二次函数综合性培优训练题及答案

*精*二次函数综合性培优训练题及答案 1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线 与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴上. （1）求的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.EBACP图1OxyD2、如图2，已知二次函数的图像经过点A和 点B（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离xyO3911AB图23、如图3，已知抛物线经过O(0,0)，A(4,0),B(3,)三点，连结AB，过点B作BC轴交该抛物线于点C. （1） 求这条抛物线的函数关系式.（2） 两个动点P、Q分别从O、A两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P沿着线段0A向A点运动，点Q沿着折线ABC的路线向C点运动. 设这两个动点运动的时间为（秒) (04)，PQA的面积记为S. 求S与的函数关系式； 当为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时PQA的形状； 是否存在这样的值，使得PQA是直角三角形?若存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由. PBACOQ图3-30-1-21234S(万元)图41 2 3 4 5 6 t(月)4、某公司推出了一种高效环保型除草剂，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程. 图4的二次函数图象（部分）刻车了该公司年初以来累积利润S（万元）与时间（月）之间的关系（即前个月的利润总和S与之间的关系）.根据图象提供信息，解答下列问题：（1）公司从第几个月末开始扭亏为盈；（2）累积利润S与时间之间的函数关系式；（3）求截止到几月末公司累积利润可达30万元；（4）求第8个月公司所获利是多少元？5、如图5，已知抛物线的顶点坐标为E（1,0），与轴的交点坐标为（0,1）.（1）求该抛物线的函数关系式.（2）A、B是轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4，A在B的左边，过A作AD轴交抛物线于D，过B作BC轴交抛物线于C. 设A点的坐标为（,0），四边形ABCD的面积为S. 求S与之间的函数关系式. 求四边形ABCD的最小面积，此时四边形ABCD是什么四边形？ 当四边形ABCD面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P，使得PAE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及这时PAE的周长；若不存在，说明理由.EO1备用图D图5EBACO16)如图6，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。图67、如图7，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点、和点.（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为，求四边形的面积；（3）有两动点、同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿折线 按的路线运动，点以每秒个单位长度的速度沿折线按的路线运动，当、两点相遇时，它们都停止运动.设、同时从点出发秒时，的面积为S .请问、两点在运动过程中，是否存在，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由；请求出S关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；设是中函数S的最大值，那么 = . 图78、如图8，抛物线与轴交于A(-1,0),B(3,0) 两点.(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足SPAB=8,并求出此时P点的坐标；(3)设(1)中抛物线交y 轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.图89、如图9、已知抛物线y=x2+(2n-1)x+n2-1 (n为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作ABx轴于B，DCx轴于C.当BC=1时，求矩形ABCD的周长；试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由.x经y经0经1经2经3经4经-1经-1经-2经-3经1经2经ABCD图910、如图10，已知点A(0,8)，在抛物线上，以A为顶点的四边形ABCD是平行四边形，且项点B，C，D在抛物线上，ADx轴，点D在第一象限.