工科数学分析-1(2)映射与函数

1,映射,一元函数的概念,复合函数 反函数,第二节 映射与函数,(mapping ),( function ),第一章 函数,多元函数的概念,小结 思考题 作业,2,一、映射,1. 映射概念,(mapping),定义,设 X、Y 是两个非空集合,如果存在,一个法则f ,使得对,通过f ,在Y中有唯一,确定的元素 y 与之对应,则称f 为,从 X 到 Y 的映,(或算子),记作,并称y为x(在映射f下)的,像,并记作,即,x称为y的,原像.,射,定义域,即,记,3,X中所有元素的像所组成的集合,记作,或f 的,即,称为,在中学数学中所接触的函数实际是:,实数集(或其子集),到实数集的映射.,例如,映射f :,正弦函数,值域,像集,4,对,元素 x 的像y是唯一的;,而对,元素 y 的原像不一定是唯一的;,映射 f 的值域,是Y 的一个子集,不一定,(2),(1),集合X, 即定义域,集合Y, 即值域的范围:,对应法则f ,使对,有唯一确定的,与之对应.,三个要素:,构成一个映射必须具备以下,5,设映射,值域,即Y 中任一元素y 都是X中某,元素的像,则称f 是,满射.,若,必有,则称f 是,单射.,若映射f,则称f 是,一 一 映射,(或双射).,2. 几类重要映射,又是单射,既是满射,6,例,设,对应关系:,既非满射,又非单射;,满射,非单射;,单射,非满射;,满射,单射,即为一一映射.,对定义域内的任一x ,7,例 设A是一个非空集合,则I是从A到A的映射,称,为集合A上的恒等映射.,例 设N表示全体正整数集合,映射,意味着用正整数编号的一串实数:,记为,称为实数列(数列),8,2. 逆映射与复合映射,设有单射,则由定义,有唯一的,适合,于是,可定义一,个从,的新映射g,即,规定,这 x 满足,这个映射g称为,f 的逆映射,记作,其定义域,值域,9,设有两个映射,其中,2. 逆映射与复合映射,显然,由,它将,映成,这个对应法则是从 X到Z 的一个映射,此映射称为由g和f 构成的,复合映射,记作,即,对应法则,可确定出从 X到Z 的一个,10,例,设有映射,和映射,则映射g和f 构成的复合映射,有,11,1.常量(constant quantity)与变量(variable),二、一元函数的概念(function),而是相对“过程”而言的.,常量;,变量.,在某过程中数值保持不变的量称为,而在过程中数值变化的量称为,一个量是常量还是变量,不是绝对的,常量与变量的表示方法:,在高等数学中,通常用字母 a, b, c等表示常量,用字母 x, y, t 等表示变量.,12,初等数学,就其总体来说是,进入变量的数学 微积分.,“常量的数学”,从现在开始,13,定义,设数集,则称映射,为定义在D上的函数,通常简记为,自变量,因变量,定义域(domain),定义中,按对应法则f ,总有唯一,确定的值y与之对应,这个值称为函数f 在x处的,函数值,记作,函数关系,函数值,全体组成的集合称为,range,记作,即,函数f 的值域,2. 函数概念,14,含义的区别.,自变量x和因变量y之间的对应法则;,与自变量x对应的函数值;,定义在D上的函数,应理解为由它所确定的函数f.,(1),(2),函数的记号:,除常用的f 外,可任意选取,如,相应地,函数可记作:,等,等,也可记作:,在同一个问题中,讨论到几个不同的函数时.,15,(3),对应的函数值y总是唯一的,否则称为,如,是多值函数,它的两个单值支是:,单值函数,多值函数.,约定:,今后无特别说明时,函数是指单值函数.,这种函数称为,(4),构成函数的,与对应法则f .,定义域,两个要素:,16,提问：下列函数是否相同？,17,函数的表示法只与定义域和对应法则有关,即,简称函数表示法的,表达式求解,(5),而与用什么字母无关,的有效方法.,无关特性,例,18,几个今后常引用的函数,绝对值函数,例,定义域,值域,19,符号函数,定义域,值域,对,例,有,或,20,例,狄利克雷(Dirichlet)函数,(x为有理函数),(x为无理函数),定义域,值域,有理数点,无理数点,21,例 Riemann函数,22,三.