第十九章--四边形

第十九章 四边形 一 内容分析一 内容分析 本章主要内容是认识平行四边形及几种特殊的四边形 通过图形的操作 和度量 让学生直观认识图形的特征与性质 并能根据图形的特征与性质解 决简单的推理和计算问题 重点 通过图形的变换认识图形的特征与性质 难点 根据图形的特征与性质解决简单的推理与计算问题 二 学习目标二 学习目标 1 掌握平行四边形 矩形 菱形 正方形 梯形的概念 了解它们之间 的关系 2 探索并掌握平行四边形 矩形 菱形 正方形 等腰梯形的有关性质 和常用判别方法 并能运用这些知识进行有关的证明和计算 3 探索并了解线段 矩形 平行四边形 三角形的重心的物理意义 4 通过经历特殊四边形性质的探索过程 丰富学生从事数学活动的经验 和体验 进一步培养学生的合情推理能力 结合特殊四边形性质和判定方法 以及相关问题的证明 进一步培养学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能 力 5 通过分析四边形与特殊四边形 以及平行四边形与各种特殊的平行四 边形概念之间的联系与区别 使学生认识到特殊与一般的关系 从而体会事 物之间总是相互联系而又有区别的 进一步培养学生的辨证唯物主义观点 三 课时及内容安排三 课时及内容安排 19 1 平行四边形 5 课时 19 2 特殊的平行四边形 6 课时 19 3 梯形 2 课时 19 4 课题学习 重心 1 课时 本章复习 2 课时 19 1 119 1 1 平行四边形的性质平行四边形的性质 一一 学习目标 1 复习与平行四边形有关的相关知识 2 理解并掌握平行四边形的概念 3 能对 平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等 平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等 这两个性质加以 证明 4 能用平行四边形边的性质解决实际问题 注意解题格式 重点 经历探索平行四边形的边和角的性质的过程 难点 用平行四边形的性质解决实际问题 解题格式的正确 学习方法 1 仔细阅读教材 92 93 页例 1 上面内容 通过动手操作真正发现平行四边 形的边和角之间有什么性质 并能结合所学的知识对你所发现的性质加以证 明 能写出完整的证明过程 2 自学教材 93 页例 1 和练习 掌握如何用平行四边形的性质解决实际问题 注意 思路要清楚 能完整地整理出解题过程 预习题目 1 如图 在平行四边形 ABCD 中 B 56 求其他各内角的度数 2 在平行四边形 ABCD 中 它的周长是 32cm AB BC 3 5 则 CD 的长和 AD 的长分别为 和 3 如图 在平行四边形 ABCD 中 DB BC C 70 AE BD 于点 E 则 DAE A B D C E C D A B 1 题图 3 题图 4 如图 在平行四边形 ABCD 中 CE 是 DCB 的平分线 F 是 AB 的中点 AB 6 BC 4 则 AE EF BC 为 5 已知平行四边形的两邻边之比为 2 3 周长为 20cm 则这个平行四边 形的两条邻边长分别为 6 平行四边形的周长为 30 两邻边的差为 5 则其较长边是 7 若平行四边形的一条角平分线把一边分成 4cm 和 5cm 的两条线段 则这 个平行四边形的周长是 8 如图 在平行四边形 ABCD 中 AB 6 BC 10 B 60 则这个平行四 边形的面积是 D C A D A E F B B C 4 题图 8 题图 9 如图 在平行四边形 ABCD 中 AE 平分 DAB BF 平分 ABC AD 6cm AB 9cm 求 DE DF 的长 A B D F E C 10 如图 在平行四边形 ABCD 中 AE BC 于点 E AF CD 于点 F 若 AE 4 AF 6 平行四边形 ABCD 的周长为 40 求此平行四边形的面积 A D F B E C 19 1 119 1 1 平行四边形的性质平行四边形的性质 二 二 学习目标学习目标 1 复习平行四边形的边和角的性质 2 能对 平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分 这一性质加以证明 3 能用平行四边形边的性质解决实际问题 