专题七二次函数直角三角形的存在性问题

专题七二次函数综合题 自学指导2 6分钟 A 已知 O为坐标原点 A 2 1 点P是x轴上一动点 当 AOP是直角三角形求P点坐标 已知 O为坐标原点 A 2 4 点P是直线x 3上一动点 当 AOP是直角三角形求P点坐标 A 0 3 A 0 3 P1 P2 P3 P4 两线一圆 类型二直角三角形的存在性问题 安顺2018 26 3 方法指导 典例精讲 例如图 在平面直角坐标系中 抛物线图象过点C 6 6 并与x轴交于原点O和A 4 0 且抛物线顶点为D 1 求此抛物线的解析式 例题图 思维教练 要求抛物线的解析式 已知抛物线与x轴有两个交点 故可考虑设抛物线的两点式 再将C点代入即可 解 抛物线图象与x轴交于原点O和A 4 0 设抛物线的解析式为y a x 0 x 4 将C 6 6 代入 得a y x x 4 即此抛物线的解析式为y x2 2x 2 连接CD 过点A作x轴的垂线交CD于点B 连接OB 求线段OB的长 例题图 思维教练 要求线段OB的长度 需求得B点的纵坐标 利用勾股定理即可求出其长度 B点的横坐标已知 且在直线CD上 故可以借助直线CD的解析式来求其纵坐标 解 抛物线的解析式为y x2 2x y x 2 2 2 顶点D的坐标为 2 2 设直线CD的解析式为y kx b k 0 将D 2 2 C 6 6 代入 得 解得 直线CD的解析式为y 2x 6 当x 4时 y 2 B 4 2 即AB 2 OA 4 在Rt BOA中 由勾股定理 得OB 3 连接OD OC 判断 OCD的形状 并说明理由 例题图 思维教练 判断 OCD的形状 可先目测 得到初步猜想 OCD为直角三角形 进而证明 得出结论 在这里 DOC 90 的判断方法可根据勾股定理的逆定理 由三角形的边长入手 也可以从角度入手 甚至可以考虑圆的直径所对的圆周角是90 解 OCD是直角三角形 理由如下 由勾股定理 得OC2 62 62 72 OD2 22 2 2 8 CD2 6 2 2 6 2 2 80 OC2 OD2 CD2 OCD是直角三角形 4 在x轴上是否存在一点E 使 COE是以OC为斜边的直角三角形 例题图 思维教练 要使 COE是以OC为斜边的直角三角形 则 OEC 90 故过点C作x轴的垂线 垂足即为所求 解 存在 如解图 过点C作CE x轴于点E 则 COE是以OC为斜边的直角三角形 C 6 6 E 6 0 例题解图 5 点N是抛物线上一动点 且 DCN为直角三角形 求出点N的坐标 例题图 思维教练 要使 DCN为直角三角形 需对哪个点作直角顶点进行讨论 故需分 DCN 90 CDN 90 DNC 90 这三种情况讨论 解 DCN为直角三角形 分以下三种情况讨论 当 DCN 90 时 如解图 由 2 可知直线CD的解析式为y 2x 6 CN CD 设直线CN的解析式y x a 直线CN过点C 6 6 a 9 直线CN的解析式为y x 9 联立 解得 舍去 N1 3 例题解图 当 CDN 90 时 如解图 点N在抛物线上 故可设点N的坐标为 x x2 2x D 2 2 C 6 6 CN2 x 6 2 x2 2x 6 2 DN2 x 2 2 x2 2x 2 2 CD2 6 2 2 6 2 2 80 CDN 90 在Rt CDN中 CN2 DN2 CD2 即 x 6 2 x2 2x 6 2 x 2 2 x2 2x 2 2 80 解得x1 1 x2 2 舍去 将x 1代入y x2 2x中 得y N2 1 例题解图 当 DNC 90 时 如解图 设CD中点为B 由 3 可知 OCD为直角三角 以点B为圆心 CD为直径的圆与抛物线交于点O 此时N3 0 0 综上所述 DCN为直角三角形时 点N的坐标为N1 3 N2 1 N3 0 0 例题解图 针对演练 1 如图 在平面直角坐标系中 二次函数y ax2 bx c a 0 与x轴相交于A B两点 与y轴相交于点C 直线y kx n k 0 经过B C两点 已知A 1 0 C 0 3 且BC 5 1 分别求直线BC和抛物线的解析式 关系式 2 在抛物线的对称轴上是否存在点P 使得以B C P三点为顶点的三角形是直角三角形 若存在 请求出点P的坐标 若不存在 请说明理由 第1题图 解 1 点C的坐标为 0 3 OC 3 在Rt BOC中 OC 3 BC 5 OB 4 点B的坐标为 4 0 将点B 4 0 点C 0 3 代入直线y kx n k 0 中 得 解得 直线BC的解析式为y x 3 点A 1 0 B 4 0 C 0 3 在抛物线上 解得 抛物线的解析式为 2 存在 由 1 知抛物线解析式为 对称轴l为直线x 设点P的坐标为 t 如解图 过点C作CD l于点D 连接PC PB 设直线l与x轴的交点为点M 则点D的坐标为 3 点M的坐标为 0 第1题解图则CD PD t 3 PM t BM 4 PC2 CD2 PD2 t 3 2 PB2 PM2 BM2 t2 BC2 25 当 BCP是直角三角形时 则有 当 BCP 90 时 即PC BC PC2 BC2 PB2 即 t 3 2 25 t2 解得t 此时点P的坐标为 当 PBC 90 时 即BP BC BP2 BC2 PC2 即t2 25 t 3 2 解得t 2 此时点P的坐标为 2 当 BPC 90 时 即CP BP BP2 PC2 BC2 即t2 t 3 2 25 解得t1 t2 此时点P的坐标为 综上所述 存在满足条件的点P 点P的坐标为 或 或 2 设抛物线的解析式为y ax2 过点B1 1 0 作x轴的垂线 交抛物线于点A1 1 2 过点B2 0 作x轴的垂线 交抛物线于点A2 过点Bn n 1 0 n为正整数 作x轴的垂线 交抛物线于点An 连接AnBn 1 得Rt AnBnBn 1 1 求a的值 2 直接写出线段AnBn BnBn 1的长 用含n的式子表示 第2题图 2 AnBn 2n 3 BnBn 1 n AnBn 23 2n 2 n 1 2 2 2n 2或2 BnBn 1 2 n或 n 1 n 3 在系列Rt AnBnBn 1中 探究下列问题 当n为何值时 Rt AnBnBn 1是等腰直角三角形 设1 k m n k m均为正整数 问 是否存在Rt AkBkBk 1与Rt AmBmBm 1相似 若存在 求出其相似比 若不存在 说明理由 解 1 点A1 1 2 在抛物线上 2 a 12 得a 2 3 由AnBn BnBn 1 得 2n 3 n 解得n 3 所以 当n 3时 Rt AnBnBn 1是等腰直角三角形 依题意得 AkBkBk 1 AmBmBm 1 90 当Rt AkBkBk 1 Rt AmBmBm 1时 即 第2