数字图像处理课件-lecture04 image calculations ii

Chapter III.Image Calculations,Dong NingSchool of Instrument Science and Opto-Electronics EngineeringHefei University of TechnologyEmail: ,Outline,Mathematics BasicsPoint CalculationsAlgebra CalculationsGeometric Calculations,DIP的数学基础,Mathematics Basics,3,Outline,线性移不变系统调谐信号的频率响应分析传递函数 Transfer Function卷积与滤波 Convolution & Filter二维系统傅立叶变换 Fourier Tranform,4,移不变系统,5,系统：给定输入u(t)，输出y(t),自变量平移之后满足：,输入延迟T-输出延迟T、幅值不变,调谐信号的频率响应分析,调谐信号对一个线性移不变系统得到的系统输出响应：,6,线性移不变系统中，对于调谐信号的响应满足：,7,线性移不变系统的调谐信号输入总产生同样频率的调谐信号输出,调谐信号的频率响应分析,Transfer Function,系统传递函数：描述输出信号和输入信号之间的关系写成极坐标的形式：,8,卷积和滤波,卷积的定义,9,卷积运算的基本性质,根据卷积的定义，很容易推导出：交换律结合律分配率求导,10,离散卷积,连续信号 离散信号连续函数离散化 以求和取代卷积u(i) 长度为N1h(i) 长度为N2,11,卷积和序列y(i)的长度为N=N1+N2-1,滤波,卷积运算在信号处理和图像处理中通常称为滤波一个线性移不变系统输入和输出之间的关系，既可以采用传递函数来描述，也可以用卷积的形式来描述线性移不变系统的输出可通过输入信号与系统的冲击响应函数h(t)的卷积得到,12,冲击响应函数,当系统的输入为单位冲击函数时，其输出为：,13,系统的输出与系统的特征函数相同,我们一般把系统的特征函数又称为冲击响应函数,二维位置不变线性系统,对一个给定的二维系统，输入f(x,y)，产生输出g(x,y)如果将输入信号的自变量x,y分别平移x0,y0输出信号的函数形式不变，同样也平移x0,y0,14,二维位置不变线性系统,二维位置不变线性系统,以卷积的形式：二维离散系统,15,二维系统的梯度算子,连续系统梯度向量幅度： 角度（相位）,16,二维离散系统梯度算子,dx=dy=1幅度：,17,Fourier Transform,图像处理中的变换方法：一维实函数的傅里叶变换反变换,18,正交、可逆,傅里叶变换,f(x)和F(u)被称为傅里叶变换对一一对应：f(x)和F(u)具备唯一性F(u)是一个复函数幅度谱、相位谱、功率谱,19,典型函数的傅里叶变换,20,1,t,0,1,0,x,0,0,典型函数的傅里叶变换,周期函数矩形函数,21,二维连续傅里叶变换,22,傅里叶频谱、相位谱、功率谱,离散傅里叶变换,抽样一维离散傅里叶变换,23,离散傅里叶变换,f(x)和F(u)傅里叶变换对x空间域采样间隔u频率域采样间隔,24,离散函数的傅立叶变换,例如：对一维信号f(x)=1 0 1 0进行傅立叶变换,25,26,u=0时,u=1时,离散函数的傅立叶变换,27,u=2时,u=3时,离散函数的傅立叶变换,28,在N=4时，傅立叶变换以矩阵形式表示为,离散函数的傅立叶变换,幅度谱和相位谱,29,幅度谱和相位谱,幅度谱告诉我们图像中某种频率的成份有多少相位谱告诉我们频率成份位于图像的什么位置通常我们只关心幅度谱下面两个图对应的幅度谱是一样（这里只显示了其幅度谱，当然相位谱是不一样的）,30,幅度谱和相位谱,从幅度谱中我们可以看出明亮线和原始图像中对应的轮廓线是垂直的。如果原始图像中有圆形区域那么幅度谱中也呈圆形分布,31,幅度谱和相位谱,图像中的颗粒状对应的幅度谱呈环状，但即便只有一个颗粒，其幅度谱的模式仍然保持不变。,32,二维离散傅里叶变换,抽样二维离散傅里叶变换,33,常见二维傅立叶变换结果,34,常见二维傅立叶变换结果,Sinusoidal,35,常见二维傅立叶变换结果,Rectangle,36,37,离散傅立叶变换建立了函数在空间域与频率域之间的转换关系。