动态电路的暂态分析

第七章动态电路的暂态分析 第一节换路定律与初始值的计算第二节一阶电路的零输入响应第三节一阶电路的零状态响应第四节一阶电路的全响应第五节一阶电路的三要素法第六节RLC串联电路的零输入响应第七章小结 仅含有电阻性元件 包括独立电源和受控电源 的电路 1 选择合适的电路变量 根据基尔霍夫定律和元件的伏安关系 建立描述电路的微分方程 2 求解微分方程 从而求得有关电路变量 3 再根据这些电路变量求解其他待求变量 电路 电阻性电路 动态电路 含有动态元件 即储能元件 的电路 分析动态电路的方法 代数方程 微分方程 时域分析法 以时间作为自变量来分析电路的方法 第一节换路定律与初始值的计算 1 稳态 电路在直流或周期性电源作用下 所产生的各支路电压和电流都是直流或都是幅值恒定的周期性的电压或电流 则电路的这种工作状态称为稳定状态 简称稳态 2 过渡过程 电路从一种稳定状态转变到另一种稳定状态所经历的过程 3 暂态 电路在过渡过程中的工作状态称为暂态 电路的过渡过程 一 过渡过程的概念 4 电路中产生过渡过程的必要条件 1 电路结构或电路元件参数值发生变化 2 电路中存在储能元件 电路的过渡过程 5 研究过渡过程的目的 1 便于利用过渡过程的特性 以实现某种技术利用 2 便于采取措施 防止因过渡过程的出现而产生的危害 二 换路定律 1 换路 电路结构和元件参数值的突然改变 电路的接通 断开 短路及电路连接方式的变更 电路中R L C元件的电阻 电感 电容及电压源的电压 电流源的电流 对于交流电源来说是指电压或电流的幅值 发生变化 2 换路定律 当电容元件中的电流在换路瞬间为有限值时 电容元件的电压在换路瞬间不会发生跃变 当电感元件的电压在换路瞬间为有限值时 电感元件中的电流在换路瞬间不会发生跃变 初始值 电路变量在t 0 时刻的值 三 初始值的计算 电容元件的初始状态 电容元件的电压或电荷的初始值 电感元件的初始状态 电感元件的电流或磁链的初始值 电路的初始状态 电路中所有独立储能元件的初始状态的全体 例7 1 图 a 所示电路在开关S打开之前处于稳定状态 在t 0时 将开关S打开 试求电路中的电流 电容元件的电压和电阻元件的电压的初始值 解选定有关参考方向如图 a 所示 1 由已知条件可知 2 由换路定律可知 3 求其它各电流 电压的初始值 画出t 0 时刻的等效电路 如图 b 所示 由于uC 0 4V 所以在等效电路中电容相当于电压源 故有 例7 2 图 a 所示电路中 US 12V R1 2 R2 4 R3 6 在t 0时打开开关S 设开关打开前电路已处于稳态 试求iL 0 iC 0 u2 0 uL 0 uC 0 解 1 计算换路前的uC 0 iL 0 图 a 换路前的等效电路为图 b 有 2 由换路定律可知 3 求其它各电流 电压的初始值 画出t 0 时刻的等效电路 如图 c 所示 可求得 初始值的计算步骤 1 由换路前的电路计算出电容元件的电压uC和电感元件的电流iL 确定它们在t 0 时的值uC 0 和iL 0 2 根据换路定律 确定电容元件和电感元件电流的初始值uC 0 和iL 0 3 画出换路后初始瞬间 即t 0 时刻 的等效电路 在等效电路中 原电路中的电容元件用一个电压为uC 0 的电压源替代 电感元件用电流为iL 0 的电流源替代 4 采用计算电阻性电路的方法 计算换路后初始瞬间的等效电路 秋初所要求的电路变量的初始值 第二节一阶电路的零输入响应 响应 电路中所产生的电压 电流等信号 激励 能够在电路中产生相应的信号 零输入响应 输入信号为零 仅由初始状态产生的响应 零状态响应 电路的初始状态为零 仅由输入信号产生的响应 全响应 由输入信号和初始状态共同作用而产生的响应 一 RC电路的零输入响应 1 换路前 开关合于位置1 电路处于稳态 电容元件已充电 