(1)求BC的长；(2)若点P是线段CD上一动点，当点P运动到何位置时，DAP的面积是7.(3)连结AC，E为AC上一动点，当点E运动到何位置时，直线OE将o ABCD分成面积相等的两部分？并求此时E点的坐标及直线OE的函数关系式.ABCDOyx图1011、一座拱桥的截面轮廓为抛物线型(如图11-1),拱高6米,跨度20米,相邻两支柱间的距离均为5米.（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图11-2所示)，其表达式是的形式. 请根据所给的数据求出的值.（2）求支柱MN的长度.（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间DE是一条宽2米的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2米、高3米的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.MN10米20米6米5米图11-1图11-2DEOxABCy二次函数综合题训练题型集合答案1、 (1) 点A(3,4)在直线y=x+m上， 4=3+m. （1分） m=1. （2分） 设所求二次函数的关系式为y=a(x-1)2. （3分） 点A(3,4)在二次函数y=a(x-1)2的图象上， 4=a(3-1)2, a=1. （4分） 所求二次函数的关系式为y=(x-1)2. 即y=x2-2x+1. （5分）(2) 设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE . PE=h=yP-yE （6分） =(x+1)-(x2-2x+1) （7分） =-x2+3x. （8分） 即h=-x2+3x (0x3). （9分）(3) 存在. （10分）解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC. （11分） 点D在直线y=x+1上, 点D的坐标为(1,2), -x2+3x=2 .即x2-3x+2=0 . （12分）解之，得 x1=2，x2=1 (不合题意，舍去) （13分） 当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形. （14分）解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BPCE. （11分）设直线CE的函数关系式为y=x+b. 直线CE 经过点C(1,0), 0=1+b, b=-1 . 直线CE的函数关系式为y=x-1 . 得x2-3x+2=0. （12分）解之，得 x1=2，x2=1 (不合题意，舍去) （13分） 当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形. （14分）2、解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入得解得 二次函数的表达式为 （2）对称轴为；顶点坐标为（2，-10）（3）将（m，m）代入，得 ，解得m0，不合题意，舍去m=6点P与点Q关于对称轴对称，点Q到x轴的距离为63、（1） 抛物线经过O(0,0)，A(4,0),B(3,)， .解得 . （2分） 所求抛物线的函数关系式为. （3分）(注：用其它方法求抛物线的函数关系式参照以上标准给分.)（2） 过点B作BE轴于E，则BE=，AE=1，AB=2. 由tanBAE=，得BAE =60. （4分）EFPBACOQ图13 （）当点Q在线段AB上运动，即02时，QA=t，PA=4-.过点Q作QF轴于F，则QF=， S=PAQF. （6分） （）当点Q在线段BC上运动，即24时，Q点的纵坐标为，PA=4-.这时，S=. （8分）（）当02时，. ， 当=2时，S有最大值，最大值S=. （9分）（）当24时， ， S随着的增大而减小. 当=2时，S有最大值，最大值. 综合（）（），当=2时，S有最大值，最大值为. PQA是等边三角形. 存在. 当点Q在线段AB上运动时，要使得PQA是直角三角形，必须使得PQA =90，这时PA=2QA，即4-=2， . P、Q两点的坐标分别为P1(,0)，Q1(,). （13分）当点Q在线段BC上运动时，Q、P两点的横坐标分别为5-和，要使得PQA是直角三角形，则必须5-=， P、Q两点的坐标分别为P2(,0)，Q2(,). （14分）(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)4、（1）由图象可知公司从第4个月末以后开始扭亏为盈. （1分） （2）由图象可知其顶点坐标为(2,-2)，故可设其函数关系式为：y=a(t-2)2-2. （2分 所求函数关系式的图象过(0,0)，于是得 a(t-2)2-2=0，解得a= . （4分） 所求函数关系式为：S=t-2)2-2或S=t2-2t. （6分） （3）把S=30代入S=t-2)2-2，得t-2)2-2=30. （7分） 解得t1=10，t2=-6（舍去）. （8分） 答：截止到10月末公司累积利润可达30万元. （9分） （4）把t=7代入关系式，得S=72-27=10.5 （10分） 把t=8代入关系式，得S=82-28=16 16-10.5=5.5 （11 答：第8个月公司所获利是5.5万元. （12分）EO1DBACP5、（1） 抛物线顶点为F（1,0） （1分） 该抛线经过点E（0,1） ， 即所求抛物线的函数关系式为. （3分）（2） A点的坐标为（,0）, AB=4，且点C、D在抛物线上， B、C、D点的坐标分别为(+4,0)，(+4, (+3)2)，(,(-1)2). （5分） .