简易数学模型

1 简易数学模型简易数学模型 1 1 某人现有 1 万元现金 决定存款 计划存 n 年 试建立存款模型 并用下面的问题验证 中国人民银行 97 年 10 月整存整取年利率如下 一年期二年期三年期四年期 5 67 5 94 6 21 6 66 某人 97 年 10 月有 1 万元 选用怎样的存款方式使 6 年内收益最大 分析分析 假设银行提供的整存整取种类 按年数分 为 mm iiiaaa 21 21 对应年利率为 任何一种存款方案都可用一组非负整数表示 m xxx 21 对应的期数 表示 21 m aaa 则 n n 年末的收入 mma xaxax 2211 m x mm xx iaiaiap 1 1 1 21 2211 我们可以算出每种年期的平均年利率 复利 k a kkk iar 1 1 这样 mmmk raxraxraxpln lnlnln 22211 这样求 p 的最大值等价于求 lnp 的最大值 则选择第 k 个年期 否则只能用枚举的方法得narrrr kkm 整除且中最大的为假设 21 到最佳的存款方案 知识点知识点 单利 复利 对数 2 体积一定的罐头罐 尺寸应该怎样 分析分析 罐头罐通常为圆柱体 假设半径为 r 高为 h 由于体积 v 一定 所以 设计罐头罐应考虑制造成本 vhr 2 1 材料费用 罐头罐的表面积与单位面积材料费 c 的乘积 crhr 22 2 2 焊接费用 焊接长度与单位长度的焊接费用 d 的乘积 4 r h d 总费用 2 2 22 2 2 4 2 2 4 22 4 22 r dv rd r vc cr d r v rc r v rr dhrcrhrco 当然实际生产过程中 材料的利用率是非常重要的因素 讨论讨论 试研究当 d 和 c 的大小发生变换时 对 r 的影响 练习 2 某仓库拟用 12 根长 a 米的钢管及足量的防水布在露天以钢管为棱搭建若干个棱锥 形帐篷零时储物 问如何搭建才能使容积最大 知识点知识点 表面积 体积 函数极值 3 3 某厂每月需供应零件 420 个 不允许缺货 每月生产率 1200 个 由于不必每 天生产 所以分批生产 每批装配费 500 元 存储费每月每件 8 元 存储费与存储时间 成比例 试安排生产周期和每期产量 分析分析 几个基本假设 1 不能缺货 2 零件的供应是连续的匀速的 生产过程中零件的产量是连续均匀的 3 生产是周期性的 每个周期 设为 t 需考虑的费用 装配费 k 存储费 v 一个周期内库存量 q 与时间 t 的关系如下 tp 为该周期内生产时间 每周期内产量和供应量平衡 1200tp 420t tp 420 1200t 0 35t 最高存储量为 1200 420 tp 273t 最低存储量为 0 平均存储量为 273t 2 136 5t 存储费 v 8 136 5t t 1092 2 t 一周期内的总费用为 k v 500 1092 2 t 平均每月费用为 500 1092 t 2 t 最佳的生产计划应使得单位时间成本最低 或单位零件的生产成本最低 讨论讨论 研究最佳生产周期与装配费间的关系 如果允许缺货 缺货费为每月每件 s 元 对上述模型进行修正 练习 3 1 3 1 某商店经售甲商品 成本单价 500 元 年存储费用为成本的 20 存储费与存储 时间成比例 年需求量为 365 件 需求速度为常数 不允许缺货 甲商品的订购费为 20 元 提前期为 10 天 安排订货周期和每期订货量 3 2 3 2 某厂每年需某种元件 5000 个 需求速度为常数 不允许缺货 每次订购费 50 元 年存储费用为 1 元 存储费与存储时间成比例 元件单价 K 元 随采购数量 Q 个 变 化而变化 Q 1500 时 K 2 0 Q 1500 时 K 1 9 安排采购周期和每期采购量 知识点知识点 函数极值 4 4 汽车位于点 A 朝向垂直 AB 不允许倒车 求汽车到达点 B 的最短路径 t q tp 3 分析分析 假设汽车有最小的转弯半径 r 汽车的大小相对于 r 及 A B 间的距离 d 