其电压为U0 U0 US 开关合至位置2的最初瞬间 由于电路中的电流不是不穷大 电容元件的电压不能跃变 电容元件中的电压仍保持为U0 即uC 0 U0 2 换路后 电路脱离电源 电容元件两极上的正负电荷不断的地中和 直至电容元件两极上的电荷全部中和 电路中电压均为零时 电路暂态过程告以结束 电路进入稳态 换路后电路所经历的物理过程 实际上就是电容元件的放电过程 a RC串联电路的短路 b 换路后的动态电路 1 物理过程分析 2 暂态过程的数学分析 换路后的电路如图 b 所示 在图示参考方向下 根据KVL 可得 由元件的伏安关系得出 将上述伏安关系式代入KVL方程 可得到一个以uC为变量的电路方程 a RC串联电路的短路 b 换路后的动态电路 特征方程为 特征根为 通解为 由换路前的电路 得 uC 0 U0 US 根据换路定律 得 再根据电路的初始条件 确定通解中的积分常数 一阶线性常系数齐次微分方程 特解为 由uC可求出电路中的其他响应 RC电路零输入响应的变化曲线 a uC uR的变化曲线 b i的变化曲线 时间常数 R和C的乘积称为RC电路时间常数 用表示 3 时间常数 RC电路零输入响应的变化曲线 a uC uR的变化曲线 b i的变化曲线 解法一 1 根据换路定律 确定电路的初始条件 根据换路前的电路 计算出电容元件电压在t 0 时的值为 开关S打开时 根据换路定律 电容元件电压的初始值为 2 根据基尔霍夫定律和元件的伏安关系 列写出描述换路后的电路的微分方程 例7 3 在图 a 所示电路中 开关S打开前电路已处于稳态 在t 0时 将S打开 试求t 0时的电压uC和电流i 并作出它们随时间变化的曲线 3 求微分方程的通解 该微分方程特征方程为 特征根为 微分方程的通解为 4 根据电路的初始条件 确定微分方程通解中的积分常数 从而求得微分方程的特解 即待求电路响应 微分方程的特解为 5 由求得的电路响应 求得其他响应 由uC可求得电流 解法二 直接应用由前面分析得到的RC电路零输入响应的计算公式进行计算 计算电路的初始条件 根据初始条件 确定微分方程通解中的积分常数 将换路后的电路变换后的等效电路如图 c 所示 计算换路后的电路中的等效电阻 计算电路的时间常数 求得电容元件的电压 由电容元件的电压 求得电路中电流 a RL串联电路的短路 二 RL电路的零输入响应 b 换路后的动态电路 在开关S刚闭合瞬间 因电流不是无穷大 电阻R上的电压不是无穷大 电感元件的电压不可能是无穷大 因而电感元件的电流不会跃变 所以电流的初始值为 从能量观点看 换路后电路的过渡过程就是电感元件中磁场能量不断释放的过程 即电感元件的灭磁过程 1 物理过程分析 根据换路前电路 确定时电感元件中电流 即 根据换路定律 求电感元件中电流初始值 即 对换路后的电路应用KVL 求得 2 暂态过程的数学分析 a RL串联电路的短路 b 换路后的动态电路 根据元件的伏安关系可得 由元件伏安关系式代入KVL方程 可以得到一个以iL为未知变量的电路方程 即 该一阶线路线性常系数齐次微分方程的特征方程为 特征根为 该微分方程的通解为 将电路的初始条件i 0 I0代入上式 求得积分常数 微分方程的特解 由电感元件的电流iL可求得电路中其它响应 RL电路零输入响应的变化曲线 a uR uL的变化曲线 b iL的变化曲线 RL电路的零输入响应都是按指数规律衰减 RL电路中的电感L与电阻R的比值称为RL电路的时间常数 3 时间常数 1 的单位 秒 s 2 的物理意义 为零输入响应由任一数值开始 衰减到原来值的1 e 约36 8 所需要的时间 RL电路中的零输入响应衰减的快慢取决于L和R的大小 例7 4 在图 a 所示电路中 t 0时开关S由1合至2 此前电路处于稳态 试求t 0时iL和uL 解根据换路定律 