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1,数列极限与函数极限的关系,基本概念,第二节 数列极限的概念,第一章 函数与极限,小结 思考题 作业,2,简记为,一、基本概念,定义1,定义在正整数集上的函数,称为整标函数,记为,对应函数值的排列,称为数列,定义2,当n依次取1,2,3,等一切正整数时,通项(general,term),或者一般项.,3,如,4,可看作一动点在数轴上依次取,数列的(两种)几何表示法:,数列可看作自变量为正整数 n的函数:,整标函数或下标函数,(1)数列对应着数轴上一个点列.,5,(2) 在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴,不可将这串点连成曲线.,则数列的几何意义是,平面上一串分离的点.,6,数列是一种特殊的函数,也有有界性和单调性,定义3,则称数列,为有界数列,否则为无界数列.,如,有界,无界,7,定义4,则称数列,为单调增数列.,如,则称数列,为单调减数列.,如,8,注意:,1. 凡是讲数列,都有无穷多项.,2. 数列是一种特殊的函数.,3. 数列与数集是不同的(数集中元素互不相同).,9,定义5,数列极限的,定义,如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在正整数N,则称数列,收敛,极限为,记作,或,如果数列没有极限,就说数列发散(diverge).,10,但是一旦给出之后,它就是确定了;,说明数列从某项开始,后面所有的项均与a,接近到任意给定的程度.,一般地说,11,(3),xn有没有极限,“前面” 的有限项不起作用,主要看“后面”的无穷多项.,12,数列极限的几何意义,即,数列极限的定义通常是用来进行推理,和证明极限,而不是用来求极限,因为这里,需要预先知道极限值是多少.,13,问:,与,是否一回事?,证明: 数列,发散.,14,例1,证,因为,所以,15,例2,证,令,解得,所以,16,例3,对于数列可以类似定义下列极限:,17,二、数列极限与函数极限的关系,定理 (函数极限与数列极限的关系)(Heine定理),提示:,证充分性时用反证法.,设,18,从而,于是得到,矛盾!,19,推论:,20,以上定理也适用于其它极限过程,等(包括单侧极限),其结论只,需根椐其极限过程,的自变量范围.,改动使不等式成立,和,21,例4 证明极限,22,数列,数列极限,数列极限与函数极限的关系,三、小结,研究其变化规律;,极限思想, 精确定义, 几何意义;,23,思考题,“,”,恒有,是数列,收敛于a的( ).,A. 充分但非必要条件,B. 必要但非充分条件,C. 充分必要条件,D. 既非充分也非必要条件
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