在数字图像处理中，经常要利用这种转换关系及其转换规律，下面将介绍离散傅立叶变换的若干重要性质,二维离散傅立叶变换的若干性质,38,DFT的周期性和共轭对称性,若离散的傅立叶变换和它的反变换周期为N，则有傅立叶变换存在共轭对称性 这种周期性和共轭对称性对图像的频谱分析和显示带来很大益处,F(u,v)=F(u+M,v)=F(u,v+N)=F(u+M,v+N),F(u,v)=F*(-u,-v),39,一个二维傅立叶变换可由连续两次一维傅立叶变换来实现,二维DFT的可分离性,二维DFT的可分离性,40,对图像的每一行施行一维离散傅立叶变换f(x,y) F(u,y)再对每一列施行一维离散傅立叶变换F(u,y) F(u,v),41,平面直角坐标改写成极坐标形式：,做代换有：,二维DFT的旋转特性,如果 被旋转 ,则 会被旋转同一角度,即有傅立叶变换对,二维DFT的旋转性质,42,原图像及其傅里叶变换,旋转后图像及其傅里叶变换,线性叠加,k1 f(x,y) + k2 g(x,y) k1 F(u,v) + k2 G(u,v),43,a)Image A;b)Image B;c)0.25 * A + 0.75 * B,a)spectrum A;b)spectrum B;c)0.25 * A + 0.75 * B,卷积定理,时域（或空域）中的卷积等价于频域的乘积。,44,傅立叶频谱的图像显示,45,频谱的频域移中,频谱的频域移中,46,频谱的频域移中,47,设：u0=v0=N/2,48,二维傅立叶频谱的频域移中,二维离散傅里叶变换的基本特性小结,线性特性比例特性,49,二维离散傅里叶变换的基本特性小结,平移特性可分离性,50,二维离散傅里叶变换的基本特性小结,周期性共轭对称性,51,二维离散傅里叶变换的基本特性小结,旋转不变性微分特性,52,二维离散傅里叶变换的基本特性小结,平均值特性卷积定理,53,图像的傅立叶变换,54,图像的傅立叶频谱,55,图像的傅立叶变换的应用,56,幅度谱与相位谱,57,58,对DIP中变换的总结：向量基础,三维空间：原点，三个坐标轴,P: ( x,y,z),59,向量基础,三维空间：原点，三个坐标轴,P的三个坐标值分别是该点在三个坐标轴上的投影长度,60,向量基础,三维空间：原点，三个坐标轴,O,X,Y,Z,矢量是只有大小和方向，没有起点的量，图中矢量也使用三个坐标值来表示，但是它可以平移到任何一点开始,矢量可以按照平行四边形法则进行合成，见矢量p,61,基向量及坐标,基向量,O,X,Y,Z,其中 称为向量点积，也叫内积,62,基向量及坐标,对于上述点积定义，容易得出如下式子由 构成的基称为单位正交基，三维空间中的任意向量都可以由这组基的线性组合得到,63,多维空间无限维空间,推广1：n维空间向量基向量个数n个点积：任意向量可以表示成基向量的线性组合,64,多维空间无限维空间,推广1：无限维空间向量 取实数推广2：基向量个数无限个 取实数点积：任意向量可以表示成基向量的线性组合,65,基函数合成任意函数,底部的周期函数由四个不同频率的波函数线性组合而成图中可以看出不同频率的波函数决定了最终函数的不同尺度细节信息,66,基函数合成任意函数,67,基函数合成任意函数,68,基函数合成任意函数（二维情况）,69,基函数合成任意函数（二维情况）,70,图像变换,将空域中的信号变换到另外一个域，即使用该域中的一组基函数的线性组合来合成任意函数单位正交基函数（相同基函数内积为1，不同基函数的内积为0）使用这组基函数的线性组合得到任意函数f，每个基函数的系数就是f与该基函数的内积,71,基于DCT变换的图像压缩技术,DCT变换编码效果,72,原始图像,压缩比为8:1erms = 0.0489,压缩比为2:1erms =0.0359,JPEG编码,在JPEG图像压缩算法中，首先将输入图像划分为88的方块，然后对每一个方块执行二维离散余弦变换，最后将变换得到的量化的DCT系数进行编码和传送，形成压缩后的图像格式。在接受端，将量化的DCT系数进行解码，并对每个88方块进行二维IDCT，最后将操作完成后的块组合成一幅完整的图像。,73,74,典型的区域模板,区域编码,具有最大方差的变换系数携带着图像大部分信息并在编码处理的过程中应该保留下来。,区域取样处理可看成每个T(u,v)与相应的区域模板中的元素相乘。