2008考研数学四试题详细解析

com网聚精英 服务精英 成就精英 打造中国教育培训的沃尔玛 打造中国教育培训的沃尔玛 咨询热线 咨询热线 010 51660910010 51660910 1 20082008 年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析 一 选择题 一 选择题 1 8 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 32 分 下列每小题给出的四个选项中 只分 下列每小题给出的四个选项中 只 有一项符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内有一项符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内 1 设 则 0ab 1 0 lim nn n n ab Aa B 1 a Cb D 1 b 解 B 1 1 00 limlim1 n n nnn n n nn b aba a 1 1 0 1 lim1 n n n a a ba 2 设函数在区间上连续 则是函数的 f x 1 1 0 x 0 x f t dt g x x 跳跃间断点 可去间断点 无穷 振荡 A B C D 解 B 所以是函数的可去间断点 0 000 lim limlim0 x xxx f t dt g xf xf x 0 x g x 3 设是连续奇函数 是连续偶函数 区域 f x g x 则正确的 01 Dx yxxyx A 0 D f y g x dxdy B 0 D f x g y dxdy C 0 D f xg y dxdy D 0 D f yg x dxdy 解 A 中为奇函数 为偶函数 所以 A fy g x 0 D f y g x dxdy 4 曲线方程为函数在区间上有连续导数 则定积分 yf x 0 a 0 a xfx dx 曲边梯形面积 梯形面积 AABCD BABCD 曲边三角形面积 三角形面积 CACD DACD 解 答案 C 解 000 aaa xfx dxxdf xaf af x dx com网聚精英 服务精英 成就精英 打造中国教育培训的沃尔玛 打造中国教育培训的沃尔玛 咨询热线 咨询热线 010 51660910010 51660910 2 其中是矩形面积 为曲边梯形的面积 af a 0 a f x dx 所以为曲边三角形的面积 0 a xfx dx 5 设为阶非零矩阵 为阶单位矩阵 若 则 AnEn 3 0A 不可逆 不可逆 不可逆 可 AEA EA BEA EA 逆 可逆 可逆 可逆 不可 CEA EA DEA EA 逆 解 分析 C 23 EA EAAEAE 23 EA EAAEAE 故均可逆 EA EA 6 设 则在实数域上与合同的矩阵为 12 21 A A A 21 12 B 21 12 C 21 12 D 12 21 解 选 D 2 2 12 1423130 21 EA 则 记 则 12 1 3 12 21 D 2 2 12 1423130 21 ED 则 正 负惯性指数相同 故选 12 1 3 D 7 随机变量独立同分布且的分布函数为 则的分 X YX F x max ZX Y 布函数为 A 2 Fx B F x F y C 2 11F x D 11F xF y com网聚精英 服务精英 成就精英 打造中国教育培训的沃尔玛 打造中国教育培训的沃尔玛 咨询热线 咨询热线 010 51660910010 51660910 3 解 A max F ZP ZzPX Y 2 P Xz P YzF z F zFz 8 随机变量 且相关系数 则 0 1XN 1 4YN 1 XY A 211P YX B 211P YX C 211P YX D 211P YX 解 选 D 用排除法 设 由 知道正相关 得 排除 A C YaXb 1 XY X Y0a 由 得 0 1 1 4 xNYN0 1EXEY E YE aXbaEXb 排除 C 10 1abb 故选择 D 二 填空题 二 填空题 9 14 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 24 分 请将答案写在答题纸指定位置上分 请将答案写在答题纸指定位置上 9 设函数在内连续 则 2 1 2 xxc f x xc x c 解 1 由 2 2 limlim11 xcxc f xf xcc c 10 已知函数连续且 则曲线上对应处切线方 f x 0 lim2 x f x x yf x 0 x 程为 解 2yx 由且连续 则 所以切 