可 忽略不计 如果 d 2r 如下图 从 A 点出发作以 r 为半径的圆周运动 当该圆过汽车所在点的切线过点 B 时 汽车 径直开向 B 如果 d 2r 如下图 从 A 点出发径直开 然后作以 r 为半径的圆周运动 圆恰好过 B 22 rdr 练习 一幅长为 b 的画挂在墙上 倾角为 q 画的底部离地面的高度为 a 试确定观赏者的 最佳位置 知识点 知识点 三角比 5 5 如图为一双向通行的一个十字路口 每个方向均有一车辆通道 不考虑行人 车 辆不允许转弯 给定红绿灯变换周期 试建立数学模型确定水平方向红灯所占时间 4 H 水平方向 V 竖直方向 分析分析 假设 1 车流是均匀的 2 有车停车后再发动到正常车速所需时间相等 设为 s 3 忽略红绿灯间的间隔 黄灯 4 车队中的车能同时制动和同时启动 合理的红绿灯比例配置应使得一周期内车子被延误的时间总和尽量小 设一周期时间为 1 水平方向红灯时间为 r 则绿灯时间为 1 r 竖直方向红灯 时间为 1 r 则绿灯时间为 r 假设水平方向每周期到达的车辆数为 h 则红灯引起的停车量为 hr 平均等待时间为 r 2 总共延误时间为 hr s r 2 假设竖直方向每周期到达的车辆数为 v 则红灯引起的停车量为 v 1 r 平均等待时间为 1 r 2 总共延误时间为 v 1 r s 1 r 2 两个方向总共延误时间 t hr s r 2 v 1 r s 1 r 2 t 是 r 的二次函数 我们可以找到合适的 r 使得 t 最小 讨论讨论 如果假定红灯转成绿灯时 每辆相继启动的车之间有一定时间的延误或考虑 红绿灯转换的时间间隔 试修正上述模型 练习 设路口交通灯的变换周期为 2 分钟 一个周期内东西向和南北向来车分别为 20 辆和 16 辆 停车后再发动到正常车速所需时间为 2 秒 求一个周期内东西向 开红灯的最佳比率 知识点知识点 二次函数 6 6 现有甲 乙 丙三个服装厂生产同一种服装 甲厂每月产成衣 900 套 生产上衣 和裤子的时间比是 2 1 乙厂每月产成衣 1200 套 生产上衣和裤子的时间比是 3 2 丙 厂每月生产成衣 1000 套 生产上衣和裤子的时间比是 1 1 若三服装厂兼并 试建立数学模型 设计兼并后各厂的生产计划 分析分析 设甲 乙 丙月生产上衣能力分别为 a1 a2 a3 月生产裤子能力分别为 b1 b2 b3 每月用于生产上衣的时间百分比分别为 x1 x2 x3 0 x1 x2 x3 1 5 则由于上衣数须等于裤子数 所以 a1 x1 a2 x2 a3 x3 b1 1 x1 b2 1 x2 b3 1 x3 好的生产计划是确保成衣总数 t a1 x1 a2 x2 a3 x3 最大 由 a1 x1 a2 x2 a3 x3 b1 1 x1 b2 1 x2 b3 1 x3 x3 可用 x1 x2 表示 x3 c x1 d x2 e t 也可用 x1 x2 表示 t m x1 n x2 l 原模型归结为 max t m x1 n x2 l 0 c x1 d x2 e 1 0 x1 x2 1 练习 甲 乙两种零件可在铣床 六角车床 自动机床上加工 每台铣床单位工作日可加工甲 15 个 或乙 20 个 每台六角车床单位工作日可加工甲 20 个 或乙 30 个 每台自动机床单位工作日 可加工甲 30 个 或乙 55 个 现有 3 台铣床 3 台六角车床 1 台自动机床 试确定加工方案 使得成套产品数最多 知识点 知识点 直线 线性规划 7 7 越江隧道内既是交通拥挤地段 又是事故易发地段 为了保证安全 交通部门规 定 隧道内的车距 d 正比于速度 v 公里 小时 的平方与车身长 L 米 的积 且最小的 车距不得少于半个车身长 在交通繁忙时 应规定怎样的车速 可是隧道的车流量最 大 分析分析 假设交通繁忙时 车流是均匀的 车流量由相继开出隧道的两车时间间隔 t 决定的 t 越小 车流量越大 k v v L k v v L kLv t k v L k vLkv d v dL t 2 1 2 3 2 1 2 1 2 2 1 