最大方差的系数通常被定位在图像变换的原点周围,对区域取样过程中保留的系数必须进行量化和编码。因此，区域模板有时表示成对每个系数编码的比特数。两种分配方案：给系数分配相同的比特数给系数不均匀地分配几个固定数目的比特数,(a),(b),JPEG编码,75,典型的阈值模板和系数排序序列,阈值编码(门限编码),对任何子图像,最大量级的变换系数对重构子图像的品质具有最大的影响。因为不同子图像的最大系数的位置是变化的,所以通常将 m(u,v)T(u,v) 的元素重新排列成一个一维行程编码,JPEG编码,数字图像的点运算,Point Calculations,76,点运算,输出像素的每个像素点的灰度值仅有输入图像对应的像素点灰度值决定与邻域无关，不改变图像内的空间位置关系可分为线性点运算与非线性点运算,77,线性点运算,78,输出灰度级与输入灰度级呈线性关系的点运算。即：,255,255,DA,DB,0,f(DA)=aDA+b,b,如果a1，输出图像的对比度增大,255,218,48,提高对比度,255,0,提高对比度举例,如果a1,输出图像的对比度减小,255,255,142,0,降低对比度,降低对比度举例,0,255,255,如果a1，b0，操作仅使所有像素的灰度值上移或下移，其效果是使整个图像更暗或更亮,0,255,255,整个图像更亮,0,255,255,整个图像更暗,如果a1，b0时，输出、输入图像相同,0,255,255,如果a为负值，暗区域将变亮，亮区域将变暗,0,255,255,线性点运算公式 当图象成像时曝光不足或过度, 或由于成像设备的非线性和图像记录设备动态范围太窄等因素,都会产生对比度不足的弊病，使图像中的细节分辨不清. 这时可通过点运算将灰度范围线性扩展. 设f(x,y)灰度范围为a,b，g(x,y)灰度范围为c,d. 则线性点运算公式为:,线性点运算公式,点运算在Matlab中的实现,88,imadjust(f, li hi,lo ho),分段线性点运算 将感兴趣的灰度范围线性扩展，相对抑制不感兴趣的灰度区域。 设f(x,y)灰度范围为0,Mf，g(x,y)灰度范围为0,Mg,分段线性点运算如下图所示:,分段线性点运算公式,Piecewise Linear Transformation,92,Gray Level Slicing,93,非线性点运算,94,对比度拉伸,拉伸效果：图像加亮、减暗,常用点运算,96,Gamma修正,97,98,Original Image,99,Negative Transform,100,Original Image,101,Nonlinear: Log Transform,102,Original Image,103,Nonlinear: Power Law Transform,104,Original Image,105,Piecewise Linear,106,4-bit Gray Level,107,3-bit Gray Level,108,1-bit Gray LevelThresholding,109,Original Image,110,Negative Effect,111,Red to Zero,112,Red & Green to Zero,数字图像的代数运算,Algebra Calculations,113,代数运算,数字图像处理中，代数运算是指对输入的两幅图像进行点对点的加、减、乘、除而得到目标图像的运算输入可以是多幅图像加：去噪、二次曝光。减：去除背景、比较两幅图像之间的变化。乘：响应校正、掩模运算。除：色彩和多光谱分析,114,115,图像加法,图像加法可以在两幅或者多幅图像中进行，不过在执行加法后需要取平均值注意上式中左右图像均为g，只是下标不一样，如此安排是因为：图像加法更多是在相同场景的不同时刻的图像之间进行,116,图像加法,设对一场景进行拍摄，但结果图像可能会被噪声污染，这可以通过图像加法解决设图像被噪声污染，该噪声均值为0，方差为 ，显然方差越大，噪声越强,117,图像加法,根据式,当K增加时，在结果图像中各像素点的噪声影响会越来越小，因此会越来越趋近于原始图像f(x,y),118,图像加法,原图像和噪声图像,81664128幅图像取平均,平均后图像与原图像的差值及差图像直方图,生成图象叠加效果：可以得到各种图像合成的效果，也可以用于两张图片的衔接,120,图像减法,设有两幅图像f(x,y)和h(x,y),两者的差图像定义为：当用一幅包含目标的图像减去背景图像，则差图像就是只包含目标的图像了，这有助于我们去除不太重要的背景信息，而提取出比较感兴趣的目标物同一场景下，通过减法分辨场景的变化,121,图像减法,掩膜式X光成像法：在注入碘元素之前拍摄的背景图像，注入碘元素后视频拍摄的图像减去掩膜图像,脊柱,122,图像的减法用于图像的分离,123,差影法,指把同一景物在不同时间拍摄的图像或同一景物在不同波段的图像相减;差值图像提供了图像间的差异信息，能用于指导动态监测、运动目标检测和跟踪、图像背景消除及目标识别等。