注意解题格式 重点 经历探索 平行四边形的对角线互相平分 的性质的过程 难点 用平行四边形的性质解决实际问题 解题格式的正确 学习方法学习方法 1 仔细阅读教材 94 页例 2 上面的内容 动手操作去发现平行四边形的对角 线有什么性质 并能结合所学知识对你的发现加以证明 要求思路清楚 过 程完整 2 自学教材 94 页例 2 和书后练习 掌握如何用平行四边形的性质解决问题 注意 思路清楚 能整理出完整的解题过程 预习题目预习题目 1 如图 在平行四边形 ABCD 中 对角线 AC D C BD 交于点 O 若 AC 8 BD 6 则边长 AB 的取 O 值范围是 A 1 AB 7 B 2 AB 14 A B C 6 AB 8 D 3 AB 4 1 2 题图 2 如图 已知平行四边形 ABCD 的周长是 28cm AC 与 BD 交于点 O OAB 的周长比 OBC 的周长 大 4cm 则 AB BC 3 在平行四边形 ABCD 中 AC 10 BD 6 则边长 AB AD 的可能取值为 A AB 4 AD 4 B AB 4 AD 7 C AB 9 AD 2 D AB 6 AD 2 4 平行四边形一边长为 12cm 那么它的两条对角线的长度可能是 A 8cm 和 14cm B 10cm 和 14cm C 18cm 和 20cm D 10cm 和 34cm 5 在平行四边形 ABCD 中 已知 AC 2 5cm ABC 的周长为 6cm 求平行四 边形的周长 A B D C 6 已知 O 是 平行四边形 ABCD 的对角线交点 AC 10cm BD 18cm AD 12cm 你能求出 BOC 的周长吗 A B O D C 7 已知 平行四边形 ABCD 的对角线 AC BD 交于点 O AOB 的面积为 2 那么 平行四边形 ABCD 的面积是多少 8 如图 在 平行四边形 ABCD 中 对角线 AC BD 交于点 O EF 是过点 O 的一条直线 交 AB 于点 E 交 DC 于点 F 请写出图中的一对全等三角 形是 E A B O D F C 19 1 219 1 2 平行四边形的判定 一 平行四边形的判定 一 学习目标 1 理解并熟记平行四边形的判定方法 判定定理 1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形 判定定理 2 对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形 判定定理 3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形 2 能分别对上面三个判定定理进行证明 证明过程完整 步骤清楚 有条理 3 能用上面判定定理进行平行四边形的识别 注意证明过程要清楚完整 重点 判定定理的探索过程 难点 完整的给出三个判定定理的证明过程 学习方法 1 认真阅读教材 96 页 探究 小组研究 两组对边分别相等 两条对角线 互相平分 的四边形是不是平行四边形 说明理由 提示 可以结合全等三角形的相关知识来解决这个问题 2 用探索上面两个判定定理的方法试判断 两组对角分别相等的四边形是不 是平行四边形 3 自学 96 页例 3 学习如何应用平行四边形的判定定理识别平行四边形 预习题目 1 3 是自学辅助题目 4 5 是定理应用题目 1 已知在四边形 ABCD 中 AB CD AC BD 这个四边形是平行四边形吗 A B D C 2 已知在四边形 ABCD 中 对角线 AC BD 交于点 O 且 AC BD 互相平 分 试证明 四边形 ABCD 是平行四边形 A B O D C 3 已知在四边形 ABCD 中 A C B D 四边形 ABCD 是平行四边形 吗 A B D C 4 如图 AB CD 交于点 O AC BD AO BO E F 分别为 OC OD 的中点 连接 AF BE 求证 AF BE A C E O F D B 5 如图 四边形 ABCD 是平行四边形 DE 平分 ADC 交 CB 的延长线于点 E BF 平分 ABC 交 AD 的延长线于点 F 求证四边形 BFDE 是平行四边形 F D C 2 1 3 4 A B E 19 1 219 1 2 平行四边形的判定 二 平行四边形的判定 二 学习目标 1 