2 求出 t 的最小值及相对应的车速 v 讨论 讨论 是否 v 越大车流量越大 车流量与 k 的关系如何 知识点知识点 分段函数 函数极值 8 8 有 A B 两家企业生产桶装矿泉水 市场价 P 元 每桶 与消费者需求量 Q 万桶 间 的关系 P 30 Q 50 最初只有 A 一家生产 后来 B 发现有利可图 也加入生产的行列 试建立数学模型描述桶装矿泉水市场 6 分析分析 假设 A B 两企业都本着利润最大化原则决定各自产量 为了简化 假设桶 装矿泉水生产成本为 0 假设 A 开始产量为 a 则市场价 P 为 30 a 50 利润 Pa a 30 a 50 当 a 750 万桶 时 Pa 最大 此时 P 15 元 每桶 设 B 进入市场时决定产量为 b 则市场价 P 为 30 750 b 50 利润 Pb b 30 750 b 50 当 b 375 万桶 时 Pb 最大 此时 P 7 5 元 每 桶 然后 A 必将调整自己的产量 假设 A 产量为 a 则市场价 P 为 30 375 a 50 利润 Pa a 30 375 a 50 当 a 562 5 万桶 时 Pa 最大 此时 P 11 25 元 每桶 同理 B 将调整自己的产量 直到市场稳定 A B 不再调整自己的产量 设此时 A B 的产量分别为 a b 则 Pa a 30 a b 50 为了利润最大 a 750 b 2 I Pb b 30 a b 50 为了利润最大 b 750 a 2 II 由 I II 解得 a b 500 此时市场价为 10 讨论讨论 1 如果 A B 结成联盟 市场将如何变化 2 如果第三家企业 C 进入市场 市场将如何变化 知识点 知识点 二次函数 函数极值 9 9 上海市出租车现行收费制度 6 00 23 00 为 3 公里起步价 10 元 每公里 2 元 并且 10 公里以上每公里 3 元 一些精明的乘客在行驶一定里程后 利用换车 或让司机重新计价的方法来节省车费 可现在 这种乘客越来越少见了 请问适当 换车真的省钱吗 建立数学模型解释上述现象 分析分析 假设堵车不发生 则平均每公里费用 p 与公里数 x 关系如下 10 6 3 1032 4 3 10 x x x x x x p p x 图像如下 7 当 x 10 时 p 取得最小值 当 x10 时 p 是 x 的增函数 但 却一直小于 3 当 x 10 时 不换车 当 x 10n 时 n 是大于 1 的整数 每隔 10 公里换一次车 当 10 x 20 时 若换车发生在 x 10 处 费用 若不换车 1328 13 21024 13341024 xx x x t 费用 当 t t0 即 8 2x14 时 换车 x 14 不 1363 1363 10 324 0 xx xx x t 换车 同理 当 10n x 10n 10 时 n 为大于 1 的整数 已经换了 n 1 次车 若换车发生在 x 10n 处 费用 若不换车 310244 3101024 nxxn nxn t 费用 当 t t0 即 4n 4 2x10n 4 时 换 31063 31063 0 nxnx nxnx t 车 xh 重力加速度为 g 假设抛球角度为 tg 设球速为 v x hb AS BA 球速 v 须满足两个条件 1 保证球飞过点 B 球飞至 B 点上方的时间 1 t coscosv x v SA 此时 球离 A 点高度 22 2 2 111 cos22 1 sin v gx xtggttvh cos2 cos2 2 2 2 22 2 1 hbxtg gx v hb v gx xtg hbABh 2 保证球飞行的最高点在 OP 的左方 球飞到 O 点上方时间为 球达顶点的时间为 cos 2 v x a g v sin 2sin 2sin cos 22 gxag v g v v x a 综上所述 综上所述 2sin 2 cos2 max 2 2 2 gxag hbxtg gx v O P B A S 9 讨论讨论 给定 x h 选择合适的 使得 v 尽量小 