2014届高考数学考前专题核查课件：直线与圆

直线与圆 一 主干知识1 倾斜角与斜率 1 直线的倾斜角 的范围为 2 倾斜角为90 的直线的斜率 倾斜角为 90 的直线的斜率k 而过 x1 y1 x2 y2 两点的直线的斜率k x1 x2 0 不存在 tan 2 直线的方程 1 点斜式方程 其中直线过点P x0 y0 斜率为k 2 斜截式方程 其中直线斜率为k 在y轴上的截距为b 3 两点式方程 其中直线过点P1 x1 y1 点P2 x2 y2 x1 x2 y1 y2 y y0 k x x0 y kx b 4 截距式方程 其中直线在x轴上的截距为a 在y轴上的截距为b 其中a b均不为0 5 一般式方程 其中A B不全为零 Ax By C 0 3 圆的方程 1 若圆心坐标为 a b 半径为r 则圆的标准方程为 2 圆的一般方程为 其中 圆心坐标为半径为 x a 2 y b 2 r2 x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0 二 必记公式1 点到直线的距离 d 其中点P x0 y0 直线方程为 Ax By C 0 2 两平行线间的距离 d 其中两平行线方程分别为l1 Ax By C1 0 l2 Ax By C2 0 三 重要关系1 两条直线的位置关系 平行 垂直 判断方法有 利用斜率大小与直线一般式方程中系数大小关系法 2 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 判断方法有 代数判断法与几何判断法 3 圆与圆的位置关系 相交 外切 内切 外离 内含 判断方法 几何判断法 1 2013 安徽高考 直线x 2y 5 0被圆x2 y2 2x 4y 0截得的弦长为 A 1B 2C 4D 解题提示 圆的半径 弦心距 半弦长组成直角三角形 利用勾股定理即可求得半弦长 解析 选C 由 x 1 2 y 2 2 5得圆心 1 2 半径圆心到直线x 2y 5 0的距离半径 弦心距 半弦长组成的直角三角形 可得弦长 2 2013 陕西高考 已知点M a b 在圆O x2 y2 1外 则直线ax by 1与圆O的位置关系是 A 相切B 相交C 相离D 不确定 解析 选B 点M a b 在圆x2 y2 1外 a2 b2 1 圆心O 0 0 到直线ax by 1的距离 圆的半径 故直线与圆相交 3 2013 新课标全国卷 已知点A 1 0 B 1 0 C 0 1 直线y ax b a 0 将 ABC分割为面积相等的两部分 则b的取值范围是 解析 选B 由题意画出图形 如图 1 由图可知 直线BC的方程为x y 1 由解得可求N 0 b 因为直线y ax b将 ABC分割为面积相等的两部分 所以又所以S CMN S ODN 即整理得 所以所以即可以看出 当a增大时 b也增大 当a 时 即 当a 0时 直线y ax b 接近于y b 当y b时 如图 2 所以所以所以由上分析可知故选B 4 2013 郑州模拟 若圆与直线y 1相切 其圆心在y轴的左侧 则m 解析 圆的方程可化为由已知得得又圆心在y轴左侧 所以有m 0 所以答案 5 2013 南京模拟 直线2x y 0与圆C x 2 2 y 1 2 9交于A B两点 则 ABC C为圆心 的面积等于 解析 根据条件可知 圆的半径为3 圆心 2 1 到直线2x y 0的距离则直线被圆截得的弦长为 AB 所以 ABC的面积为答案 热点考向1直线的斜率 方程与位置关系 典例1 1 直线x a2 1 y 1 0的倾斜角的取值范围是 2 如果直线ax 2y 1 0与直线3x y 2 0垂直 那么实数a 3 2013 石家庄模拟 在过点 2 1 的所有直线中 距离原点最远的直线的方程是 解题探究 1 本题的直线的斜率是 斜率的取值范围是 2 两条斜率都存在的直线互相垂直 则它们的斜率k1 k2之间有什么关系 