2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案

2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案一、填空题1、化简解：由可得.2、若sinx+cosx=,.解:,3、体积为1的正四面体被放置于一个正方体中，则此正方体体积的最小值是 3 解：反向考虑，边长为a的正方体（体积为a3）,其最大内接正四面体顶点，由互不共棱的正方体顶点组成，其体积为4、若椭圆的一个顶点关于它的一个焦点的对称点恰好在其准线上，则椭圆的离心率解：建立坐标系，设椭圆的方程为焦点，准线方程为据对称性，只要考虑两种情况：（1）、由；（2）、由横坐标、函数的最小值是解：首先， 又由即，即因y0,则此值在.、设，则解：令x=0，得a0=1,再令x=1，得a0+ a1+ a2+ a2n=,又令x=-1，得a0- a1+ a2+ a2n=1，所以.、将全体真分数排成这样的一个数列：，排序方法是：自左至右，先将分母按自小到大排列，对于分母相同的分数，再按分子自小到大排列，则其第2017项解：按分母分段，分母为k+1的分数有k个，因，因2017属于第64段，则应是分母为65的第一数，即.、将各位数字和为10的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列，若，则n=120.解：数字和为10的两位数有9个；数字和为10的三位数：首位数字a可取1，2，9中任意一个值，当a取定后，b可取0，1，10-a这11-a个数字的任意一个值，而在a,b确定后，c的值就唯一确定，因此三位数的个数是；数字和为10的四位数：a+b+c=9的非负整数解（a,b,c）的个数是，数字和为10的四位数共有2个即2008和2017，故在1，2，2017中，满足条件的数有9+54+55+2=120个.二、解答题（共70分）、（本题满分15分）数列，满足：，证明：（1）、，；（2）、证明：由此递推得因此即有据得，由条件知，皆为严格递增的正整数数列，所以将相乘得、（本题满分15分）若小于2017的三个互异正整数，使得，均是2017的倍数；证明：必是的倍数证：因；又由注意2017为质数，则a-b与2017互质，因此同理有，根据，即，从而，因正整数a,b,c皆小于2017，得a+b+c3*2017,因此a+b+c=2017或2*2017.又注意同奇偶，故只要证，将改写为，同理有，将式相加，得于是，从而.、（本题满分20分）设=，是由全体正整数的平方所构成的集合；如果数能够表示为集合中若干个（至少一个）互异元素的代数和，则称数具有结构证明：每个自然数都具有结构证明：首先，我们可以将前十个自然数分别表示为：再考虑区间中的数，其中除了16=42之外，其余的数皆可表示为形式；并且注意到，在1，2，3，4，5，6中每个数的结构表示中，凡是表示式中42参与时，42皆以正项形式出现，于是由可知，此时42项便抵消（不会出现的项）；因此，区间中的数皆具有P结构表示，也就是的每个数都具有P结构表示，且其中最大项至多为42，而凡是含有42的表示中，42皆以正项形式出现，下面使用归纳法，假若已证得的每个数都具有P结构表示，且其中最大项至多为，而凡是含有表示中，皆以正项形式出现（其中），对于区间中的数，除了最大数可以直接表示为之外，其余元素n皆可表示为：，由归纳假设，并且此k具有P结构表示，其中每项皆，因此数n具有P结构表示，故由归纳法，即知所证的结论成立.、（本题满分20分）如图，相交于，两点，是经过点的一条线段，其中，点，分别在、上，过线段上的任意一点，作，点，分别在，上，又向形外方向，作，其中在上，在上；证明：证明：设、的半径分别为，由于ABEC共圆，ABFD共圆，得而于是，根据平行关系得,所以为平行四边形，BN=MK,延长垂线FN交于,因则上优弧BEC与上BD所对的优弧的度数相等，又因M,N分别