FCH=60，可知CHF为等边三角形，进而可得出结论【解答】证明：（1）ABC和CDE都是等边三角形，BC=AC，CE=CD，BCA=ECD=60，BCA+ACE=ECD+ACE，即BCE=ACD，在BCE和ACD中，BCEACD （SAS）（2）由（1）知BCEACD，则CBF=CAH，BC=AC又ABC和CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，ACH=180ACBHCD=60=BCF，在BCF和ACH中，BCFACH （ASA），CF=CH，又FCH=60，CHF为等边三角形FHC=HCD=60，FHBD【点评】本题考查的是等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键15如图1，线段BE上有一点C，以BC，CE为边分别在BE的同侧作等边三角形ABC，DCE，连接AE，BD，分别交CD，CA于Q，P（1）找出图中的所有全等三角形:BCDACE；BPCAQC；DPCEQC（2）求证：BD=AE（3）如图2，取AE的中点M、BD的中点N，连接MN，试判断三角形CMN的形状，并说明理由【分析】（1）根据全等三角形的判定，可得答案；（2）根据全等三角形的判定与性质，可得答案；（3）根据全等三角形的判定与性质，可得CM=CN，根据等边三角形的判定，可得答案【解答】解：（1）BCDACE；BPCAQC；DPCEQC（2）BD=AE理由：等边三角形ABC、DCE中，ACB=ACD=DCE=60，BCD=ACE，在BCD和ACE中，BCDACE（SAS），BD=AE（3）等边三角形理由：由BCDACE，1=2，BD=AEM是AE的中点、N是BD的中点，DN=EM，又DC=CE在DCN和ECM中，DCNECM（SAS），CN=CM，NCD=MCE，MCE+DCM=60NCD+DCM=60，即NCM=60，又CM=CN，CMN为等边三角形【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解（1）的关键是全等三角形的判定，解（2）的关键是全等三角形的判定；解（3）的关键是利用全等三角形的判定与性质得出CN=CM，NCD=MCE，MCE+DCM=60，又利用了等边三角形的判定16如图，点P在等边ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60得到PC，连接AP，则sinPAP的值为【分析】连接PP，如图，先利用旋转的性质得CP=CP=6，PCP=60，则可判定CPP为等边三角形得到PP=PC=6，再证明PCBPCA得到PB=PA=10，接着利用勾股定理的逆定理证明APP为直角三角形，APP=90，然后根据正弦的定义求解【解答】解：连接PP，如图，线段PC绕点C顺时针旋转60得到PC，CP=CP=6，PCP=60，CPP为等边三角形，PP=PC=6，ABC为等边三角形，CB=CA，ACB=60，PCB=PCA，在PCB和PCA中，PCBPCA，PB=PA=10，62+82=102，PP2+AP2=PA2，APP为直角三角形，APP=90，sinPAP=故答案为考点五：翻折全等模型17如图，AC=AE，C=E，1=2求证：ABCADE【分析】求出BAC=DAE，根据全等三角形的判定定理推出即可【解答】证明：1=2，1+EAC=2+EAC，BAC=DAE，在ABC和ADE中ABCADE（ASA）【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS考点六：直角三角形的一个全等模型18如图，已知ABAC，AB=AC，DE过点A，且CDDE，BEDE，垂足分别为点D，E求证：ADCBEA【分析】由AB与AC垂直，CD与DE垂直，B与DE垂直，利用同角的余角相等得出DCA=EAB，进而得出的一对角相等，一对直角相等，以及AB=AC，利用AAS即可得证【解答】证明：ABAC，CDDE，BEDE，BAC=D=E=90，CAD+BAE=90，DCA+CAD=90，DCA=EAB；在ADC和BEA中，ADCBEA（AAS）【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键19如图，在RtABC中，C=90，AC=10cm，BC=5cm一条线段PQ=AB，并且P、Q两点分别在线段AC和过A点且垂直于AC的射线AM上运动问当P点位于AC的什么位置时由P、Q、A点构成的三角形与ABC全等？并说明理由【分析】本题要分情况讨论：RtAPQRtCBA，此时AP=BC=5cm，可据此求出P点的位置RtQAPRtBCA，此时AP=AC，P、C重合【解答】解：根据三角形全等的判定方法HL可知：当P运动到AP=BC时，C=QAP=90，在RtABC与RtQPA中，RtABCRtQPA（HL），即AP=BC=5cm；当P运动到与C点重合时，AP=AC，在RtABC与RtQPA中，RtQAPRtBCA（HL），即AP=AC=10cm，当点P与点C重合时，ABC才能和APQ全等综上所述，当点P位于AC的中点处或当点P与点C重合时，ABC才能和APQ全等【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解20长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征如图，把一张长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF（1）如果DEF=110，求BAF的度数；（2）判断ABF和AGE是否全等吗？请说明理由【分析】（1）在RtABF中，求出AFB即可解决问题（2）结论：ABFAGE只要证明，BAF=EAG，B=G，AB=AG，根据AAS即可判定【解答】解：（1）ABCD是长方形，ADBC，AB=CD，CFE=180DEF=70，由折叠知：AFE=CFE=70，AFB=180AFECFE=40，B=90，BAF=90AFB=50（2）结论：ABFAGE 则折叠知：AG=CD，G=D=90，DEF=GEF=130B=G，AB=CD，AB=AG，AEF=180DEF=50，AEG=GEFAEF=80，AFB=AEG在ABF和AGE中，ABFAGE（AAS）【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、矩形的性质，翻折变换等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题考点七：等腰直角三角形的一个模型21在ABC中，BAC=90，AB=AC，D为BC中点，且AE=CF求证：（1）AEDCFD（2）求证：DFE是等腰直角三角形；【分析】根据题目中的条件可以得到AD和CD的关系，EAD的度数，从而可以证明结论【解答】证明：在ABC中，BAC=90，AB=AC，D为BC中点，AD=BD=CD，EAD=FCD=45，在AED和CFD中，AEDCFD（SAS）【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是明确题意，找出所证结论需要的条件四、【典例分享 方法提炼 】【考点八：旋转割补组合的一个模型 】22如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将ADE沿AE对折至AFE，延长交BC于点G连接AG求证：ABGAFG【分析】根据正方形的性质得出B=D=90，AD=AB，根据折叠的性质得出AD=AF，AFG=D=90，求出AFG=90=B，AB=AF，根据HL推出全等即可【解答】证明：四边形ABCD是正方形，B=D=90，AD=AB，由折叠的性质可知：AD=AF，AFG=D=90，AFG=90=B，AB=AF，在RtABG和RtAFG中RtABGRtAFG（HL），即ABGAFG【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定的应用，能求