走向高考数学2011第1篇2-1

第一讲指数与指数函数 重点难点重点 指数幂的运算法则 指数函数的概念 图象与性质 难点 根式与分数指数幂的运算 a 1与0 a 1时 指数函数图象 性质的区别 指数函数图象与性质的应用和简单指对方程 不等式的求解 知识归纳1 整数指数幂的运算性质 1 am an am n a b n m n Z 2 xn a n N n 1 3 分数指数幂 a 0 m n N 且n 1 4 分数指数幂的运算性质ar as ar s ar s ar s a b r ar br a 0 b 0 r s Q 2 指数函数的图象和性质 误区警示1 忽视底数a 1与0 a 1时性质的区别及函数的值域致误 解题的每一步要等价转化 2 比较幂值大小时 要注意区分底数相同还是指数相等 是用指数函数的单调性 还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决 要注意图象的应用 还应注意中间量0 1等的运用 指数函数的图象在第一象限内底大图高 逆时针方向底数依次变大 一 数形结合的思想 例1 比较的大小 解析 在同一直角坐标系中作出函数 二 分类讨论的思想 例2 函数y ax在 0 1 上的最大值与最小值的和为3 则a的值为 A B 2C 4D 解析 解法1 对a分类讨论 若a 1 x 0时 y有最小值1 x 1时 y有最大值a 由题设1 a 3 则a 2 若00 a 1时 y ax是定义域上的单调函数 因此其最值在x 0 1 的两个端点得到 于是必有1 a 3 a 2 点评 指数函数的最值问题一般都是用单调性解决 三 解题技巧1 比较一组幂式 对数式形式的数的大小时 一般先区分正 负 与0比 正数再与1比较 找出大于1的和小于1的 底数相同的幂式 用指数函数的单调性 底数相同的对数式用对数函数的单调性 指数相同的幂式用幂函数的单调性或指数函数的图象 真数相同的对数式用对数函数的图象 底数不同 指数也不同的幂式或底数不同 真数也不同的对数式可引入中间量转化或化成同底 另外要注意指对互化的灵活运用 2 在指数里含有未知数的方程叫做指数方程 1 形如af x ag x a 0 a 1 的方程 化为f x g x 求解 2 形如af x bg x a 0 b 0 a 1 b 1 的方程 两边取对数 3 形如a2x b ax c 0的方程 用换元法化为二次方程求解 例2 已知实数a b满足等式 a b 下列五个关系式 0 b a a b 0 0 a b b a 0 a b其中不可能成立的关系式有 A 1个B 2个C 3个D 4个 解析 解法1 当ab 0时 都存在a b使 a b成立 故 正确 不正确 因此选B 解法2 由已知得2a 3b 在同一直角坐标系中 作出y 2x y 3x的图象 当纵坐标相等时 可以得到相应横坐标的大小关系 从而得出 不可能成立 文 函数f x ax b的图象如下图 其中a b为常数 则下列结论正确的是 A a 1 b 0B a 1 b 0C 0 a 1 b 0D 0 a 1 b 0解析 由图象知0 a 1 又a0 b a b 1 b 0 b 0 故选D 答案 D 理 09 山东文 函数y 的图象大致为 解析 函数有意义 需ex e x 0 即x x x 0 排除答案C D 又y 当x 0时为减函数 排除B 故选A 答案 A 例3 设函数f x 定义在实数集上 它的图象关于直线x 1对称 且当x 1时 f x 3x 1 则有 解析 由题设知 x 1时单调递减 x 1时单调递增而x 1为对称轴 答案 B 09 江苏 已知a 函数f x ax 若实数m n满足f m f n 则m n的大小关系为 解析 a 0 1 y ax是减函数 故am an m n 答案 m n 例4 设函数f x 2x 1 的定义域和值域都是 a b b a 则a b等于 A 1B 2C 3D 4解析 因为f x 2x 1 的值域为 a b 所以b a 0 而函数f x 2x 1 在 0 内是单调递增函数 因此应有解得 所以有a b 1 选A 总结评述 本题解题的关键在于首先由函数的值域推出b a 0 从而避免了对a b的各种可能存在情况的讨论 然后根据函数的单调性 建立关于a b的方程组求解 如果函数f x ax ax 3a2 1 a 0且a 1 在区间 0 上是增函数 那么实数a的取值范围是 解析 由题意得f x ax 2 3a2 1 ax x 0 f x 2ax ax lna 3a2 1 ax lna 0 f x 在 0 上是增函数 当a 1时 2ax 3a2 1 0 令x 0 2 3a2 1 0 即3a2 1 无解 当0 a 1时 2ax 3a2 1 0 令x 0 则2 3a2 1 0 求得a a的取值范围是 综上可知a 故选B 答案 B 一 选择题1 文 09 湖南 若log2a1 则 A a 1 b 0B a 1 b0D 0 a 1 b 0 答案 D 解析 由log2a 0得0 a 1 由知b 0 理 下列大小关系正确的是 A 0 431 log40 3 0 故有log40 3 0 43 30 4 2 文 若指数函数y ax的反函数的图象经过点 2 1 则a等于 A B 2C 3D 10 答案 A 解析 运用原函数与反函数图象关于y x对称 则函数y ax过点 1 2 故选A 理 09 广东理 若函数y f x 是函数y ax a 0 且a 1 的反函数 其图像经过点 a 则f x 答案 B 解析 函数y ax的反函数是f x logax 3 为了得到函数y 2x 3 1的图象 只需把函数y 2x的图象上所有的点 A 向右平移3个单位长度 再向下平移1个单位长度B 向左平移3个单位长度 再向下平移1个单位长度C 向右平移3个单位长度 再向上平移1个单位长度D 向左平移3个单位长度 再向上平移1个单位长度 答案 A 解析 只需把y 2x的图象向右平移3个单位 再向下平移1个单位即可得到y 2x 3 1的图象 4 设指数函数f x ax a 0且a 1 则下列等式不正确的是 A f x y f x f y B f xy n fn x fn y C f x y D f nx fn x 答案 B 解析 由f x ax 验证B知 f xy n a xy n fn x fn y ax n ay n axn ayn axn yn f xy n fn x fn y 而验证A C D都正确 故选B 二 填空题5 文 09 重庆 若f x a是奇函数 则a 答案 解析 f x 为奇函数 f 1 f 1 理 方程9x 6