大学物理-第五章机械波

1 波动,2 波动方程,3 波动的能量,4 惠更斯原理 波的衍射,5 波的叠加原理 波的干涉,第五章 机械波,6 驻波,波动:振动状态在空间中的传播过程。,波源：激起波动的振动系统。,波场：传播振动的空间,5.1波动,两类波的不同之处,机械波的传播需有传播振动的介质;,电磁波的传播可不需介质.,能量传播反射折射干涉衍射,两类波的共同特征,1 波动,波线：表征波的传播方向的带箭头的线。,一、波的几何描述,波面：振动相位相同的点所连成的曲面。,平面波：波面是平面的波（平面波源，各向同性均匀媒质）,球面波：波面是球面的波（点波源，各向同性均匀媒质）,波前：离波源最远（即“最前方”）的波面。,注意：,（1）在各向同性均匀媒质中波线垂直于波面。,（2）球面波和平面波是真实波动的理想近似。,球面波、柱面波的形成过程：,二、横波和纵波,1、横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直。 只能存在于有剪切应力的介质中。（固体、稠液体）,2、纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行。 存在于固体、液体、气体各种媒质中。,注意：,横波：波峰，波谷纵波：疏区，密区,注：在固体中可以传播横波或纵波，在液体、 气体(因无剪切效应)中只能传播纵波。,由波源和媒质决定,由波源决定,三、波的特征量,1、波速 u ：振动状态的传播速度(也是相位传播速度）, 由媒质的性质和状态决定。,波动方程描写一根波线上任一质点在任一时刻的振动,2 波动方程,一、平面简谐波波动方程,平面简谐波：在均匀无吸收介质中传播的 平面波，波源作谐振动。,在波线上任取一点为坐标原点，沿波线方向建立坐标轴,x: 波线上各质点的平衡位置坐标,y:各质点离开平衡位置的位移,横波：,纵波：,5.2波动方程,1、已知坐标原点O的振动方程，求波动方程,波线上各质点依次重复波源的振动，各质点振动相位沿传播方向依次滞后（落后）.,沿X轴正方向传播的平面简谐波波动方程,注意：,(1)、波动方程的三种表达式,(2)、x点的初相位为,(4)、x处质点的振动速度和加速度,(6)、振动的速度与振动传播的速度（相速）,由波源振动规律和媒质性质决定,由媒质的性质和状态决定,振动状态的传播速度,质点的运动速度,与波线方向相同,横波：与波线垂直,纵波：与波线平行,（7）、注意区分波 源 点，原点，参考点（已知振动方式的点）,2. 已知波线上一点x0的振动方程，求波动方程,问题：x=0点的初位相为多少？ x点的初相是多少？,二、波动方程的物理意义,相邻两峰之间距为一个波长,相邻两峰之间距为一个周期,波线上各点的简谐运动图,波速 u 是相位传播速度,4、由波形曲线及传播方向判断波形图上 各质点振动速 度方向,沿X轴正向传播的波， 曲线上升段各质点速度为负，曲线下降段各质点速度为正,沿X轴负向传播的波， 曲线上升段各质点速度为正，曲线下降段各质点速度为负,三、平面波的波动微分方程,对 求x 、t 的二阶偏导数得:,任何物理量y ，若它与时间、坐标间的关系满足上式，则这一物理量就按波的形式传播。,平面波的波动微分方程,1）给出下列波函数所表示的波的传播方向和 点的初相位.,向x 轴正向传播,向x 轴负向传播,2）平面简谐波的波函数为 式中 为正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为 的两点间的相位差.,3 ） 如图简谐波以余弦函数表示，求 O、a、b、c 各点振动初相位.,解二：由t=T/4时刻的波形图求初相,例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.,解：比较系数法,把题中波动方程改写成,比较得,例 如图所示，一平面简谐波沿Ox轴的负方向传播，波速大小为u，若P处介质质点的振动方程为 求该波的波动表达式。,1）波动方程,例2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振幅 ， ， . 在 时坐标原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求,解 写出波动方程的标准式,2）求 波形图.,3） 处质点的振动规律并做图 .,处质点的振动方程,一、介质的弹性模量,应力或胁强,体应变或胁变,正压力,受力面积,受力前立方体的体积,受力后立方体的体积,体积的增量,(容变情形),1、容变模量,（对于流体 ）,容变模量,3 机械波的能量,5.3波的能量,(长变情形),应力或胁强,线应变或胁变,横截面积,杨氏模量,(切变情形),切向力,柱体底面积,切变模量,2、杨氏模量,3、切变模量,应力或胁强,切应变,注意：波速 u 由介质的弹性模量和质量密度决定。,固体中横波波速,固体中纵波波速,沿张紧弦传播的横波波速,气体、液体中的纵波波速,例：频率为=12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播，棒的杨氏模量为E =1.91011N/m2，棒的密度 =7.6103kg/m3。