解直角三角形讲义.doc

初三数学同步讲义解直角三角形初三下册第一章：知识点总结：1. 解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求位置元素的过程，就是解直角三角形。（1） 三边关系：（2） 锐角关系：A+B=90；( 3 ) 边角关系： 正弦：锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记sinA ,即sinA = 余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记cosA ,即cosA=； 正切：锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记tanA，即tanA=； 特殊锐角的三角函数值1 同角三角函数的关系： 平方关系：; 商数关系：tanA= 互余两角的三角函数关系： sinA=cosB; sinA=cos(90-A) ; cosA=sin (90-A ); tanA=cot(90-A )2. 实际问题仰角：进行高度测量时，在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时叫做仰角。俯角：进行高度测量时，在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线下方时叫做俯角。坡度（坡比）：坡面的铅垂高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度，记作i=h:l。坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a,即i=h:l=tana.方位角：从某点的正北方向沿顺时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角。方向角：从正北方向或正南方向到目标方向形成的小雨90的角叫做方向角。典型例题：题型一：特殊三角函数值1、计算2sin30-sin245+cot60的结果是（）A、 B、 C、 D、2、已知a=3，且（4tan 45-b）2+=0，以a，b，c为边组成的三角形面积等于（）A、6 B、7 C、8 D、93、已知a为锐角，且sin（a-10）=，则a等于（）A、50 B、60 C、70 D、804、在ABC中，C=90，B=2A，则cosA等于（）A、 B、 C、 D、5、如图，如果A是等边三角形的一个内角，那么cosA的值等于（）A、 B、 C、 D、16、ABC中，A、B都是锐角，且sinA=，cosB=，则ABC的形状是（）A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定7、计算：sin213+cos213+sin60-tan308、求下列各式的值：（1）a、b、c是ABC的三边，且满足a2=（c+b）（c-b）和4c-5b=0，求cosA+cosB的值；（2）已知A为锐角，且tanA=，求sin2A+2sinAcosA+cos2A的值题型二：解直角三角形1、如图，在ABC中，C=90，B=60，D是AC上一点，DEAB于E，且CD=2，DE=1，则BC的长为（）A、2 B、 C、2 D、4 2、等腰三角形的顶角为120，腰长为2cm，则它的底边长为（）A、cm B、cm C、2cm D、cm 3、如图，梯形ABCD中，ADBC，B=45，D=120，AB=8cm，则DC的长为（）A、cm B、cm C、cm D、8cm4、如图，在RtABC中，ACB为90，CDAB，cosBCD=，BD=1，则边AB的长是（）A、 B、 C、2 D、5、如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15后得到ABC，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（）A、 B、 C、 D、6、在ABC中，A=120，AB=4，AC=2，则sinB的值是（）A、 B、 C、 D、 7、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，AOB=60，AB=5，则AD的长是（）A、5 B、5 C、5 D、108、如图，在菱形ABCD中，DEAB，BE=2，则tanDBE的值（）A、 B、2 C、 D、9、如图，四边形ABCD和四边形BEFD都是矩形，且点C恰好在EF上若AB=1，AD=2，则SBCE为（）A、1 B、 C、 D、10、如图，在RtABC中，A=90，AB=AC=8，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FEBE，则CEF的面积是（）A、16 B、18 C、6 D、711、如图，在梯形ABCD中，A=B=90，AB=，点E在AB上，AED=45，DE=6，CE=7求：AE的长及sinBCE的值12、如图，直角梯形ABCD中，ADBC，A=90，AB=AD=6，DEDC交AB于E，DF平分EDC交BC于F，连接EF（1）证明：EF=CF；（2）当tanADE=时，求EF的长题型三：解直角三角形的应用1、如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）A、450a元 B、225a元 C、150a元 D、300a元2、如图，AB是斜靠在墙上的长梯，D是梯上一点，梯脚B与墙脚的距离为1.6m（即BC的长），点D与墙的距离为1.4m（即DE的长），BD长为0.55m，则梯子的长为（）A、4.50m B、4.40m C、4.00m D、3.85m3、如图，太阳光线与地面成60角，一棵倾斜的大树AB与地面成30角，这时测得大树在地面的影长BC为10m，则大树的长为（）mA、5 B、10 C、15 D、204、如图，小明同学在东西走向的文一路A处，测得一处公共自行车租用服务点P在北偏东60方向上，在A处往东90米的B处，又测得该服务点P在北偏东30方向上，则该服务点P到文一路的距离PC为（）A、60米 B、45米 C、30米 D、45米5、如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45改为30已知原传送带AB长为4米（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：1.41，1.73，2.24，2.45）6、如图，河流的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD=50米，某人在河岸MN的A处测得DAN=35，然后沿河岸走了120米到达B处，测得CBN=70求河流的宽度CE（结果保留两个有效数字）（参考数据：sin350.57，cos350.82，tan350.70，sin700.94，cos700.34，tan702.75）7、某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长AB=6m，ABC=45，后考虑到安全因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D处，使ADC=30（如图所示）（1）求调整后楼梯AD的长；（2）求BD的长（结果保留根号）8、某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝其半圆形桥洞的横截面如图所示已知上、下桥的坡面线ME、NF与半圆相切，上、下桥斜面的坡度i=1：3.7，桥下水深=5米水面宽度CD=24米设半圆的圆心为O，直径AB在坡角顶点M、N的连线上求从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长（参考数据：3，1.7，tan15=）题型四：坡度坡角问题及仰角俯角问题1、如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高h=6m，迎水斜坡AB=10m，斜坡的坡角为，则tan的值为（）A、 