提示 k1k2 1 3 过点 2 1 且距离原点最远的直线具有什么特点 提示 与原点和点 2 1 两点连线垂直 1 0 解析 1 选B 由直线x a2 1 y 1 0得该直线的斜率k 又a2 1 1 所以k 1 0 由正切函数的图象和性质得倾斜角的取值范围为 2 直线ax 2y 1 0的斜率为直线3x y 2 0的斜率为3 因为两直线垂直 所以有所以答案 3 由已知得距离原点最远的直线与原点 点 2 1 两点连线所得直线垂直 而过原点 点 2 1 两点连线的直线的斜率为所以待求直线的斜率为 2 由点斜式得直线方程为y 1 2 x 2 即2x y 5 0 答案 2x y 5 0 方法总结 1 判定两直线平行 垂直的方法 1 对斜截式方程 l1 y k1x b1 l2 y k2x b2 两直线斜率存在 且不重合 则有l1 l2 k1 k2 l1 l2 k1 k2 1 若两直线的斜率都不存在 并且两直线不重合 则两直线平行 若两直线中 一条直线的斜率为0 另一条直线斜率不存在 则两直线垂直 2 对一般式方程 l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 则有l1 l2 A1B2 A2B1 0 且B1C2 B2C1 0 l1 l2 A1A2 B1B2 0 2 求直线方程的两种方法 1 直接法 选用恰当的直线方程的形式 由题设条件直接求出方程中系数 写出结果 2 待定系数法 即先由直线满足的一个条件设出直线方程 使方程中含有待定系数 再由题设条件构建方程 求出待定系数 变式训练 设直线l过点A 2 4 它被平行线 x y 1 0 x y 1 0所截线段的中点在直线x 2y 3 0上 试求直线l方程 解析 方法一 解方程组及得交点坐标设BC中点为M 则M 1 1 所以直线l的方程3x y 2 0 方法二 设l被平行线x y 1 0 x y 1 0所截线段中点为M M在直线x 2y 3 0上 则M点可设为 3 2k k 又M为所截线段中点 则M到两平行线距离相等 有解得k 1 则M 1 1 所以l方程为3x y 2 0 方法三 易知l的斜率存在 因为直线l过点A 2 4 设l方程为y 4 k x 2 解方程组得由题意 交点坐标到两直线距离相等 所以因此k 3 l的方程为3x y 2 0 方法四 由已知可知 直线l被平行直线截得的线段中点在直线y x上 由方程组解得交点坐标 1 1 所以可得l方程为3x y 2 0 热点考向2圆的方程及圆的性质的应用 典例2 1 2013 广州模拟 已知圆C经过直线2x y 2 0与坐标轴的两个交点 且经过抛物线y2 8x的焦点 则圆C的方程为 2 已知圆C关于y轴对称 经过点A 1 0 且被x轴分成两段弧长之比为1 2 求圆C的方程 解题探究 1 圆C的方程的求解思路 求出圆C经过的点分别为 和 如何根据经过的三个点确定圆C的圆心坐标和半径 提示 先求两条弦中垂线方程 再求交点即得圆心 而圆心到三点中任一点的距离即为半径 2 圆C关于y轴对称 说明圆C的圆心在 被x轴分成两段弧长之比为1 2 则弦所对圆心角的度数为 1 0 0 2 2 0 y轴上 120 解析 1 直线2x y 2 0与坐标轴的两个交点分别为 1 0 和 0 2 抛物线y2 8x的焦点为 2 0 又过 1 0 和 2 0 的弦的中垂线为而经过 2 0 和 0 2 的弦的中垂线为y x 由得圆C的圆心坐标为 所以半径故所求圆的方程为答案 或x2 y2 x y 2 0 2 因为圆C关于y轴对称 所以圆C的圆心C在y轴上 故可设C 0 b 圆C的半径为r 即圆的方程为x2 y b 2 r2 又圆C被x轴分成两段弧长之比为1 2 经过A 1 0 可得所以圆C的方程为 互动探究 若题 2 的条件变为 圆心在原点O 且圆周被直线3x 4y 15 0分成1 2两部分 则圆的方程如何 解析 