金融经济学(王江)习题解答

金融经济学习题解答王江（初稿，待修改。未经作者许可请勿传阅、拷贝、转载和篡改。)2006 年 8 月第 2 章基本框架2.1 U(c) 和 V (c) 是两个效用函数，c 2 Rn+，且 V (x) = f(U(x)，其中 f() 是一正单调函数。证明这两个效用函数表示了相同的偏好。解. 假设 U(c) 表示的偏好关系为 ，那么 8 c1; c2 2 RN+ 有U(c1) U(c2) , c1 c2而 f() 是正单调函数，因而V (c1) = f(U(c1) f(U(c2) = V (c2) , U(c1) U(c2)因此 V (c1) V (c2) , c1 c2，即 V (c) 表示的偏好也是 。2.2* 在 1 期，经济有两个可能状态 a 和 b，它们的发生概率相等：a b考虑定义在消费计划 c = c0; c1a; c1b 上的效用函数：U(c) = log c0+ 1(log c1a + log c1b)2 U(c)=1c01 + 211c11a +1c11b111U(c)=eac0 21 eac0 + eac0 证明它们满足：不满足性、连续性和凸性。解. 在这里只证明第一个效用函数，可以类似地证明第二、第三个效用函数的性质。(a) 先证明不满足性。假设 c c0，那么有 c0 c00; c1a c01a; c1b c01b而 log() 是单调增函数，因此有log(c0) log(c00); log(c1a) log(c01a); log(c1b) log(c01b)因而 U(c) U(c0)，即 c c0。2第 2 章 基本框架(b) 现在证明连续性。令 fc(n)g11 为 R3 中一个序列，且 limn!1 c(n) = c。对于8 0; 9 ，当 j c0i ci j 时我们有 j log(c0i) log(ci) j 3 ; i = 0; 1a; 1b；对于 ，9 N 使得当 n N 时，k c(n) c k= q (c0 c0(n)2 + (c1a c1(na)2 + (c1b c1(nb)2因而 j U(c(n) U(c) j U(C0)，那么log(c ) +1log(c1a) +1log(c1b) log(c0) +1log(c0) +1log(c0)022021a21b对于 8 2 (0; 1)，U(C0 + (1 )C)11000= log(c0+ (1 )c0) +log(c1a+ (1 )c1a) +log(c1b + (1 )c1b)220101011 (log(c0) +log(c1a) +log(c1b) + (1 )(log(c0) +log(c1a) +log(c1b)2222= U(C0) + (1 )U(C) U(C0)故凸性成立。2.3 U(c) = c 12 a c2 是一可能的效用函数，其中 c 2 R+，a 是非负的系数。U(c) 具有不满足性吗？如果不，那么 a 取什么值和/或 c 在什么范围内时 U(c) 具有不满足性？解. 不一定。比如当 a = 1 时，U(12 ) = 38 U(3) = 1:5。U(c) 不具有不满足性。当 a = 0 时，U(c) = c 具有不满足性；当 a 0 时，当 c 2 0; a1 时 U(c) 具有不满足性。2.4 考虑一个经济，它在 1 期有三个可能状态：a，b 和 c：ab c证券市场包括证券 1 和 2，它们具有如下的支付向量：X1 = 1; 1; 1 以及 X2 = 1; 2; 3。它们的价格分别为 S1 和 S2。(a) 描述这个经济的支付空间。(b) 写出这个经济的市场结构矩阵 X。(c) 考虑含有 1 单位的证券 1 和 2 单位的证券 2 的组合。写出这个组合的支付向量。这个组合的价格是多少？c王江金融经济学3(d) 假设这个市场中总共有 K 个参与者。每个参与者的禀赋是 1 单位的证券 1 和 2 单位的证券 2。这时的市场组合是什么？市场组合的支付向量是什么？市场组合的总价值是多少？(e) 写出市场化支付的集合。(f) 如果市场不允许卖空。市场化支付的集合是什么？(g) 现在引入新的证券 3，它的支付向量为 X3 = 0; 0; 1。写出新的市场结构矩阵。在这个市场结构下，市场化支付集合是什么？解.(a) 这个经济的支付空间是 R3；411513= X1; X2；(b) 市场结构矩阵为 X =2123(c) 组合的支付向量为 1X1 + 2X2 = 1 + 2; 1+ 22; 1 + 32，组合的价格是1S1 + 2S2；(d) 市场组合是 K 单位的证券 1 和 2K 单位的证券 2，组合的支付向量为3K; 5K; 7K，组合的总价值是 KS1 + 2KS2；(e) 市场化的支付集合是 M = fY 2 R2: Y = 1X1 + 2X2; 1; 2 2 Rg；(f) 这时的市场化支付集合是 M+ = fY2 R2 : Y = 1X1 + 2X2; 1; 2 2 R+g；合为341105。131(g) 新的市场结构矩阵为 X =21203= X1; X2; X3，此时的市场化支付集M = fY 2 R : Y = 1X1 + 2X2 + 3X3; 1; 2; 3 2 Rg2.5 在练习 2.4 中定义的只存在证券 1 和 2 的经济中。考虑一个禀赋为 1 单位的证券 1 和 2 单位的证券 2 的参与者。写出他的预算集。解. 参与者的预算集是 fC 2 R3+ : C = 1X1 + 2X2; 其中 1S1 + 2S2 1S1 + 2S2g。2.6 在上面的练习中引入练习 2.4 中定义的证券 3，它的价格为 S3。这时，参与者的预算集是什么（他在证券 3 上的禀赋为 0）？证明由证券 1、2、3 构成的预算集包含仅由证券 1、2 构成的预算集。解. 此时参与者的预算集就变成了 fC 2 R3+ : C = 1X1 +2X2 +3X3; 其中 1S1 +2S2 + 3S3 1S1 + 2S2 + 3S3g。2.7* 考虑一个在 1 期只有一个可能状态的经济。（在这种情况下不存在不确定性。）参与者 1 的 0 期禀赋为 100 而 1 期禀赋为 1，即他的禀赋向量为 100; 1。他的偏好可金融经济学c王江4第 2 章 基本框架以表示成如下形式：U(c0; c1) = log c0 + log c1:系数 为反映参与者在当前消费和未来消费之间相对偏好的参数。有一只证券，它的 0 期价格为 1、1 期支付为 1 + rF 。这里，rF 是利率。(a) 如果这个参与者不能在市场上进行交易，那么他的消费计划以及相应的效用 Ua 是什么？(b) 现在假设他可以在市场上进行交易。 他的预算集是什么？以当前消费为单位，他的总财富 w 是多少？ 写出参与者的优化问题。令 c0 为参与者的当前（即 0 期）最优消费、s 为最优储蓄以及 Ub 为在最优策略下得到的效用。求解他的最优消费/储蓄选择以及相应的效用。把 Ub 表示成财富 w、利率 rF 和偏好系数 的函数。 讨论参与者的最优选择如何依赖于利率 rF 和偏好系数 。给出解释。(c) 证明 Ub Ua。(d) 令 g 为参与者由于能够在证券市场上交易而获得的益处。它的定义为Ub(w g) = Ua:计算 g。讨论 g 如何依赖于 ？g 如何依赖于 rF ？给出解释。解.(a) 如果不能交易，那么参与者只能消费自己的初始禀赋，即 c0 = 100; c1 = 1; Ua = log(100) + log(1) = log(100)(b) 参与者的预算集是 fC 2 R2+ : c0 = 100 S; c1 = 1 + S(1 + rF ); S 2 Rg，如果以当前消费为单位，他的总财富是 w = 100 + 1+1rF 。参与者的优化问题就是max log(100