理解并熟记平行四边形的判定定理 4 一组对边平行且相等的四边形是平 行四边形 2 能对平行四边形的判定定理 4 进行证明 要求思路清楚 过程完整 3 能综合应用平行四边形的性质和判定来解决问题 能分析思路 整理解 题过程 4 理解并掌握三角形的中位线定理 重点 探索平行四边形的判定定理 4 难点 平行四边形的性质和判定定理的综合应用 学习方法 1 结合上节方法 仔细阅读教材 97 页 探究 小组讨论给出平行四边形的 判定定理 4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 证明过程 2 用所学只是解释教材 98 页的 思考 中的道理 3 自学例 4 体会如何应用平行四边形的判定定理解决问题 掌握三角形的 中位线定理 4 完成教材 99 页练习 检查自己的预习情况 预习题目 1 如图 在平行四边形 ABCD 中 点 E F 分别在 BC AD 上 且 AF CE 求证四边形 AECF 是平行四边形 A F D B E C 2 如图 四边形 ABCD 是平行四边形 ABC 70 BE 平分 ABC 交 AD 于 点 E DF BE 交 BC 于 F 求 1 的大小 A E D 1 B F C 3 四边形 ABCD 中 AD 12 DO OB 5 AC 26 ADB 90 求 BC 的 长和四边形 ABCD 的面积 D C O A B 4 如图 四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形 求证四边形 ABCD 是平 行四边形 A D E F B C 5 如图 在平行四边形 ABCD 中 BAD 60 点 E F 分别在 CD AB 的 延长线上且 AE AD CF CB 求证四边形 AFCE 是平行四边形 A B F O E D C 19 2 119 2 1 特殊的平行四边形特殊的平行四边形 矩形 性质 学习目标 1 从矩形的两前提要素 平行四边形 有一个直角 来理解矩形的定义 能 举出生活中常见的矩形的实例 2 探索并掌握矩形的角的性质 边的性质 对角线的性质 能结合所学知识 给出证明 3 借助矩形对角线的性质探索 直角三角形斜直角三角形斜边边上的中上的中线线等于斜等于斜边边的一半的一半 并能给出证明 4 能应用矩形的概念和性质解决相关实际问题 重点 探索矩形的性质 难点 应用性质解决问题 学习方法 1 认真阅读教材 103 104 页内容 2 借助平行线的相关知识得出矩形的角的性质 3 借助全等三角形和等腰三角形的相关知识得出矩形边及对角线的性质 4 用矩形的对角线的性质证明 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 5 归纳出矩形的性质都有那些 6 自学例 1 和书后练习 体会如何应用矩形的性质解决实际问题 注意解题 步骤和格式 预习题目 1 以 2 厘米和 3 厘米为邻边画一个矩形 对角线的长度是 2 已知矩形的两条对角线的夹角是 60 其中较短边的长是 2 则较长边 的长为 3 一个矩形的对角线长 6cm 对角线与一边的夹角是 45 则矩形的长是 宽是 4 矩形的两条对角线把矩形分成 个等腰三角形 5 矩形的长和宽分别是 6 和 8 那么它的对角线的长为 面积为 6 在矩形 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于 O 且 BD 2AB 求 AOB 的 度数 A D O B C 7 如图 在矩形 ABCD 中 两条对角线 AC BD 相交于点 O AB OA 4 厘米 求 BD 与 AD 的长 A D O B C 8 如图 在矩形 ABCD 中 E 是 BC 的中点 BAE 30 AE 2 1 求 AC 的长 2 四边形 AECD 的面积是多少 A D B E C 9 如图 矩形 ABCD 的对角线交于点 O OF AD 于 F OF 2cm AE BD 于 E 且 BE BD 1 4 求 AC 的长 A F D O E B C 19 2 119 2 1 特殊的平行四边形特殊的平行四边形 矩形 判定 学习目标 1 掌握矩形的几种识别方法 1 定义 2 有一个角是直角的平行四边形是矩形 2 对角线相等的 平行四边形是矩形 4 