B、 C、 D、 2、如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）A、5m B、6m C、7m D、8m 3、周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角为45，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角为30她们又测出A、B两点的距离为30米假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则可计算出塔高约为（结果精确到0.01，参考数据：1.414，1.732）（）A、36.21米 B、37.71米 C、40.98米 D、42.48米 4、一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD已知她的眼睛与地面的距离为1.6米，小迪在B处测量时，测角器中的AOP=60（量角器零度线AC和铅垂线OP的夹角，如图）；然后她向小山走50米到达点F处（点B，F，D在同一直线上），这时测角器中的EOP=45，那么小山的高度CD约为（）（注：数据1.732，1.414供计算时选用）A、68米 B、70米 C、121米 D、123米5、如图，已知楼高AB为50m，铁塔基与楼房房基间的水平距离BD为50m，塔高DC为m，下列结论中，正确的是（）A、由楼顶望塔顶仰角为60； B、由楼顶望塔基俯角为60；C、由楼顶望塔顶仰角为30； D、由楼顶望塔基俯角为306、已知小芳站在层高为2.5米的六层楼的屋顶上来估计旁边一支烟囱的高度，当小芳以俯角COB=45向下看时，刚好可以看到烟囱的底部，当小芳以仰角AOB=30向上看时，刚好可以看到烟囱的顶部，若小芳的身高为1.5米，请你估计烟囱的高度（=1.414，=1.732结果保留三个有效数字）（）A、22.1米 B、26.0米 C、27.9米 D、32.8米7、 如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15，山脚B处的俯角为60，巳知该山坡的坡度i（即tanABC）为1：，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC（1）山坡坡角（即ABC）的度数等于30多少度；（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：1.732）8、 如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为（即AB：BC=），且B、C、E三点在同一条直线上请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）题型五：方向角问题1、如图，已知一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15方向，此时灯塔M与渔船的距离是（）A、7海里 B、14海里 C、7海里 D、14海里 2、在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东70方向走了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C，此时小霞在B地的（） A、北偏东20方向上 B、北偏西20方向上 C、北偏西30方向上 D、北偏西40方向上3、如图，小亮家到学校有两条路，一条沿北偏东45方向可直达学校前门，另一条从小明家一直往东，到商店处向正北走100米，到学校后门；若两条路程相等，学校南北走向，学校后门在小明家北偏东67.5处，学校前门到后门的距离是（）A、100米 B、米 C、米 D、米 4、综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米小明先用测角仪在河岸CD的M处测得=36，然后沿河岸走50米到达N点，测得=72请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）（参考数据：sin360.59，cos360.81，tan360.73，sin720.95，cos720.31，tan723.08）5、如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一知输水管道为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5方向，前行1200m，到达点Q处，测得A位于北偏东49方向，B位于南偏西41方向（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；（2）求A，B间的距离（参考数据cos41=0.75）6、如图所示，一艘轮船以30海里/小时的速度向正北方向航行，在A处得灯塔C在北偏西30方向，轮船航行2小时后到达B处，在B处时测得灯塔C在北偏西45方向当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时，求此时轮船与灯塔C的距离（结果精确到0.1海里，参考数据1.41，1.73） 7如图，港口B在港口A的西北方向，上午8时，一艘轮船从港口A出发，以15海里时的速度向正北方向航行，同时一艘快艇从港口B出发也向正北方向航行，上午10时轮船到达D处，同时快艇到达C处，测得C处在D处得北偏西30的方向上，且C、D两地相距100海里，求快艇每小时航行多少海里？（结果精确到0.1海里时，参考数据1.41，1.73）8、（2010陕西）在一次测量活动中，同学们要测量某公园的码头A与他正东方向的亭子B之间的距离，如图他们选择了与码头A、亭子B在同一水平面上的点P在点P处测得码头A位于点P北偏西方向30方向，亭子B位于点P北偏东43方向；又测得P与码头A之间的距离为200米，请你运用以上数据求出A与B的距离练习作业：1、在RtABC中，C=90，B=35，AB=7，则BC的长为（）A、7sin35 B、 C、7cos35 D、7tan35 2、RtABC中，C=90，a、b、c分别是A、B、C的对边那么c等于（）A、acos A+bsin B B、asin A+bsin B C、 D、 3、如图ADCD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sinB=（）A、 B、 C、 D、 4、如图，已知一坡面的坡度i=1：，则坡角为（）A、15 B、20 C、30 D、455、如图所示，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上的E点反射后到达B点，若入射角为，ACCD，BDCD，垂足分别为C，D，且AC=3，BD=6，CD=11，则tan的值