设直线与圆相交于A B两点 因为圆周被直线3x 4y 15 0分成1 2两部分 所以 AOB 120 而圆心到直线3x 4y 15 0的距离在 AOB中 可求得OA 6 所以所求圆的方程为x2 y2 36 方法总结 1 求圆的方程的两种方法 1 直接法 利用圆的性质 直线与圆 圆与圆的位置关系 数形结合直接求出圆心坐标 半径 进而求出圆的方程 2 待定系数法 先设出圆的方程 再由条件构建系数满足的方程 组 求得各系数 进而求出圆的方程 2 圆的常用几何性质 1 圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上 2 圆上异于直径端点的点与直径的两端点连线垂直 3 过切点且垂直于该切线的直线必过圆心 变式备选 2013 江西高考 若圆C经过坐标原点和点 4 0 且与直线y 1相切 则圆C的方程是 解析 设圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 因为圆C经过点 0 0 和点 4 0 所以a 2 又圆与直线y 1相切 可得1 b r 故圆的方程为 x 2 2 y b 2 1 b 2 将 0 0 代入解得所以圆的方程为答案 热点考向3直线与圆的位置关系 典例3 1 2013 湖北高考 已知圆O x2 y2 5 直线l xcos ysin 设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k 则k 2 如图所示 已知以点A 1 2 为圆心的圆与直线l1 x 2y 7 0相切 过点B 2 0 的动直线l与圆A相交于M N两点 Q是MN的中点 直线l与l1相交于点P 求圆A的方程 当 MN 时 求直线l的方程 是否为定值 如果是 求出其定值 如果不是 请说明理由 解题探究 1 确定k的三个步骤 求圆心O到直线l的距离为 判断直线l与圆O的位置关系为 确定k的值为 2 以点A 1 2 为圆心的圆与直线l1 x 2y 7 0相切 则圆A的半径R 1 相交 4 直线l的斜率存在吗 是否需要分类讨论 提示 不一定存在 需分斜率不存在和存在两种情况讨论 有什么关系 判断是否为定值的关键是什么 提示 判断是否为定值的关键是将P点的坐标表示出来 解析 1 半径为圆心到直线l的距离 故数形结合得k 4 答案 4 2 设圆A的半径为R 因为圆A与直线l1 x 2y 7 0相切 所以所以圆A的方程为 x 1 2 y 2 2 20 当直线l与x轴垂直时 易知直线x 2符合题意 当直线l与x轴不垂直时 设直线l的方程为y k x 2 即kx y 2k 0 连接AQ 则AQ MN 因为 MN 所以 AQ 由 AQ 得所以直线l的方程为3x 4y 6 0 所以所求直线l的方程为x 2或3x 4y 6 0 因为AQ BP 所以所以 当直线l与x轴垂直时 得则所以当直线l的斜率存在时 设直线l的方程为y k x 2 由解得所以所以 5 综上所述 是定值 且 方法总结 1 直线和圆的位置关系的判断方法直线l Ax By C 0 A2 B2 0 与圆 x a 2 y b 2 r2 r 0 的位置关系如表 2 弦长与切线长的计算方法 1 弦长的计算 直线l与圆C相交于A B两点 则 AB 其中d为弦心距 2 切线长的计算 过点P向圆引切线PA 则 PA 其中C为圆心 3 圆上的点到直线的距离的求解策略 1 转化为两平行线间的距离以及直线与圆的交点个数求解 2 转化为圆心到直线的距离与半径之间的关系求解 3 直接设点 利用方程思想解决 变式训练 已知圆C x2 y2 2x 4y 3 0和直线l x y 1 0 则圆C上到直线l的距离为的点共有 A 1个B 2个C 3个D 4个 解析 选C 方法一 圆C的方程 x2 y2 2x 4y 3 0可化为 x 1 2 y 2 2 8 所以圆C的圆心坐标为 1 2 半径为设与直线l