有三个角是直角的四边形是矩形 2 能用矩形的定义或已证明的判定方法对矩形的其他判定方法加以证明 3 综合应用矩形的性质和判定来解决实际问题 重点 探索矩形的判定方法 难点 综合应用矩形的性质和判定解决实际问题 学习方法 1 认真阅读教材 105 页内容 探究矩形的几种判定方法 2 结合矩形的性质和判定解决 106 页练习题 体会如何应用矩形的性质或判 定解决实际问题 预习题目 1 如图 四边形 ABCD 是平行四边形 AC BD 交于点 O 1 2 它是 矩形吗 说明理由 A D O 1 2 B C 2 如图 在 Rt ABC 中 C 90 E F G 分别为 AC BC AB 上的点 且 EG CB FG CA 求证 四边形 EGFC 是矩形 3 如图 ABC 中 AB AC AD AE 分别是 A 与 A 的外角的平分线 CE AE 求证 AC DE G FE C BA 4 如图 平行四边形 ABCD 的四个内角平分线相 交于点 E F G H 试说明 EG FH 5 如图 MN 分别是平行四边形 ABCD 的对边 AD BC 的中点 且 AD 2AB 求证 四边形 MPNQ 是矩形 6 如图 已知 ABC 是等腰三角形 AB AC D 是 BC 边上的任一点 且 DE AB DF AC CH AB 垂足分别为 E F H 求证 DE DF CH 7 如图 点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一个动点 矩形的两条边长 AB BC 分别为 8 和 15 求点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和 E D C BA QP N M D CB A H D F E CB A 19 2 219 2 2 特殊的平行四边形特殊的平行四边形 菱菱 形形 性质 学习目标 1 理解并掌握菱形的概念 知道平行四边形是一种特殊的平行四边形 2 能举出生活中菱形的常见实例 3 知道菱形是轴对称图形 能找到菱形的所有对称轴 4 通过动手操作 发现并掌握菱形的性质 菱形的四条边都相等 菱形的两 条对角线互相垂直 并且每一条对角线平分一组对角 5 理解并掌握 菱形的面积等于菱形两对角线乘积的一半 并能给出证明 重点 探索菱形的性质 难点 菱形的面积等于两对角线乘积的一半 学习方法 1 认真阅读教材 106 107 页内容 结合 探究 中的操作探索并证明菱形 的性质 2 自学教材 108 页例 2 通过实例理解并掌握 菱形的面积等于两条对角线 的乘积的一半 3 组内解决 108 页练习 体验菱形的性质的实际运用 预习题目 1 已知菱形的周长是 20cm 有一个内角是 60 则较短的对角线长为 2 已知菱形的对角线分别为 6 和 8 则菱形的周长为 面积为 3 已知菱形的两条对角线长都是 8 则菱形的变成为 4 若菱形的周长为 40cm 一条对角线的长为 16cm 那么另一条对角线的长 为 这这个菱形的面积为 5 已知菱形的两内角的度数之比为 1 2 边长为 3cm 则菱形的面积为 6 已知菱形的边长等于 2cm 菱形的一条对角线长也是 2cm 则另一条对角 线长是 7 已知菱形的边长为 2 且有一个内角是 60 则次菱形的面积为 8 如图 四边形 ABCD 是菱形 ACD 30 BD 6cm 求 1 BAD ABC 的度数 2 边 AB 及对角线 AC 的长 精确到 0 01cm D D CB A A C C B 9 菱形的周长为 48cm 一条对角线长是 12cm 求菱形相邻的内角度数 10 如图 在菱形 ABCD 中 AE BC BE EC AE 2 求 BD 的长 A D B E C 11 如图 在菱形 ABCD 中 E F 分别是 AB AC 的中点 如果 EF 2 那 么 ABCD 的周长是多少 A E B F D C 12 如图 已知菱形 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于点 O OE AB 交 BC 于点 E AD 6cm 求 OE 的长 A B O D C 19 2 219 2 2 特殊的平行四边形特殊的平行四边形 菱 形 判定 学习目标 1 理解并掌握菱形的几种判定方法 是菱形 是菱形 是菱形 2 