0 lim2 x f x x f x 00f 0 0 0lim2 x f xf f x 线方程为 2yx 11 21 10 3ln y dxxxdy 解 1 2 com网聚精英 服务精英 成就精英 打造中国教育培训的沃尔玛 打造中国教育培训的沃尔玛 咨询热线 咨询热线 010 51660910010 51660910 4 212121 101010 lnln yyy dxxxdyxdxx dydxdx 2 2 2 2 1 1 1 1 1 22 x xdxx 12 微分方程通解是 2 0 x yx edxxdy y 解 x yxeCx x y yxe x 1 P x x Qxe 11 dxdx x xx yexe edxC xx xe dxCxeCx 13 设 3 阶矩阵的特征值互不相同 若行列式 则的秩为 A0A A 解 2 分析 设的特征值为 则存在可逆矩阵 使得A 123 123 P 故 由 1 1 2 3 P APB 1 1 2 3 APP 0A 11 1 22123 33 0APP 又互不相同 则中有且只有一个为零 故 123 123 2r Ar B 14 设随机变量服从参数为 1 的泊松分布 则 X 2 P XEX 解 1 1 2 e 因为 所以 X 服从参数为 1 的泊松分布 22 DXEXEX 2 2EX 所以 1 1 2 2 P Xe 三 解答题 三 解答题 15 23 小题 共小题 共 94 分分 请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上 解答应写出文解答应写出文 字说明 证明过程或演算步骤字说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 10 分 求极限 2 0 1sin limln x x xx com网聚精英 服务精英 成就精英 打造中国教育培训的沃尔玛 打造中国教育培训的沃尔玛 咨询热线 咨询热线 010 51660910010 51660910 5 解 22 00 1sin1sin limlnlimln 11 xx xx xxxx 32 000 sincos1sin1 limlimlim 366 xxx xxxx xxx 16 本题满分 10 分 设 求的极值 单调区间和凹凸区间 1 0 f xt tx dt 01x f x 解 11 22 00 xx xx f xt xt dtt tx dttxtdtttx dt 23323333 1 1 02332233232 x ttttxxxxx xx x 33 1 6326 xxx 3 1 323 xx 令 得 2 1 2 fxx 0fx 221 263 f 2 2 x 得 0fx 22 22 xx 或 得 0fx 22 22 x 因此 的单调增区间是 单调减区间是 f x 22 22 22 22 由 可知为凸区间 为凹区间 2fxx 0 0 由知为极大值 22 0 0 22 ff 221 263 f 由知为极小值 22 0 0 22 ff 221 263 f 17 本题满分 10 分 求函数在在约束条件和下的最大和最小值 222 uxyz 22 zxy 4xyz 解 设 22222 12 4 F x y zxyzxyzxyz com网聚精英 服务精英 成就精英 打造中国教育培训的沃尔玛 打造中国教育培训的沃尔玛 咨询热线 咨询热线 010 51660910010 51660910 6 得方程组即 22 0 0 0 0 40 x y z F x y z F x y z F x y z xyz xyz 12 12 12 22 220 220 20 0 40 xx yy z xyz xyz 解得 或 2 2 8 x y z 1 1 2 x y z 得 222 max 2 2 872U 222 min 1126U 18 本题满分 10 分 设是由方程所确定的函数 其中具有 2 阶导 zz x y 22 xyzxyz 数且时 1 求 1 dz 2 记 求 1 zz u x y xyxy u x 解 1 22xdxydydzxyzdxdydz 122dzx dxy dy 22 1 x dxy dy dz 1 2 1 122 11 1222 11 zz u x y xyxy xy xy yx xy com网聚精英 服务精英 成就精英 打造中国教育培训的沃尔玛 打造中国教育培训的沃尔玛 咨询热线 咨询热线 010 51660910010 51660910 7 2233 2 2 1 2 1 2 12 2 12 1 1111 x z uxx x x 19 本题满分 10 分 是周期为 2 的连续函数 f x 1 