双曲线-题型归纳-含答案

1 三 典型例题选讲三 典型例题选讲 一 考查双曲线的概念 一 考查双曲线的概念 例例 1 1 设 P 是双曲线1 9 2 2 2 y a x 上一点 双曲线的一条渐近线方程为023 yx 1 F 2 F分别是双曲线的左 右焦点 若3 1 PF 则 2 PF A 1或5 B 6 C 7 D 9 分析 分析 根据标准方程写出渐近线方程 两个方程对比求出a的值 利用双曲线的定义求出 2 PF的值 解 解 双曲线1 9 2 2 2 y a x 渐近线方程为 y x a 3 由已知渐近线为023 yx 12 2 4aPFPF 4 12 PFPF 12 3 0PFPF 7 2 PF 故选 C 归纳小结归纳小结 本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法 二 基本量求解 二 基本量求解 例例 2 2 2009 山东理 设双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线与抛物线 2 1yx 只有一个公共点 则双曲线的离心率为 A 4 5 B 5 C 2 5 D 5 解析 解析 双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线为x a b y 由方程组 2 1 b yx a yx 消去 y 得 2 10 b xx a 有唯一解 所以 2 40 b a 所以2 b a 22 2 1 5 cabb e aaa 故选 D 归纳小结归纳小结 本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念 以及直线与抛物线的位置 关系 只有一个公共点 则解方程组有唯一解 本题较好地考查了基本概念 基本方法和基本 技能 2 例例 3 3 2009 全国 理 设双曲线 22 22 1 xy ab a 0 b 0 的渐近线与抛物线 y x2 1 相 切 则该双曲线的离心率等于 A 3 B 2 C 5 D 6 解析 解析 设切点 00 P xy 则切线的斜率为 0 0 2 x x yx 由题意有 0 0 0 2 y x x 又有 2 00 1yx 联立两式解得 22 0 1 2 1 5 bb xe aa 因此选 C 例例 4 2009 江西 设 1 F和 2 F为双曲线 22 22 1 xy ab 0 0ab 的两个焦点 若 12 FF 0 2 Pb是正三角形的三个顶点 则双曲线的离心率为 A 3 2 B 2 C 5 2 D 3 解析 解析 由 3 tan 623 c b 有 2222 344 cbca 则2 c e a 故选 B 归纳小结归纳小结 注意等边三角形及双曲线的几何特征 从而得出 3 tan 623 c b 体现数形 结合思想的应用 三 求曲线的方程 三 求曲线的方程 例例 5 2009 北京 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy Cab ab 的离心率为3 右准线方程 为 3 3 x 3 1 求双曲线 C 的方程 2 已知直线0 xym 与双曲线 C 交于不同的两点 A B 且线段 AB 的中点在圆 22 5xy 上 求 m 的值 分析 分析 1 由已知条件列出 a b c的关系 求出双曲线 C 的方程 2 将直线与双曲线 方程联立 再由中点坐标公式及点在圆上求出 m 的值 解 解 1 由题意 得 2 3 3 3 a c c a 解得1 3ac 222 2bca 所求双曲线C的方程为 2 2 1 2 y x 2 设 A B 两点的坐标分别为 1122 x yxy 线段 AB 的中点为 00 M xy 由 2 2 1 2 0 y x xym 得 22 220 xmxm 判别式0 12 000 2 2 xx xm yxmm 点 00 M xy在圆 22 5xy 上 2 2 25mm 1m 另解 另解 设 A B 两点的坐标分别为 1122 x yxy 线段 AB 的中点为 00 M xy 由 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 y x y x 两式相减得 12121212 1 0 2 xxxxyyyy 由直线的斜率为 1 1212 00 22 xxyy xy 代入上式 得 00 2yx 又 00 M yx在圆上 得 22 00 5yx 又 00 M yx在直线上 可求得 m 的值 归纳小结归纳小结 本题主要考查双曲线的标准方程 圆的切线方程等基础知识 考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法 考查推理 