（7分） . （8分） 当=-1时，四边形ABCD的最小面积为16， （9分） 此时AD=BC=AB=DC=4，四边形ABCD是正方形. （10分） 当四边形ABCD的面积最小时，四边形ABCD是正方形，其对角线BD上存在点P, 使得PAE的周长最小. （11分）AE=4（定值），要使PAE的周长最小，只需PA+PE最小. 此时四边形ABCD是正方形，点A与点C关于BD所在直线对称,由几何知识可知，P是直线CE与正方形ABCD对角线BD的交点. 点E、B、C、D的坐标分别为（1,0）（3,0）（3,4）（-1,4） 直线BD，EC的函数关系式分别为：y=-x+3, y=2x-2. P(,) （13分） 在RtCEB中，CE=, PAE的最小周长=AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE=2+. （14分）6、解：（1）令y=0，解得或（1分）A（1，0）B（3，0）；（1分）将C点的横坐标x=2代入得y=3，C（2，3）（1分）直线AC的函数解析式是y=x1（2）设P点的横坐标为x（1x2）（注：x的范围不写不扣分）则P、E的坐标分别为：P（x，x1），（1分）E（1分）P点在E点的上方，PE=（2分）当时，PE的最大值=（1分）（3）存在4个这样的点F，分别是7、解：（1）令，则；令则.、二次函数的图象过点，可设二次函数的关系式为 1分又该函数图象过点、2分解之，得，所求二次函数的关系式为 3分（2）=顶点M的坐标为 4分过点M作MF轴于F=四边形AOCM的面积为10 6分（3）不存在DEOC 7分若DEOC，则点D、E应分别在线段OA、CA上，此时 1t2，不满足1t2.不存在DEOC. 9分根据题意得D、E两点相遇的时间为（秒） 10分现分情况讨论如下：当0 1时，；11分当12时，设点E的坐标为， 12分当2 时，设点E的坐标为，类似可得设点D的坐标为，= 13分 14分 10、（1）四边形ABCD是平行四边形，AD=BC. A(0,8), 设D点坐标为(x1,8), 代入中， 得x1=4. 又D点在第一象限，ABCDOyxE x1=4， BC=4. （2）C(2,2)，D(4,8)， 直线CD的函数关系式为y=3x-4. 设点P在线段CD上，P(x2,y2)，y2=3x2-4.AD=BC=4,4(8-y2)=7， y2=. 3x2-4=， x2=. P(,), 即当点P在(,)的位置时，DAP的面积是7. （3）连接AC，当点E运动到AC的中点（或AC与BD的交点）时，即E点为o ABCD的中心，其坐标为E（1,5）,直线OE将o ABCD分成面积相等的两部分. 设直线OE的函数关系式为y=kx, k=5，直线OE的函数关系式为y=5x. 11、(1) 根据题目条件，A、B、C的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0). GH图12-2DEOxABCy将B、C的坐标代入，得 解得. 抛物线的表达式是. (2) 可设N(5,)，于是. 从而支柱MN的长度是10-4.5=5.5米. (3) 设DE是隔离带的宽，EG是三辆车的宽度和，则G点坐标是(7,0)(7=2223). 过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则. 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车. 报童卖报问题1某报亭从报社买进某种日报的价格是每份0.30元，卖出价格的每份0.50元，卖不出的报纸可以按每份0.10元的价格退还给报社，经验表面，在一个月内（30天）里。有20天只能卖出150份报纸，其余10天每天可以卖出200份，该报亭每天从报社买进报纸的份数相同。这个报亭每天买进多少份报纸才能使每月所获利润最大？最大利润是多少？解：设该报亭每天从报社买进报纸x份，所获利润为y元， 根据题意得 y=20(0.50-0.30)150+20(0.10-0.30)(x-150)+10(0.50-0.30)x. 即y = - 2x + 1 200(150 x 200). 由k， = - 2 0可知，当150 x 200时，y随x的增大而减小 所以当x = 150时，y有最大值. 其最大值为 - 2150 + 1 200 = 900(元).2如图,双曲线y=k/x经过RtOMN斜边上的点A,与直角边MN相交于点B,已知OA=2AN,OAB 的面积为5，则k的值是？解答：方法一：过A点作X轴的垂线，垂足为C点，设OC=2a，则由比例关系得：CM=a，OM=3a，A、B两点都在双曲线y=kx上，AC=k2a，BM=k3a，OAB面积=OAC面积梯形ACMB面积OBM面积 =2ak2ak2ak3aa3ak3a