求棒中的波速、波长、周期。,解 棒中的波速,波长,周期,对于沿直杆传播的机械纵波,二、机械波的能量密度,对于沿张紧绳索(x轴正向)传播的机械横波,可以证明：,1、波的动能和势能均随时间作同周期性变化， 变化周期为波动周期的一半（T/2）。,2、动能与势能同相变化。质元内的波动能量在 之间变化。,当 E增加时，表示有能量沿波线传入质元；当 E 减少时，表示有能量沿波线从质元传出。,3、上述结论对所有弹性简谐波都适用。,理解动能与势能同相变化,以横波为例，考察某时刻波形图上的许多质元，位移最大处的质元C,C由于dy/dx=0,没有形变，波动势能最小（为0）；而位移为0处的质元A,A，dy/dx最大，形变最大，波动势能最大。,某质元由C点运动到D点的过程中，有能量从左传来，再由D点运动到E点的过程中，将能量输送给右边质元。,三、波的能流密度,1、平均能流：单位时间内垂直通过S面的平均能量。,2、能流密度（波强）：单位面积上通过的平均能流。,可见：波的能量是沿波线并以波速u而流动的。,单位：w,例 证明球面波的振幅与离开其波源的距离成反比，并求球面简谐波的波函数.,证 介质无吸收，通过两个球面的平均能流相等.,即,式中 为离开波源的距离， 为 处的振幅.,注意：对于平面波，,例题 用聚焦超声波的方式，可以在液体中产生强度达120kW/cm2的大振幅超声波。设波源作简谐振动，频率为500kHz，液体的密度为1g/cm3，声速为1500m/s，求这时液体质点振动的振幅。,解 因 ，所以,可见液体中声振动的振幅实际上是极小的。,4 惠更斯原理 波的衍射,一、惠更斯原理,5.4波的衍射,介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前.,波在各向同性均匀媒质中传播时，波面的几何形状保持不变，波线为直线。,注意：,二、波的衍射,波动绕过障碍物的边缘，在其阴影区内继续传播的现象。,一、波的叠加原理,5 波的叠加原理 波的干涉,两列波在同一方向传播时，媒质中各质点将同时参与两个振动。任一时刻质点的位移是每个波在该处所引起的振动位移的合成。即发生波的叠加。,同一空间传播的两个或两个以上的波，每个波动在传播过程中各自保持自身的特性（振向、频率、传播方向等）不变，就好象空间并没有其它波动存在一样。相遇处发生振动的叠加，相遇后仍按各自的传播规律继续前进。波的叠加原理,5.5波的干涉,二、波的干涉,相干条件：频率、振动方向相同，波源的振动相位差恒定,相干波： 满足相干条件的两列波。,相干波源：产生相干波的波源。,波的干涉：相干波在空间相遇发生稳定的叠加的现象。这时两列波在相遇任意一点均有恒定的相差。则质点的合振动也是稳定的，有些点振动始终加强，有些点振动始终减弱。,干涉现象的强度分布,讨论,若I1=I2，叠加后波的强度：,(3)合成波的强度,例 如图所示，A、B 两点为同一介质中两相干波源.其振幅皆为5cm，频率皆为100Hz，但当点 A 为波峰时，点B 适为波谷.设波速为10m/s，试写出由A、B发出的两列波传到点P 时干涉的结果.,解,设 A 的相位较 B 超前，则 .,点P 合振幅,例. 和 是初相和振幅均相同的相干波源，相距 。设两波沿 连线传播的强度不随距离变化，求在连线上两波叠加为加强的位置。,例. 和 是波长均为 的相干波源，相距 , 的相位比 超前 ，设两波沿 连线传播的强度不随距离变化，均为 ，则在连线上 外侧和 外侧各点，合成波的强度分别为（ ）。,驻波两个振幅相同，在同一直线上沿相反方向 传播的相干波形成的干涉现象。,驻波,一、 驻波方程,6 驻波,(2)两波节之间各点振幅不同，中点振幅最大（波腹）,相邻波节与波腹间距,2、相位：两波节之间各点振动相位相同， 一波节两侧各点相位正好相反。,二、驻波的能量,驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化，在相邻的波节间发生动能和势能间的转换，动能主要集中在波腹，势能主要集中在波节。 驻波不向远方传播能量。,n=1，基频,n1，谐频,三、弦线振动的简正模式,由此频率决定的各种振动方式称为弦线振动的简正模式.,决定音调,决定音色,实验弦线上的驻波：,在实验中，选择n值后，固定 调整u、l或固定 u、l调整 以获得单一波长的驻波。,两端固定的弦振动的简正模式,一端固定一端自由 的弦振动的简正模式,四、反射波的相位变化,2、在两媒质分界面处的反射波,1、弦线上的反射波,波密媒质：,波疏媒质：,当波从波密媒质向波疏媒质入射时，反射波无半波损失。,当波从波疏媒质向波密媒质入射时，反射波有半波损失。,当M点为自由端时，反射波与,频率,波速,基频,谐频,解 ：弦两端为固定点，是波节.,例：如图二胡弦长 ，张力 . 密度,. 求弦所发的声音的基频和谐频.,例：一端固定、另一端自由的细棒，其振动的最小的三个频率之比是（ ）。,解：入射波表达式,例：一角频率为 ，振幅为A的平面简谐波沿x轴正方向传播，设在t = 0时该波在原点O处引起的振动使媒质元由平衡