运算能力 4 例例 6 6 过 1 1 M的直线交双曲线 22 1 42 xy 于 A B两点 若M为弦AB的中点 求直线 AB的方程 分析 分析 求过定点M的直线方程 只需要求出它的斜率 为此可设其斜率是k 利用 M 为 弦AB的中点 即可求得k的值 由此写出直线AB的方程 也可设出弦的两端点坐标用 点 差法 求解 解法一 解法一 显然直线AB不垂直于x轴 设其斜率是k 则方程为1 1 yk x 由 22 1 42 1 1 xy yk x 消去y得 222 1 2 4 1 2460 kxkk xkk 设 221 1 yxByxA 由于 M 为弦AB的中点 所以 12 2 2 1 1 21 2 xxkk k 所以 1 2 k 显然 当 1 2 k 时方程 的判别式大于零 所以直线AB的方程为 1 1 1 2 yx 即210 xy 解法二 解法二 设 221 1 yxByxA 则 22 11 22 22 1 42 1 42 xy xy 得 12121212 2 0 xxxxyyyy 又因为 1212 2 2xxyy 所以 1212 2 xxyy 若 12 xx 则 12 yy 由 1212 2 2xxyy 得 12 1xx 12 1yy 则点AB 都不在双曲线上 与题设矛盾 所以 12 xx 所以 12 12 1 2 yy k xx 所以直线AB的方程为 1 1 1 2 yx 即210 xy 5 经检验直线210 xy 符合题意 故所求直线为210 xy 解法三 解法三 设A xy 由于AB 关于点 M 1 1 对称 所以B的坐标为 22xy 则 22 2 1 42 2 1 2 xy y 2 2 x 4 消去平方项 得210 xy 即点A的坐标满足方程 同理点B的坐标也满足方程 故直线AB的方程为210 xy 归纳总结 归纳总结 由于双曲线 抛物线 不是 封闭 的曲线 以定点为中点的弦不一定存在 所以在求双曲线 抛物线 中点弦方程时 必须判断满足条件的直线是否存在 四 轨迹问题 四 轨迹问题 例例 7 已知点 100 P xy为双曲线 22 22 1 8 xy bb b为正常数 上任一点 2 F为双曲线的右 焦点 过 1 P作右准线的垂线 垂足为A 连接 2 F A并延长交y轴于 2 P 求线段 1 P 2 P的中点 P的轨迹E的方程 分析 分析 求轨迹问题有多种方法 如相关点法等 本题注意到点P是线段 1 P 2 P的中点 可利 用相关点法 解 解 由已知得 20 8 3 0 3 FbAb y 则直线 2 F A的方程为 0 3 3 y yxb b 令0 x 得 0 9yy 即 20 0 9 Py 设P xy 则 0 00 0 2 9 5 2 x x yy yy 即 0 0 2 5 xx y y 代入 22 00 22 1 8 xy bb 得 22 22 4 1 825 xy bb 即P的轨迹E的方程为 22 22 1 225 xy bb x R 归纳小结归纳小结 将几何特征转化为代数关系是解析几何常用方法 五 突出几何性质的考查五 突出几何性质的考查 6 例例 8 8 2006 江西 P是双曲线 22 1 916 xy 的右支上一点 M N分别是圆 22 5 4xy 和 22 5 1xy 上的点 则 PMPN 的最大值为 A 6 B 7 C 8 D 9 解析 解析 双曲线的两个焦点 1 5 0 F 与 2 5 0 F恰好是两圆的圆心 欲使 PMPN 的值 最大 当且仅当 PM最大且 PN最小 由平面几何性质知 点M在线段 1 PF的延长线上 点N是线段 2 PF与圆的交点时所求的值最大 此时 12 2 1 PMPNPFPF 93 21 PFPF 因此选 D 例例 9 2009 重庆 已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为 5 5 x 离心率 5e 1 求该双曲线的方程 2 如图 点A的坐标为 5 0 B是圆 22 5 1xy 上的点 点M在双曲线 右支上 求MAMB 的最小值 并求此时M点的坐标 7 分析 分析 1 比较基础 利用所给条件可求得双曲线的方程 2 利用双曲线的定义将 MAMB 转化为其它线段 再利用不等式的性质求解 解 解 1 由题意可知 双曲线的焦点在x轴上 故可设双曲线的方程为 22 22 1 0 0 xy ab ab 设 22 cab 由准线方程为 5 5 x 得 2 5 5 a c 由5e 得5 c a 解得1 5ac 从而2b 该双曲线的方程为 2 2 1 4 y x 2 设点 D 的坐标为 5 0 则点 A D 为双曲线的焦点 则 22MAMDa 所以 2 2 MAMBMBMDBD 因为B是圆 22 5 1xy 上的点 其圆心为 0 5 C 半径为 1 故