确定电感元件电流的初始值为 换路后的等效电路如图 b 所示 图中 电路的时间常数为 可得电感元件得电流和电压 三 零输入响应的一般形式 一阶电路的零输入响应具有共同的形式 即 结论 1 一阶电路的零输入响应总是由初始值开始按指数规律衰减 直至为零 2 零输入响应衰减的速率取决于电路的时间常数 电路的时间常数取决于电路结构和元件参数 3 零输入响应取决于电路初始状态 电路结构和元件参数值 f 0 响应变量的初始值 电路的时间常数 第三节一阶电路的零状态响应 RC电路的零状态响应 RC电路的零状态响应 1 物理过程分析 RC串联电路与直流电压源接通后 电路中所发生的电磁过程就是电容元件的充电过程 从能量观点来看 电容元件的充电过程就是其电场能量不断积累的过程 换路后初瞬 电容元件中的电场能量为零 充电过程中 电容元件不断地从电源吸取能量 并把它转变为电场能量 储存于自身之中 充电结束时 电容元件所储存的电场能量为 CUS2 2 充电过程中电源提供的能量 电场能量 储存于电容元件 热能 被电阻吸收 耗散 2 暂态过程的数学分析 根据换路定律 有 根据KVL 得 由元件的伏安关系得出 RC电路的零状态响应 整理得 非齐次微分方程所对应的齐次微分方程为 其通解为 非齐次微分方程式的一个特解为 根据初始条件uC 0 可确定积分常数 由此可求得电路中的其他响应 RC电路零状态响应的变化曲线 a uR uC的变化曲线 b i的变化曲线 解 1 根据换路定律 确定电路的初始状态 2 根据基尔霍夫定律和元件的伏安关系 建立描述换路后的电路的微分方程 由KVL得 由元件得伏安关系得 例7 5 在图示电路中 US 12V R1 12 R2 6 C 0 5F uC 0 0 试求t 0时的uC iC i1 i2 由以上式代入整理后 可得到一个以uC为未知变量的一阶线性常系数非齐次微分方程 即 由KCL得 代入数据 其根为 该齐次微分方程的通解为 因为换路后电路相应的稳态响应就是非齐次微分方程的一个特解 所以 5 根据电路的初始状态 确定非齐次微分方程通解中的积分常数 从而求得非齐次微分方程的特解uC 6 由已求得的电路变量求出其他电路变量 二 RL电路的零状态响应 RL电路的零状态响应 1 物理过程分析 从能量观点来看 RL串联电路接通直流电压源的过渡过程 就是电感元件中的磁场能量不断积累的过程 换路前 电感元件中的储能为零 换路后 电感元件不断地从电源吸取电能 并把它转变为磁场能量 储存于自身之中 过渡过程结束时 电感元件所储存的磁场能量为L US R 2 2 在整个过渡过程中 电源不断地向其外部电路提供能量 电源所提供的能量一部分转换为磁场能量 储存于电感元件的磁场中 另一部分则被电阻转变为热能而耗散掉 2 暂态过程的数学分析 根据换路定律 根据KVL 得 由元件得伏安关系得出 代入整理得 换路后的电路的相应的稳态响应就是非齐次微分方程式的特解 因此 非齐次微分方程的特解为 进而求得 根据电路的初始条件i 0 0 可得 RL电路零状态响应的变化曲线 a uL uR的变化曲线 b i的变化曲线 例7 6 图 a 所示电路中 t 0时开关闭合 开关闭合前电感元件中的电流为零 试求t 0时的iL和uL 解首先应用戴维南定理 将图 a 所示电路等效变换为图 b 所示电路 戴维南等效电路中 电路的时间常数为 三 零状态响应的一般形式 式中 1 为电路的时间常数 它决定于电路结构和元件参数值 2 fS t 为电路的稳态响应 在t 时的响应 3 fS 0 为电路的稳态响应的初始值 即t 0 时稳态响应的值 注意 只有在电路的稳态响应fS t 存在的情况下 才能直接应用上式来求解零状态响应 第四节一阶电路的全响应 一 全响应的求解 求解一阶电路的全响应的方法与一阶电路的零状态响应的求解方法基本相同 区别仅在于初始条件不同 1 