,差影法在自动现场监测中的应用,在银行金库内，摄像头每隔一固定时间拍摄一幅图像，并与上一幅图像做差影，如果图像差别超过了预先设置的阈值，则表明可能有异常情况发生，应自动或以某种方式报警；用于遥感图像的动态监测，差值图像可以发现森林火灾、洪水泛滥，监测灾情变化等；也可用于监测河口、海岸的泥沙淤积及监视江河、湖泊、海岸等的污染；利用差值图像还能鉴别出耕地及不同的作物覆盖情况。,设： 时刻1的图像为T1(x,y)， 时刻2的图像为T2(x,y) g(x,y) = T2 (x,y) - T1(x,y),T1(x,y),T2(x,y),g(x,y),127,图像减法,减法处理中的问题：出现负数处理办法，使用对比拉伸,128,图像减法,减法处理中的问题：出现负数有效利用灰度级范围,图像的乘法,C(x,y) = A(x,y) * B(x,y) 主要应用举例 图像的局部显示,129,图像的局部显示,图像的除法,C(x,y) = A(x,y)/ B(x,y)色彩、多光谱分析处理（遥感等领域）,131,数字图像的几何运算,Geometric Calculations,132,图像的几何运算,图像的几何变换是指图像处理中对图像平移、旋转、放大和缩小，这些简单变换以及变换中灰度内插处理等。 几何变换可能改变图像中各物体之间的空间位置关系。,133,几何变换不改变像素值，而可能改变像素所在的位置。,几何运算的类型,空间变换灰度插值,134,空间变换,齐次坐标 几何变换一般形式,根据几何学知识，上述变换可以实现图像各像素点以坐标原点的比例缩放、反射、错切和旋转等各种变换，但是上述22变换矩阵T不能实现图像的平移以及绕任意点的比例缩放、反射、错切和旋转等变换。,为了能够用统一的矩阵线性变换形式，表示和实现这些常见的图像几何变换，就需要引入一种新的坐标，即齐次坐标。采用齐次坐标可以实现上述各种几何变换的统一表示。,如图所示，则新位置A1(x1，y1) 的坐标为：,表示为如下形式 即不能表示为如下形式：,由于矩阵T中没有引入平移常量，无论a、b、c、d取什么值，都不能实现式平移功能。 不能实现平移变换功能，怎么办?需要进行改进。,将T矩阵扩展为如下23变换矩阵，其形式为：,根据矩阵相乘的规律，在坐标列矩阵x y T中引入第三个元素，扩展为31的列矩阵x y 1T,就可以实现点的平移变换。变换形式如下：,上述变换虽然可以实现图像各像素点的平移变换，但为变换运算时更方便，一般将23阶变换矩阵T进一步扩充为33方阵，即采用如下变换矩阵：,这样一来,平移变换可以用如下形式表示：,这种以n+1维向量表示n维向量的方法称为齐次坐标表示法。齐次坐标的几何意义相当于点(x，y)投影在xyz三维立体空间的z=1的平面上。,图像的平移,注意：平移后的景物与原图像相同，但“画布”一定是扩大了。否则就会丢失信息。,图像的缩小 图像的缩小一般分为按比例缩小和不按比例缩小两种。图像缩小之后，因为承载的信息量小了，所以画布可相应缩小。,空间变换,图像按比例缩小： 最简单的是减小一半，这样只需取原图的偶（奇）数行和偶（奇）数列构成新的图像。,图像不按比例缩小： 这种操作因为在x方向和y方向的缩小比例不同，一定会带来图像的几何畸变。,图像的放大 图像的缩小操作中，是在现有的信息里如何挑选 所需要的有用信息。 图像的放大操作中，则需对尺寸放大后所多出来的空格填入适当的值，这是信息的估计问题，所以较图像的缩小要复杂一些。,空间变换,按比例放大图像 如果需要将原图像放大k倍，则将一个像素值添在新图像的k*k的子块中。,放大5倍,图像的任意不成比例放大： 这种操作由于x方向和y方向的放大倍数不同，一定带来图像的几何畸变。 放大的方法是： 将原图像的一个像素添到新图像的一个k1*k2的子块中去。