数字信号处理-dsp第二章(02)

第二章 时域离散信号和系统的频域分析 学习目标:,理解时域离散信号的傅里叶变换的几种形式会运用任意方法求z反变换理解时域离散信号的傅里叶变换和z变换的主要性质掌握时域离散系统的系统函数和频率响应，用Z变换求解系统的输出响应。掌握根据系统函数零极点分析系统的因果/稳定性；根据系统的零极点分布分析系统的频率特性。,2.1引言,问题：有两个序列，从波形上看，一个变化快，另一个变化慢，但都混有噪声，希望分别用滤波器滤除噪声，但又不能损伤信号。解：从信号波形观察，时域波形变化快，意味着含有更高的频率，因此两种信号的频谱结构不同，对滤波器的通带范围要求也不同。为了设计合适的滤波器，需要分析信号的频谱结构，将时域信号转换到频率域，分析它的频域特性。傅立叶变换：把信号从时间域转换到实频域。 Z变换：作为傅立叶变换的推广，将信号从时间域转换到复频域。,2.2 时域离散信号的傅立叶变换 2.2.1时域离散信号的傅立叶变换的定义1.时域离散非周期信号（非周期序列）的傅里叶变换DTFT周期、连续频谱,时域的离散化造成频域的周期延拓，而时域的非周期对应于频域的连续2.2.2周期信号的离散傅立叶级数DFS,其中：,注：k无限多个，但只有N个 值独立,注：n无限多个，但只有N个 值独立,周期序列的离散傅里叶级数在频域(即其系数)是一个周期序列。,2.2.3 周期信号的傅立叶变换,1、复指数序列的傅立叶变换表达式模拟系统中：,离散系统中：,2.2.3 周期信号的傅立叶变换,2、一般周期序列的傅立叶变换一般周期序列：,傅立叶变换：,2.2.4 时域离散信号傅立叶变换的性质,1、傅立叶变换的周期性 M为整数2、频域卷积定理,3、傅立叶变换的对称性,定义：共轭对称序列：,共轭反对称序列：,任意序列可表示成xe(n)和xo(n)之和:,其中：,其中：,同样，x(n)的Fourier变换 也可分解成：,对称性质,序列 Fourier变换,实数序列的对称性质,序列 Fourier变换,2.3 时域离散信号的Z变换2.3.1时域离散信号Z变换的定义及其与傅立叶变换的关系,1、z变换的定义序列x(n)的z变换定义为：,z 是复变量，所在的复平面称为z平面,2、z变换和傅立叶变换之间的关系,z变换和傅立叶变换之间的关系,r=1表示单位圆注:傅立叶变换就是Z平面单位圆上的z变换,2.3.2 z变换的收敛域与序列特性之间的关系,对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。 级数收敛的充要条件是满足绝对可和,1）有限长序列,2）右边序列,因果序列,的右边序列，Roc: 因果序列的z变换必在 处收敛在 处收敛的z变换， 其序列必为因果序列,3）左边序列,4）双边序列,给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内,2.3.3 逆 z变换(z反变换),实质：求X(z)幂级数展开式z反变换的求解方法： 部分分式展开法 围线积分法（留数法） 幂级数法（长除法）,z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n),1、部分分式展开法,X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：,对各部分分式求z反变换：,注:在利用部分分式求z反变换时，必须使部分分式各项的形式能够比较容易地从已知的z变换表中识别出来，并且必须注意收敛城 。,当X(z)只有一阶极点时，其可展开成：,2、围线积分法（留数法）,根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域 内是解析的，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即而 其中围线c是在X(z)的环状收敛域内环绕原点的一条反时针方向的闭合单围线。,若F(z)在c外M个极点zm，且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则：,利用留数定理求围线积分，令,若F(z)在围线c上连续，在c内有K个极点zk，则：,留数的计算公式,单阶极点的留数：,思考：n=0,1时，F(z)在围线c外也无极点，为何,3、幂级数法（长除法）,把X(z)展开成幂级数,级数的系数就是序列x(n),根据收敛域判断x(n)的性质，再展开成相应的z的幂级数 将X(z) X(z)的 x(n) 展成z的 分子分母 按z的 因果序列 负幂级数 降幂排列 左边序列 正幂级数 升幂排列,解：由Roc判定x(n)是因果序列，用长除法展成z的负幂级数,解：由Roc判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的正幂级数,三、z变换的基本性质与定理,1、线性若,则,2、序列的移位,若,则,3、时间反转(翻褶序列),若,则,4、乘以指数序列,若,则,证：,5、z域微分(序列的线性加权）,若,则,同理：,6、共轭序列,若,则,证：,7、时域卷积定理(序列的卷积和),设y(n)为x(n)与h(n)的卷积和：,则,且,8、复卷积定理（序列相乘）,若,则,且,9、初值定理,证：因为x(n)为因果序列,10、终值定理,设x(n)为因果序列，且X(z)=ZTx(n)的极点处于单位圆以内（单位圆上最多在z=1处可有一阶极点），则：,11、Parseval定理,若,则,且,2.4 利用Z变换对信号和系统进行分析,2.4 .1 系统的传输函数和系统函数1、LTI系统的系统函数H(z)：表征系统的复频域特性。单位抽样响应h(n)的z变换,其中：y(n)=x(n)*h(n) Y(z)=X(z)H(z),2、系统的传输函数 ：表征系统频率响应特性，又称频率响应。,单位圆上的系统函数H(z),单位抽样响应h(n)的Fourier变换,3、系统的频率响应的意义,1）LTI系统对复指数序列的稳态响应：,2）LTI系统对任意输入序列的稳态响应,其中：,微分增量（复指数）：,总输出 =系统对 的每个复指数分量的响应的叠加,2.4 .2 根据系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性1、因果稳定系统,稳定系统的系统函数H(z)的Roc一定包含单位圆3）因果稳定：Roc：,H(z)须从单位圆到 的整个z域内收敛 即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆内,1）因果：,2）稳定：,序列h(n)绝对可和，即,而h(n)的z变换的Roc：,2.4 .3 用Z变换求解系统的输出响应1、零状态响应与零输入响应,注意：对于移位因果序列的Z变换要用单边Z变换,常系数线性差分方程：,2.4 .3 用Z变换求解系统的输出响应,右边第一项与初始状态无关，只与输入信号有关，称为系统的零状态响应。,第二部分与输入信号无关，只与系统初始状态有关系，则称为零输入响应：,2、稳态响应与暂态响应,假设系统处于零状态，则：,2.4 .4 系统稳定性的测定及稳定时间的计算,1、判断极点是否在单位圆内确定系统的稳定性如果已知系统函数，检查它的极点是否在单位圆内。,2、用单位阶跃信号进行测试在系统的输入端加入单位阶跃序列，如果系统稳定，随着n的增加，输出接近一个常数；如果系统不稳定随着n的增大，输出幅度会无限制增大或者保持震荡。,3、系统稳定时间的确定,如果系统稳定，输入是一个阶跃序列，从数学上讲，只有当n时，才能结束暂态响应。但工程上只要系统输出中暂态响应的幅度减小到最大值的1%，即可认为系统达到