证明对任意实数都有 22 0 t t f x dxf x dx 2 证明是周期为 2 的周期函数 2 0 2 xt t g xf tf s ds dt 解 1 对于 令 则 2t t f x dx 2xu 2 0 2 tt t f x dxfu du 因为的周期为 2 所以 f x 2 20 tt f x dxf x dx 所以 20222 020 tt tt f x dxf x dxf x dxf x dxf x dx 2 22 0 22 xt t g xf tf s ds dt 222 0 22 xtxt txt f tf s ds dtf tf s ds dt 22 2 xt xt g xf tf s ds dt 222 2 xxt xxt g xf t dtf s dsdt 因为 22 0 t t f x dxf x dx 所以 2222 0 xtx xtx f s dsdtf s dsdt 2 22 00 2 x x tf s dsf s ds 22 0 22 x x f x dxf x dx 所以 22 00 222g xg xf t dtf s dsg x 所以是周期为 2 的周期函数 g x 20 本题满分 11 分 com网聚精英 服务精英 成就精英 打造中国教育培训的沃尔玛 打造中国教育培训的沃尔玛 咨询热线 咨询热线 010 51660910010 51660910 8 设矩阵 现矩阵满足方程 其中 2 2 21 2 1 2 n n a aa A aa AAXB 1 T n Xxx 1 0 0B 1 求证 1 n Ana 2 为何值 方程组有唯一解a 3 为何值 方程组有无穷多解a 解 2 2 2 2 2 21 21 3 2101 2 2 2 1 1 2 2 a a a aa aa aa A aa aa 21 3 01 2 4 034 1 2 1 3 23 1 1 0 n a a a aana ana n na n 方程组有唯一解 由 知 又 故 AxB 0A 1 n Ana 0a 记 由克莱姆法则知 n n AA com网聚精英 服务精英 成就精英 打造中国教育培训的沃尔玛 打造中国教育培训的沃尔玛 咨询热线 咨询热线 010 51660910010 51660910 9 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 22 22 22 1 21 11 21 021 2 2 1 1 2 2 2121 2121 22 11 22 1 1 nn nn n n n n a aa a aa aa aaA Aaa x aaAA aaaa aaaa aaaa nan nana 方程组有无穷多解 由 有 则 故0A 0a 011 010 0 01 0 0 A B 1r A Br An 的同解方程组为 则基础解系为 为任意常数 0Ax 2 3 0 0 0 n x x x 1 0 0 0 T k k 又 故可取特解为 0101 0110 000 01 000 0 1 0 0 所以的通解为为任意常数 AxB 10 01 00 00 kk 21 本题满分 11 分 com网聚精英 服务精英 成就精英 打造中国教育培训的沃尔玛 打造中国教育培训的沃尔玛 咨询热线 咨询热线 010 51660910010 51660910 10 设为 3 阶矩阵 为的分别属于特征值特征向量 向量满足A 12 A1 1 3 323 A 证明 1 线性无关 123 2 令 求 123 P 1 P AP 解 1 假设线性相关 则可由线性表出 不妨设 123 3 12 其中不全为零 若同时为 0 则为 0 由可知 31122 ll 12 l l 12 l l 3 323 A 2 0 11 A 22 A 32321122 All 又 311221122 AA llll 整理得 112221122 llll 112 20l 则线性相关 矛盾 因为分别属于不同特征值得特征向量 故线 12 12 12 性无关 故 线性无关 123 2 记则可逆 123 P P 123123 AAAA 1223 123 100 011 001 即 100 011 001 APP 1 100 011 001 P AP 22 本题满分 9 分 设随机变量与相互独立 概率分布为 概率密XYX 1 1 0 1 3 P Xii Y 度为 记 101 0 Y y fy 其它 ZXY com网聚精英 服务精英 成就精英 打造中国教育培训的沃尔玛 打造中国教育培训的沃尔玛 咨询热线 咨询热线 010 51660910010 51660910 11 1 求 1 0 2 P ZX 2 求的概率密度Z 解