给定 h 选择合适的 x 使得 v 尽量小 练习 黄浦江江面宽为 a 一艘艘宽度为 b 的轮船在江心由北向南以等速 v 直线行 驶 每艘轮船的船头到前一艘轮船的船尾的距离为 c 一艘对江轮渡由浦东 A 点出发 驶向浦西岸边 B 点 求能以最小的等速沿直线安全到达对岸所需的时间 轮渡大小忽略不计 知识点知识点 斜抛运动 三角比 1111 牧场主有一块一公里见方的土地 打算全部或部分出售 土地本身不要钱 不 过买主得出钱建围墙 价钱为每公里 1 元 试建立圈地模型 分析分析 好的圈地方案应使得平均每元获得的土地面积 即 土地面积比土地周长 最大 很多人根据 周长一定 此处周长即为成本 面积最大的图形是圆 设 圆的半径为 r 面积比周长为 r 2 半径越大 比值越大 最大的半径为 0 5 即 最大的圆为土地的内切圆 此时比值为 0 25 细心的读者发现 圈整块土地得到的比值也是 0 25 如图 土地的内切圆半径为 0 5 随着圆的半径 r 继续增大 我们圈得土地如上右图所示 当 r 便圈下整块土地 土地面积比土地周长 q 可表示为 r 的函数 2 r 北北 A B 10 q f r 0 5 r 求出 q 的最大值 4 1 2 2 1 arccos2 2 4 1 2 1 2 1 arccos2 2 2 1 2 22 r r r rr r 2 0 2636 练习 某铝制品厂在边长为 40 厘米的正方形铝板上以四个顶点为圆心割下四个半径 为 20 厘米的扇形 90 度 为节约铝材 该厂打算用余下的部分制作底面直径和 高相等的圆柱形包装盒 有底 有盖 接逢用料不计 求包装盒的最大直径并画出 相应的裁剪图 知识点知识点 三角比 12 12 报童问题 报童每天售报数量是随机的 报童每售出一份报纸赚 k 元 如报纸 未售出 每份赔 h 元 每日售出报纸份数 r 的概率 p r 根据以往经验是已知的 试建立数学模型 决定报童每天最好准备多少份报纸 分析 设报童每天准备的报纸数为 q 则报童销售情况分两种 1 供不应求 q r r 此时收入为 qk 2 供大于求 q r 此时收入为 rk q r h r k h qh 期望收入 1 0 1 0 q rqr q r rphkrqqkrqkprpqhhkrqs 最好的 q 应满足 s q 1 s q s q s q 1 s q 1 s q s q 即 即 1 00 q r q r rp hk k rp 练习 某食品店每天顾客需求 100 150 200 250 300 只蛋糕的可能性分别为 0 2 0 25 0 3 0 15 和 0 1 每个蛋糕进价 2 5 元 售价 4 元 若当天不能售完 剩下的以每个 2 元处理 问如何进货 总产量最高 知识点知识点 概率 期望值 13 军舰 A 沿着某固定方向匀速航行 此时军舰 B 接到命令与军舰 A 在最短时间内 集结 试建立数学模型 研究军舰 B 的航行方案 分析分析 假设局部海洋是平面 以 AB 中点为坐标原点 AB 为 y 轴 建立直角坐标系 如图 B P A x y 11 设 AB 2b 舰 A 航行方向与 x 轴夹角为 由对称性 只研究的情况 2 2 集结地点为点 P x y 因为考虑最短集结时间 我们假设舰 B 也是直线匀速航行 舰 A 舰 B 的航速分别为 设 a 于是 点 P 须满足 PB a PA 即 ba vv b v a v 0 1 1 2 1 1 2222222 babyayaxa 当 a 1 时 集结地点 P 为 AB 的中垂线与舰 A 航行直线交点 若0 则两舰不可 能集结 当 a1 时 式可改写为 222 rhyx 其中 1 2 1 1 2 2 2 a ab rb a a h 集结地点 P 为圆 与舰 A 航行直线 y tgx b x0 的交点 请 222 rhyx 读者讨论交点存在的条件及 或 的情况 2 2 练习 海上演习 军舰 A B C 同时接到命令须在最短的时间集结 已知相互间距为 AB 100 海里 CA 200 海里 BC 220 海里 A B C 的速度分别为 