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第 四 章 留 数 定 理,4.1 留数定理,回忆柯西定理：如果 f(z) 是复闭通区域上的解析函数，则,这样的积分不为零，必定包含奇点。因此，研究奇点是求积分的第一要务。,1. 定理,设函数 f(z) 在回路 l 所围区域 B 是除有限个孤立奇点 ，外解析，在闭区域 上除点 外连续，则,又：,证明,如图，当区域中含有一个孤立奇点时在其收敛环可写,当区域中有 n 个孤立奇点时,#,柯西定理,闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时钟方向的积分等于沿所有内境界线逆时钟方向的积分的和。,一个孤立奇点,当区域中有 n 个孤立奇点时,#,2. 留数的计算,A. 单极点的情况：,作为幂零项,B. m 阶极点的情况,m-1 次求导后 项为幂零项,首先必须确定极点的阶！,分析经验,3. 例,(1),处的留数。,解,分母的因式分解,一个单极点,(2),求 的极点，以及在极点上的留数。,解,极点为,无穷多个单极点,(3),求 的极点，以及在极点上的留数。,解,A. 单极点,(4),计算沿单位圆 的如下回路积分。,解,寻找被积函数在单位圆内的极点，即它的分母在单位圆内的零点。,B. 3阶极点,其中,在单位圆外。,又,在单位圆内,4.2 应用留数定理计算实变函数定积分,留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就要利用解析延拓的概念。留数定理又是应用到回路积分的，要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的一部分。,如图，对于实积分 ，变量 x 定义在闭区间 a,b (线段 )，此区间应是回路 的一部分。实积分 要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中， 而实积分 成为回路积分的一部分：,左边可以利用留数定理，右边对 的积分在解析延拓允许的情况下，可以自由选择，通常选择 使积分最易完成。这样可以完成实变函数定积分。,现在，大部分这样的积分可以应用计算软件完成，我们在这儿只给出最基础的类型。,类型一：三角函数的有理式的积分,变量变换,积分区域变换：线段到单位圆。,例,解,类型二：,其中，复变函数 f(z) 在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当 z 在实轴和上半平面趋于无穷大时，zf(z) 一致地趋于零。,这个积分通常看作为极限,而当 时，此极限称为 I 的主值,例,n 为正整数.,解：,上半平面上有 n 阶极点 i 。,类型一：三角函数的有理式的积分,变量变换,类型二：,f(z) 在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点外解析；当 z 在实轴和上半平面趋于无穷大时，zf(z) 一致地趋于零。,类型三：,偶函数 F(z) 和奇函数 G(z) 在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当 z 在实轴和上半平面趋于无穷大， F(z) 和 G(z) 一致地趋于零。,作变换,约当引理,对于正整数 m ,上述极点沿 的积分
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