x y 1 0平行且距离为的直线方程为x y m 0 由知 m 1或m 3 当m 1时 圆心到直线x y 1 0的距离直线与圆相切 满足要求的点有1个 当m 3时 圆心到直线x y 3 0的距离直线与圆相交 满足要求的点有2个 故满足要求的点共有3个 方法二 圆C的方程 x2 y2 2x 4y 3 0可化为 x 1 2 y 2 2 8 所以圆C的圆心坐标为 1 2 半径为圆心C到直线l的距离故与直线l平行且距离为的两条直线l1 l2中 一条与圆C相交 一条与圆C相切 故圆C上到直线l的距离为的点共有3个 典例 已知圆C x 1 2 y2 8 1 设点Q x y 是圆C上一点 求x y的取值范围 2 在直线x y 7 0上找一点P m n 使得过该点所作圆C的切线段最短 解题探究 1 若令x y t 则该直线与圆C有什么关系 提示 该直线与圆相交或相切 2 要使切线段最短 则点P应具有什么特点 提示 点P为过圆心C向直线x y 7 0所作垂线的垂足 与圆有关的最值问题 解析 1 设x y t 因为Q x y 是圆上的任意一点 所以该直线与圆相交或相切 即解得 5 t 3 即x y的取值范围为 5 3 2 因为圆心 到直线x y 7 0的距离所以直线与圆相离 因为过点P作的切线长 圆心与切点的连线 点P与圆心的连线 组成一直角三角形且半径为一定值 所以只有当过圆心向直线x y 7 0作垂线 过其垂足作的切线段最短 其垂足即为所求 设过圆心作直线x y 7 0的垂线为x y c 0 又因为该线过圆心 1 0 所以 1 0 c 0 即c 1 而x y 7 0与x y 1 0的交点为 3 4 该点即为所求 方法总结 与圆有关的最值问题的求解策略与圆有关的最值问题求解时需根据待求值及式子的几何意义 充分利用几何图形的性质 数形结合求解 变式备选 2013 山东高考 过点 3 1 作圆 x 2 2 y 2 2 4的弦 其中最短的弦长为 解析 半径为r 2 圆心为 2 2 圆心到点 3 1 的距离所求最短弦长为答案 转化与化归思想 解决与直线 圆有关的最值问题 思想诠释 1 主要类型 1 圆外一点与圆上任一点间距离的最值 2 直线与圆相离 圆上的点到直线的距离的最值 3 过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值 4 直线与圆相离 过直线上一点作圆的切线 切线长的最小值问题 5 两圆相离 两圆上点的距离的最值 6 已知圆上的动点Q x y 求与点Q的坐标有关式子的最值 如求ax by 等的最值 转化为直线与圆的位置关系 2 解题思路 1 数形结合法 一般结合待求距离或式子的几何意义 数形结合转化为直线与直线及直线与圆的位置关系求解 2 函数法 引入变量构建函数 转化为函数的最值求解 3 注意事项 1 准确理解待求量的几何意义 准确转化为直线与直线及直线与圆的相应的位置关系 2 涉及切线长的最值时 要注意切线 圆心与切点的连线以及圆心与切线段另一端点的连线组成一直角三角形 典例 2013 武汉模拟 已知P是直线l 3x 4y 11 0上的动点 PA PB是圆x2 y2 2x 2y 1 0的两条切线 C是圆心 那么四边形PACB面积的最小值是 审题 分析信息 形成思路切入点 欲求四边形面积的最小值 需知其在什么条件下取得最小值 转化为求 PA 最小 而 PA 最小时 PC 最小 进而转化为CP垂直于直线l即可 关注点 根据PA PB是圆的两条切线 C是圆心 将待求最小值进行转化 解题 规范步骤 水到渠成选C 如图所示 圆的标准方程为 x 1 2 y 1 2 1 圆心为C 1 1 半径为r 1 根据对称性可知四边形PACB面积等于 故 PA 最小时 四边形PACB的面积最小 由于 故 PC 最小时 PA 最小 此时 直线CP垂直于直线l 3x 4y 11 0 故 PC 的最小值为圆心C到直线