能对菱形的判定方法加以证明 3 能综合应用菱形的性质和判定解决实际问题 解题格式 重点 探索并证明菱形的判定定理 难点 综合运用性质和判定解决问题 学习方法 1 认真阅读教材 109 110 页内容 结合 探究 证明 对角线互相垂直的 平行四边形是菱形 2 尝试说出教材中 109 页下面画菱形的常用方法的数学道理 证明四条边相 等的四边形是菱形 3 自学教材中例 3 和 110 页练习 体会如何用菱形的性质和判定定理解决问 题 注意解题格式 预习题目 1 如图所示 将两条等宽的纸条重叠在一起 则四边形 ABCD 是 若 AB 8 ABC 60 则 AC BD 0 2 ABCD的对角线AC BD相交于点O 下列条件中 不能判定ABCD是菱 形的是 A AB AD B AC BD C A D D CA平分 BCD 3 过四边形 ABCD 的各顶点作对角线 BD AC 的平行 线围成四边形 EFGH 若四边形 EFGH 是菱形 则原四边形 ABCD 一定是 A 菱形B 平行四边形 C 矩形D 对角线相等的四边形 4 已知 如图中 AD 是的角平分线 DE AC DF AB ABC BAC 证明 四边形 AEDF 是菱形 对于这道 小林是这样证明明的 证明 因为 AD 平分 所以 1 2 BAC 因为 DE AC 所以 2 3 因为 DF AB 所以 1 4 又 AD AD 所以 AED AFD 所以 AE AF DE DF 所以四边形 AEDF 是菱形 老师说小林的解题过程有错误 你能看出来吗 请你帮小林指出他的错误是什么 先在解答过程中划出来 再说明他错误的原因 请你帮小林做出正确的解答 5 如图 已知 AD 是 Rt ABC 斜边 BC 上的高 B 的平分线交 AD 于 M 交 AC 于 E DAC 的平分线交 CD 于 N 证明 四边形 AMNE 是菱形 6 如图 矩形 ABCD 中 O 是 AC 与 BD 的交点 过 O 点的直线 EF 与 AB CD 的延 长线分别交于 E F 1 证明 BOE DOF 2 当 EF 与 AC 满足什么条件时 四边形 AECF 是菱形 为什么 F E O D C B A 19 2 319 2 3 特殊的平行四边形特殊的平行四边形 正方形 学习目标 1 知道正方形是特殊的矩形和特殊的菱形 2 结合矩形和菱形的性质掌握正方形的性质 3 结合矩形和菱形的判定方法掌握如何判定正方形 4 掌握平行四边形 矩形 菱形 正方形的关系 5 综合应用正方形的性质和判定解决实际问题 重点 综合探索正方形的性质和判定方法 难点 应用知识解决问题 学习方法 1 阅读教材 110 111 内容 结合已有经验总结出正方形的性质和判定 方法 并能给出证明 2 自学教材 111 页例 4 学习如何用正方形的性质和判定定理解决问题 3 完成教材 112 页练习题 学习目标 1 边长为 a 的正方形的对角线的长为 2 对角线的长为 l 的正方形的面积是 3 正方形的面积为 12cm2 则对角线的长为 4 如图 在正方形 ABCD 中 CE MN MCE 35 那么 ANM A N D A D E F E G B M C B C 4 题图 5 题图 5 如图 正方形 ABCD 的对角线长 E 为 AB 上一点 若 EF AC 于28 F EG BD 于 G 则 EF EG 6 如图 已知四边形 ABCD 为正方形 BEC 为等边三角形 求 EAD 的 度数 A D E B C 7 已知正方形 ABCD 中 E 是 BC 上一点 DE 2 CE 1 求正方形 ABCD 的 面积 A B E D C 8 如图 已知 A B C D 分别是正方形 ABCD 四条边上的点 并且 AA BB CC DD 求证 四边形 A B C D 是正方形 A D D A C B B C 19 3 梯形 学习目标 1 结合实物理解并掌握梯形 等腰梯形和直角梯形的概念 找到关键字 2 理解并掌握等腰梯形的两个性质 等腰梯形 相等 等腰梯形 相等 3 能够用所学知识证明等腰三角形的两个性质 4 掌握等腰梯形常用的两种判定方法 是等腰梯形 定义 是等腰梯形 5 掌握梯形面积公式 上底 下底 高 2 6 应用等腰梯形的性质和判定定理解决实际问题 重点 等腰梯形的性质 难点 等腰梯形性质的应用 学习方法 1 认真阅读教材 117 118 页