天津大学1213-1概率论考试试卷B答案.doc

天津大学试卷专用纸学院 专业 班 年级 学号 姓名 共4 页 第 1 页20122013学年第1学期期末考试试卷概率论（B卷 共 4 页）（考试时间：2012年12月09日）题号一二三成绩核分人签字123456得分一、选择题 （共12分，每题2分）1、对于任意两个随机变量，若，则（ B ）A) B) C) 一定独立 D) 不独立2、与B相互独立， 且， 则有（C ） A) 与B互不相容 B) 与互不相容 C) 与B相容 D) .3、设为三个随机事件，且，则一定有( D )A) 与独立； B) 为不可能事件；C) ； D) .4、设与是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们概率密度函数分别为与,分布函数分别为与，那么下列命题不正确的是( B ) A) ，则必为某一随机变量的概率密度函数； B) 为二维型随机变量的联合的概率密度函数；C) 必为某一随机变量的分布函数； D) 必为某一随机变量的分布函数.5、如果存在常数，使得， 且，则与的相关系数为（ C ） A) 1 ； B) -1 ； C) ； D) .6、设为一随机变量，若 则一定有（ B ）A) B) C) D) .二、填空题（共18分，每空2分）1、已知，, ，则 3/4 (0.75).2、将20只球放入10个盒子中去，设每只球落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数X的数学期望为 . 3、取一根长为3米的绳子， 拉直后在任意位置剪断， 那么剪得两段的长都不少于1米的概率为 1/3 . 4、设一系统由五个相互独立的元件串联而成, 每个元件的寿命X服从均值为1500的指数分布（单位：小时），在使用的前600 h内至少有一个元件需要更换的概率是 , 且该系统的平均寿命是_300_ _（小时）.5、设是独立同分布的随机变量序列,且其相同的分布函数为： 则的分布律为 _ ， 且依概率收敛于 0.6 .6、二维正态分布表示为设随机变量满足，随机变量， 则 1 , 37 .天津大学试卷专用纸学院 专业 班 年级 学号 姓名 共 4 页 第 2 页三、解答题（共70分）1、（本题14分）盒子里装有2个黑球、5个红球、3个白球共10个球， 从中一次随机地摸出两个球，令求 （1） 的联合概率分布律； （2） ， ； （3） 随机变量的边缘分布律；（4） 在的条件下随机变量的条件分布律； 解：（1）因此，随机变量和的联合分布律为：(6分)（2）， (9分) XY0101/454/911/51/3(3) 随机变量的边缘分布律Y 0 1 7/15 8/15 (11分)（4）在的条件下随机变量的条件分布律为 (14分)(其中公式1分)2、（本题10分）已知电源电压服从正态分布（单位：伏）,在电源电压处于以下三种状态: ,时,某电子元件损坏的概率分别为0.1, 0.01, 0.2. 试求: (1) 该电子元件损坏的概率; (2) 该电子元件损坏时, 电压在（200，240内的概率. (已知: ).解：令, 电子元件损坏 -1分（1）电子元件损坏的概率-（全概率公式1分，算到最后共6分）（2） -贝叶斯公式 1分，算到最后共3分天津大学试卷专用纸学院 专业 班 年级 学号 姓名 共 4 页 第 3 页3、（本题7分）设甲乙两台设备的寿命分别服从参数为3与4的指数分布, 且两台设备的好坏与否相互独立, 求甲比乙先坏的概率.解：设甲乙两台设备的寿命分别为、, 则其概率密度函数分别为 (1分)因为与相互独立,所以的联合概率密度函数为 (3分)甲比乙先坏的概率为 (7分)(其中过程3分,结果1分)4、（本题18分）设二维随机变量在由直线及所围成的区域内服从均匀分布求（1）求的联合概率密度函数；（2）求、的边缘概率密度函数，; （3）判断与是否相互独立，为什么？（4）求，； （5）判断与是否相关，为什么？解：（1）由题知平面区域的面积为 所以 (2分)（2） (4分) (6分) （3）因为,所以与不独立. (8分) （4）当时，当时 ， (10分) (11分) (13分)（5）因为,， 或，. (18分)所以 与不相关. 天津大学试卷专用纸学院 专业 班 年级 学号 姓名 共 4 页 第 4 页5、（本题13分）设随机变量X的概率密度为，令 ，为二维随机变量的联合分布函数. 求 （1）k； （2）Y的分布函数.解：（1） 所以 （2分）(2) Y的取值范围为0，9， (3分) 故 当时， ； 当时， (5分) Y的分布函数为 (7分) 当时， (10分) 当时， (13分)6、（本题8分）（用中心极限定理近似计算）某互联网站有10000个相互独立的用户，已知每个用户在平时任一时刻访问该网站的概率为0.1求在任一时刻有940到1075个用户访问该网站的概率. 解： 设X表示任一时刻访问该网站的用户数,则 （1分） 并且 . . （3分） 由中心极限定理 （8分）设随机变量X服从(-2,3)上的均匀分布，即，令 ，为二维随机变量的联合分布函数. 求 （1）Y的分布函数； （2）.解 (1)Y的取值范围为0，9， (1分) 故 当时， ； 当时， (3分) Y的分布函数为 (5分) 当时， (8分) 当时， (10分)