15 海里 小时 20 海里 小时 12 海里 小时求集结地点 D 知识点 知识点 圆与直线方程 1414 某公司租用一幢 n 层的办公大楼 该公司全员会议较多 需在某个楼层设置会 议厅 试建立数学模型 选择合适的楼层 分析 分析 假设每个楼层参加会议的人数相同 相邻两层楼梯长都一样 合适的楼层应 使得参加会议人员上 下楼梯所走路程总和最小 假设选择楼层 k 则各楼层路程总和为 k 1 k 2 1 0 1 2 n k 2 1 2 2 nn knk 当 n 为奇数时 k n 1 2 当 n 为偶数时 k n 2 或 n 2 2 讨论讨论 若各楼层人数不同 请对上述模型进行修正 如果该为乘电梯 情况又如何 练习 12 有一 36 层高楼 层高一定 你想做一个实验 从某楼层落下一个鸡蛋 看 是否会破 测出鸡蛋不破的最高层数 假定没破的鸡蛋可继续用于该试验 破了 的鸡蛋将被遗弃 如果只有一个鸡蛋 必然是一层一层抛 如果有两个鸡蛋 请设计 试验方案 使得落鸡蛋的次数最少 知识点知识点 二次函数最值 1515 工厂或公司都会配备一些大型设备 这些设备除了购买成本高外 运转费用及 维护费用也不低 而且用的时间越长 运转费用及维护费用越高 试建立设备更新 的数学模型 分析分析 假设设备的运转费用及维护费用按期计算 费用发生在每期开始时 每期运 转费用及维护费用递增常数 d 折旧费忽略不计 银行利率每期为 i 设设备费为 a 首期运转费用及维护费用为 c 则 n 期的总费用现值 k n 为 k n a c 12 1 1 1 2 1 n i dnc i dc i dc 若 n 期更新一次设备则全部将来 正无穷大年后 费用的现值 t n k n 1 1 1 2 mnnn i nk i nk i nk n i nk 1 1 1 求出 t n 的最小值并找出相应的 n 练习 某设备设备费为 800 第一年运转费为 70 以后每年递增 20 年利率为 12 求设 备更换周期 讨论讨论 若不考虑银行利率 如何修正模型 知识点知识点 数列 数列极限 现值 16 16 下表是一组某汽车车速 单位 米 秒 与对应刹车距离 单位 米 的数据 车速 203040506070 刹车距离 4075120175240315 试建立数学模型 描述该车刹车距离与车速的关系 分析分析 假设司机刹车反应时间 t 是常数 与车速无关 刹车时汽车受到的阻力是 常数 与车速无关 且在刹车过程中不发生变化 设刹车距离为 d 车速为 v 刹 车时汽车获得的减速度为 a 则由运动学知识知 a v vtd a v vtd 22 22 如何获得参数 t a 呢 因为 13 所以 与 v 存在线性关系 由直线型经验公式可求得 t 1 a 10 v d 讨论讨论 若刹车时汽车受到阻力随速度增加而减小 试对模型进行修正 练习 为了检验 X 射线的杀菌作用 用 200 千伏的 X 射线来照射细菌 每次照射 6 分钟 照射次数记为 t 共照射 15 次 各次照射后所剩细菌数 y 见下表 t123456789101112131415 y3522111971601421061046056383632211915 试求 y 与 t 的关系 知识点知识点 直线经验公式 1717 设 A B 两衣服经洗涤充分拧干后 均残存水量 w 千克 其中分别含污物 A m 千克 现有清水 a 千克 试建立漂洗衣服的数学模型 B m 分析 分析 假设 a w 衣服漂洗拧干后仍残存水量 w 千克 有三种方案 1 两件衣服同时漂 则漂洗拧干后两件衣服残存污物总量为 w aw mm BA 2 2 2 先漂洗 A 再漂洗 B 则漂洗拧干后两件衣服残存污物总量为 w aw ma aw m w aw m B A A w aw m w aw mwa BA 2 2 3 先漂洗 B 再漂洗 A 则漂洗拧干后两件衣服残存污物总量为 w aw m w aw mwa AB 2 2 讨论讨论 采用何种方案为宜 知识点知识点 不等式 18 耐用消费品分期付款模型 分析 分析 假设耐用消费品的价格为 t