复合函数与反函数,1. 复合函数 (compound function ),定义,设函数,的定义域是,函数,有定义,且,则由下式,确定的函数,称为由函数,构成的,复合函数.,记作,即,它的定义域为,23,(1) 并非任何两个函数都能复合成为复合函数;,(2) 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,因为 的值域,不能构成复合函数.,不能包含于,的定义域,之中.,(3) 反过来,一个复杂的函数根据需要也可以,分解为若干简单函数的复合.,要求：会复合也会分解,24,复合函数的分解(复合函数拆成几个简单函数),由函数的最外层运算一层层剥到最,里边,切不可漏层.,如,都是中间变量.,复合函数的定义域是,即,而不是,的定义域,剥皮法,25,例,解,故定义域为,的值要落在外边函数的定义域内.,注意保证套在里边的函数,26,将两个或两个以上函数进行复合是本节的难点,根据函数的特点分别讲几种复合的方法.,(1) 代入法,将一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代,这种构成复合函数的方法,法,称为代入,该法适用于初等函数的复合.,例,设,求,解,27,由以上两式可推测:,由数学归纳法可证明上式成立.,28,(2) 分析法,及中间变量的定义域进行,抓住最外层函数定义域的各区间段,结合,该法适用于初等函数与分段函数或分段函,数之间的复合.,中间变量的表达式,分析.,例,29,例,解,30,综上所述,31,设函数f :,单射,则它存在逆映射,称此映射,为函数f 的,反函数.,习惯上,的反函数记成,定义,2. 反函数(inverse function),如,单射,反函数,直接函数,通常将,写作,一般地,32,直接函数与反函数的图形,直线,对称.,关于,33,如,其反函数为,指数函数,定义域为,值域为,写成,并不是所有函数都存在反函数.,如,函数,定义域为,值域为,但对,都有两个,和,与之对应,x不是y 的函数,不存在反函数.,并称为对数函数.,34,(减),而且反函数也是单调递增(减).,在什么条件下,?,一个函数存在反函数,反函数存在定理,若直接函数,在D上单调递增,求反函数的步骤,(1),(2),即得所求函数的反函数,则函数f :,单射,则它必存在反函数,35,练习,选择题,(1) 函数 的反函数是( ).,D,(2) 函数,(A) 完全不同的; (B) 部分相同,部分不同;,(C) 完全相同的; (D) 可能相同,也可能不同.,C,与它的反函数,在同一坐标系中的图象是( ).,36,重点掌握函数的定义域, 定义域一般有两种:,(1),自变量所能取的使算式有意义的一切,由问题的实际意义所确定.,(2),实际问题(几何或物理问题);,在纯数学的研究中 (函数由一个公式,实数组成的集合,这种定义域称为,自然(理论)定义域.,表示的).,规定:分母不为0;负数不能开偶次方;0和负数没有对数;正弦,余弦的绝对值不超过1;00无意义.,函数的定义域常用区间来表示,又可称为:,定义区间.,37,例,求下列函数的定义域:,解,定义域是,定义域是,38,常用的函数关系表示法,公式法(解析法);,主要有三种形式,表格法.,各种表示法,都有其优点和不足.,图形法;,公式法(解析法),图形法,表格法,今后以公式法为主,便于进行理论分析和计算;,形象直观,富有启发性,便于记忆;,便于查找函数值, 但它常常是不完全的.,也可用语言描述.,配合使用图形法和表格法.,是多种多样的.,39,函数的图形(图象),取自变量在横轴上,在平面直角坐标系中,因变量在纵轴上变化,则函数的图形是指,变化,平面点集:,通常是一条或几条,曲线(包括直线).,中的集合,40,例,41,四. 多元函数的概念,定义1:,映射,称为定义于A上的二元函数.,记为:,同样可定义n元函数,记为:,42,定义2 (点函数),设D是n维空间中的一个点集,如果对于D中的每一个点P,按照一定的法则,有确定的数u与之对应,则称对应法