椭圆难题(包括答案).doc

关于焦点三角形与焦点弦（1）椭圆上一点与两个焦点所构成的称为焦点三角形。设，则有：P ，当（即为短轴顶点）时，最大，此时 的面积当（即为短轴顶点）时，最大，且 AB（2）经过焦点或的椭圆的弦，称为焦点弦。设，的中点为，则弦长 （左焦点取“+”，右焦点取“-”）当轴时，最短，且关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法1 联立方程法：联立直线和椭圆方程，消去，得到关于的一元二次方程，设交点坐标为，则有，以及，还可进一步求出。在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法2 点差法：设交点坐标为代入椭圆方程，并将两式相减，可得，在涉及斜率、中点、范围等问题时，常用此法典例剖析1 求椭圆的标准方程【例2】设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点作的垂线分别交椭圆于，交轴于，且（1）求椭圆的离心率。（2）若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程。【解】（1）由已知可得： 由可得：，将点坐标代入椭圆方程可得：。 即 （2）由（1）得：，圆心为，半径于是有：(圆心到直线距离)， 所以 。故椭圆方程为：【例4】已知椭圆的中心在原点，短轴长为，右准线交轴于点，右焦点为，且，过点的直线交椭圆于两点（1）求椭圆的方程（2）若，求直线的方程（4）求的最大面积【解】（1） 椭圆方程为：（2）设直线的方程为：，且设联立 消去，得：则 从而求得：由 得 ： ，求得 所以的方程为：（4）由（1）得：令 ， 则 当且仅当，即时，取“”所以的最大面积为2 椭圆的性质【例6】已知椭圆的两个焦点分别为，在椭圆上存在一点，使得（1）求椭圆离心率的取值范围（2）当离心率取最小值时，的面积为，设是椭圆上两动点，若线段的垂直平分线恒过定点。求椭圆的方程；求直线的斜率的取值范围。【解】（1）设椭圆短轴的端点为B,由已知及椭圆的性质得： 所以，从而 ，即，又， 所以，得：，所以 。（2）当取得最小值时，在短轴顶点，所以， 又， 故求得：。 所以椭圆方程为：设，设直线的方程为，的垂直平分线方程为：联立消去得：则有 即 又有: 从而所以的中点为 。又在的垂直平分线上，所以， 即 将代人求得：求取值范围问题通常要建立不等式，关于不等式的来源有以下几种情况：（1）已知不等式；（2）椭圆上的点的横坐标满足；（3）；（4）椭圆内部的点满足； 【例7】椭圆的中心在原点，焦点在轴上，斜率为的直线过椭圆的右焦点与椭圆交于两点，与向量共线。（1）求椭圆的离心率（2）设为椭圆上任一点，若，求证：为定值【解】（1）设椭圆方程为 ，设， 由已知：直线AB的方程为：，代入椭圆方程，得： ， 由韦达定理得：，易知： 因为与向量共线，所以 ， 而，所以， 即 ，于是有： 又 ，所以，故有：。（2）由（1）得：，所以椭圆方程为：，即，直线AB的方程为：，于是有：，从而，。于是。设，由已知：，将M的坐标代入椭圆方程得：， 即， 于是有：。 故为定值。【例8】已知为椭圆上一动点，弦分别过焦点，当轴时，恰有. （1）椭圆的离心率（2）设，判断是否为定值？【解】（1）当轴时，从而 依定义有，所以 而，所以 ，即 。（2）由（1）可知椭圆方程为：， 设若的斜率都存在，则直线的方程为 代入椭圆方程，并整理得：由韦达定理有由已知：；同理可得： 所以若有一个斜率不存在，不妨设轴则 所以 综上所述为定值。3. 最值问题【例11】已知椭圆，是垂直于轴的弦，直线交轴于点， 为椭圆的右焦点，直线与交于点（1）证明：点在椭圆上（2）求面积的最大值【解】（1）由已知。设，则且，与的方程分别为：联立两直线的方程求得： 即 因为， 所以点在椭圆上（2）设直线的方程为（过焦点）且联立则由：所以 所以令，函数递增， 所以当时，取得最小值，故当时，取得最大值【例14】已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点（1）求的面积的最大值（2）当的面积最大值时，求的值【解】（1）由已知得： 设直线的方程为，且设联立则有：由已知可得：令易证函数在上递增（*），所以当时，取得最小值，故当时，取得最小值， 故的最大值为。（2）当最大值时，从而，而所以4 直线与椭圆的位置关系【例16】已知是椭圆的左，右焦点，直线与椭圆相切。（1）分别过作切线的垂线，垂足分别为，求的值（3）设直线与轴，轴分别交于两点，求的最小值。【解】（1）设直线的方程为，由已知: ，。 所以 ；。 于是。 联立，消去y，的：。 因为直线与椭圆相切，所以 。 所以 为定值。 （2）易知：，。 所以 。当且仅当，即时取等号。 所以 。【例17】已知椭圆，过点作直线与椭圆顺次交于两点（在之间）。（1）求的取值范围； （2）是否存在这样的直线，使得以弦为直径的圆经过坐标原点？若存在，求的方程，若不存在，说明理由。【解】（1）方法一：（联立方程法）当直线的斜率存在时，设直线的方程为且设。联立， 消去，并整理得：则有， 求得：又有 设 ，则有，即 从，中消去可得：而 ， 所以 。 而 ，故求得：）当直线的斜率不存在时，综上所述， 的取值范围是方法二：（点差法） 设， 则有：， 所以，即于是有 (1)(2) 得：，即 由已知， ，所以 而， 所以 （2）假设满足条件的直线存在，设，则由（1）可知： 从而求得：于是有： 满足 故满足条件的直线存在，且直线方程为：或【例19】（2010江苏）已知椭圆的左，右焦点为，左，右顶点为，过点的直线分别交椭圆于点（1）设动点，满足，求点的轨迹方程（2）当，时，求点的坐标（3）设，求证：直线过轴上的定点【解】（1）由题意知:，设，则 ， 化简整理得: （2）把代人椭圆方程,分别求出: ， 直线 ; 直线 、联立,得： （3）由已知: ，直线与椭圆联立，得：直线与椭圆联立，得：直线的方程为：化简得令，解得，即直线MN过X轴上定点。三 解题小结1. 离心率是圆锥曲线的重要性质，求离心率及其取值范围，就是寻找与或之间的关系2. 求与椭圆有关的最值问题,有三种方法：（1）几何法;（2）三角代换法;（3）转化函数，利用函数的单调性求最值3. 直线与椭圆的位置问题两种基本方法：（1）联立方程法;（2）点差法，前者涉及弦长与中点，后者涉及斜率，中点等.4. 关于椭圆的补充性质（常在解题中遇到）： 椭圆的内接矩形的最大面积为. 过焦点 的直线交椭圆于P, Q两点，则当轴时，的面积最大，且最大面积为. 设右准线与轴交于点E，过E点的直线与椭圆交于P,