时域分析法求解一阶电路全响应的具体步骤 1 根据换路定律 计算电容元件电压的初始值或电感元件电流的初始值 确定电路初始条件 2 根据基尔霍夫定律和元件的伏安关系 建立描述换路后的电路的微分方程 3 求非齐次微分方程所对应的齐次微分方程的通解 4 求非齐次微分方程的特解 从而求得非齐次微分方程的通解 5 由电路的初始条件 确定通解中的积分常数 从而求得非其齐次微分方程的特解 待求响应变量 6 由已求出的响应变量求出其他响应变量 2 举例说明全响应的求解方法 图示电路中开关S在t 0时闭合 开关闭合前电容元件已充电 其电压为U0 试求t 0时的电压uC 根据换路定律 求得电容元件电压的初始值 根据KVL和元件的伏安关系 建立以电容元件电压uC作为未知变量的微分方程 此方程所对应的齐次微分方程的通解为 RC 时间常数 上述非齐次微分方程的一个特解为 通解为 由电路的初始条件uC 0 U0得 RC电路全响应的变化曲线 二 全响应的分解 1 全响应可分解为零输入响应和零状态响应的叠加 即 全响应 零输入响应 零状态响应 一阶线性定常电路的全响应可以表示为 例如 一阶线性定常电路的全响应分解为如下形式 2 全响应可分解为瞬时分量和稳态分量的叠加 即 全响应 稳态分量 暂态分量 例如 第五节一阶电路的三要素法 三要素公式 式中 1 f t 为电路的响应变量 它可以是电路中任一支路电流 任意两节点间的电压 2 fS t 为响应变量的稳态分量 3 fS 0 为响应变量稳态分量的初始值 4 为电路的时间常数 二 三要素的确定 2 稳态分量fS t 及其初始值fS 0 的计算 1 画出换路后的稳定状态的等效电路 若换路后是一个直流稳态电路 则电路中电容元件相当于开路 电感元件相当于短路 若换路后是一个正弦稳态电路 则可用相量模型来表示该稳态电路 2 应用稳态电路的计算方法 计算稳态等效电路 求出待求响应变量的稳态分量fS t 3 将t 0 代入响应变量的稳态分量fS t 的函数式中 求出稳态分量的初始值fS 0 三 三要素法的应用举例 例7 7 图 a 所示电路换路前已达稳态 t 0时开关闭合 试求t 0时的电流i 解 1 根据换路前的电路 计算换路前电容元件电压uC 将t 0 代入uC的表达式 从而确定uC 0 换路前的稳态电路中电容元件相当于开路 换路前的稳态等效电路如图 b 所示 由图 b 电路可求得 2 根据换路定律 3 画出t 0 时刻的等效电路 如图 c 所示 应用计算电阻性电路的方法 计算出响应变量的初始值 由图 c 电路可求得 4 画出换路后的稳态等效电路 应用稳态电路的分析方法 计算出响应变量的稳态分量 将t 0 代入稳态分量的函数式 求得稳态分量的初始值 t 时 电容元件相当于开路 此时的等效电路如图 d 所示 由图 d 电路 可求得 6 将所求得三个要素的数值代入三要素公式 从而求得待求响应变量 1 根据换路前的电路计算电感元件的电流iL 确定t 0 时电感元件的电流i 0 开关闭合前i 0 所以 2 根据换路定律 确定电感元件电流的初始值i 0 因为开关闭合时电感元件的电压不可能是无穷大 所以 3 画出换路后的稳态等效电路 应用稳态电路的分析方法 计算出响应变量的稳态分量 将t 0 代入稳态分量的函数式中 求得稳态分量的初始值 本例中换路后的稳态电路是一个正弦稳态电路 可用相量模型表示 如图 b 所示 稳态响应可按正弦稳态电路的计算方法来求解 解 电路的复阻抗为 式中 电源电压的相量为 稳态电流的相量为 其中 稳态电流的有效值为 稳态电流的函数式为 将t 0 代入稳态电流的函数式 求得稳态电流得初始值为 4 计算换路后的电路的时间常数 5 将所求得的三个要素的数值代入三要素公式 写出待求响应变量的表达式 电路电流的表达式为 此时 电流中没有暂态分量 电路没有过渡过程 