第二换元积分法

第二节换元积分法 本节内容提要 一 第一类换元积分法 凑微分法 二 第二类换元积分法 教学目的 使生熟练掌握凑微分法求不定积分 掌握第二类换元积分法中的根式置换法 了解三角置换法求不定积分重点 凑微分法 根式置换法求不定积分难点 凑微分法求不定积分教学方法 启发式教学手段 多媒体课件和面授讲解相结合教学课时 6课时 返回 第二节换元积分法 引例 求解 错在哪里 一 第一类换元积分法 凑微分法 定理1 若则这种将利用中间变量化为 则可直接 或稍微变形就可 应用基本积分公式求得结果 再将还原成的积分法 称为第一类换元积分法 也叫凑微分法 这里将凑微分成du是难点 理解起来较困难 我们这样处理 dx 故 例1 求解 设u 2x 我们总结出凑微分法求不定积分的情况如下 被积函数是一个复合函数 与公式作对比 公式中自变量x变成了ax b的形式 这时设ax b为中间变量 例2 求解 设则 在对上述换元法较熟悉后 可不必写出中间变量 心中明白即可 书写格式如下 解 例3求解 练习 求下列不定积分1 2 3 4 被积函数是两个函数乘积形式1 被积函数中含有两个多项式 其中一个多项式的次数比另一个多项式的次数高一次 设高一次的多项式为中间变量 目的是约去另一个因式 例1 求解 例2 求解 例3 求解 例4 求解 例5 求解 练习 求下列不定积分1 2 3 4 5 2 被积函数中 其中一部分函数 正好 是另一部分函数的导数这里存在导数的那部分函数为中间变量 目的是约去另一个因式 例1求解 例2求解 例3求解 例4求解 例5求解 例1 例6求解 练 求1 2 3 4 5 6 第一类换元积分法 凑微分法 是一种非常有效的积分法 首先 必须熟悉基本积分公式 对积分公式应广义地理解 如对公式 应理解为 其中u可以是x的任一可微函数 其次 应熟悉微分运算 针对具体的积分要选准某个基本积分公式 凑微分使其变量一致 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 常用的凑微分形式有 例 求 解 方法一 方法二 方法三 上例表明 同一个不定积分 选择不同的积分方法 得到的结果形式不同 这是完全正常的 可以用求导验证它们的正确性 使用凑微分法求不定积分 有时还需要先用代数运算 三角变换对被积函数作适当变形才能积分 例1求 练习 求 例2求 解 练习 例3求 练习 例4求 练习 求 例5求 练习 求 例6求 练习 求 例7求 练习 求 例8求 练习 求 练习求 二 第二类换元积分法定理2 设是单调可微函数 且若则 下面通过例题说明第二类换元积分的应用 被积分函数中含有类型 根式置换法 例1 求解 设 则 注意 在最后的结果中必须代入 返回到原积分变量 练习 返回 例2求解 被积函数含 为了去掉根号 设t 则x 练习 求 例3 求解 设则 1 被积分函数中含有类型 三角置换法 例1求解设则 例2 求解设则 为了返回原积分变量 可由作出辅助三角形如图由图可得其中 空 例3 求解设则与前例相同 为了返回原积分变量 由作出辅助三角形如图由图可得 其中 空 第二类换元积分法是基本积分方法之一 使用第二换元积分法的关键在于选择适当的变换 消除被积式中的根号 最常见的形式有 1 被积函数中含有 设 2 被积函数中含有 设 为 的最小公倍数 3 被积函数中含有 设 4 被积函数中含有 设 5 被积函数中含有 设在作三角替换时 可以利用直角三角形的边角关系确定有关三角函数的