开关闭合后立即进入稳定状态 RL串联电路与正弦电压接通时 电路中电流的暂态分量的大小与开关闭合的时刻有关 即换路后电路的过渡过程与开关动作的时刻有关 所以 电路中的电流等于其稳态分量 即 电路中的电流为 若开关闭合时 则合闸后电流的暂态分量最大 合闸后大约经过半个周期的时间 电路中电流的瞬时绝对值达到最大 其值接近于稳态电流幅值的两倍 第六节RLC串联电路的零输入响应 以图示电路为例来说明二阶电路的分析方法及RLC串联电路暂态过程的特性 RLC串联电路的零输入响应 开关S在t 0时打开 开关打开前电路达到稳态 二阶电路 含有两个独立的储能元件的电路 一 暂态过程的数学分析二 物理过程分析 一 暂态过程的数学分析 1 选择合适的电路变量作为直接求解变量 根据基尔霍夫定律和元件的伏安关系 建立描述电路的微分方程 由元件的伏安关系得出 代入KVL方程 整理后得 通常以电容元件电压uC或电感元件电流iL作为直接求解的变量 这里选择uC作为直接求解变量 在图示参考方向下 根据KVL可得 根据换路前的电路 求出换路前电容元件的电压和电感元件的电流 确定t 0 时电容元件的电压和电感元件的电流分别为 根据换路定律 确定电容元件电压和电感元件电流的初始值为 2 根据换路定律 确定电路的初始条件 该微分方程的特征方程为 特征根为 3 求齐次微分方程的通解 二阶线性常系数齐次微分方程 求其通解的过程如下 阻尼系数 谐振角频 根据特征根的不同情形写出齐次微分方程的通解 阻尼系数 谐振角频 4 根据电路的初始条件 确定微分方程通解中的积分常数 从而求出微分方程的特解 待求响应变量 再由此响应求出其他响应变量 1 过阻尼情况 过阻尼情况下的uC uL uR和iL的波形 2 临界阻尼情况 3 欠阻尼情况 4 无损耗情况 二 物理过程分析 1 过阻尼情况 过阻尼情况下的能量转换过程 过阻尼情况下的uC uL uR和iL的波形 过阻尼情况下 电容元件始终处于放电状态 放电过程中电容元件上的电压和电路中的电流大小变化而方向不变 它们的变化是非周期性的 过渡过程中电容元件与电感元件之间的能量传递是单向的而不是往返的周期性的互换 非周期放电过程 非振荡放电过程 或 2 临界阻尼情况 过阻尼情况下的uC uL uR和iL的波形 临界阻尼情况下的uC uL uR和iL的波形 波形图 临界阻尼与过阻尼情况下uC uL uR和iL的波形相似 物理过程 临界阻尼与过阻尼电路中所发生的物理过程也类似 临界阻尼情况下 电路中的过渡过程仍是非周期性的 非振荡的 临界的非振荡放电过程 3 欠阻尼情况 欠阻尼情况下的能量转换过程 图 a 所示 图 b 所示 图 c 所示 欠阻尼情况下的uC uL uR和iL的波形 4 无损耗情况 无损耗情况下的uC uL uR和iL的波形 无损耗情况下 uC uL和iL的为幅值恒定的正弦量 电容元件与电感元件之间永不停息地进行着往返的周期性的能量互换 无阻尼振荡过程或等幅振荡过程 第七章小结 1 换路定律 换路定律的内容 若换路瞬间电容元件的电流为有限值 则电容元件的电压在换路瞬间不可能发生跃变 若换路瞬间电感元件的电压为有限值 则电感元件的电流在换路瞬间不可能发生跃变 换路定律的数学表达式为 2 初始值的计算 1 由换路前的电路计算出电容元件uC的电压和电感元件iL的电流 确定它们在t 0 时的值uC 0 和iL 0 2 根据换路定律 确定电容元件电压和电感元件电流的初始值uC 0 和iL 0 3 画出换路后初始瞬间 即t 0 时刻 的等效电路 在等效电路中 原电路中的电容元件用一个电压为uC 0 的电压源替代 电感元件用电流为iL 0 的电流源替代 4 采用计算电阻性电路的方法 计算换路后初始瞬间的等效电路 求出所需要的电路变量的初始值 3 时间常数 时间常数 就是按衰减型指数函数衰减的物理量 从其任一数