数理方程论-复习

复 习,答疑安排,时间：6.27. 上午 9:0011:30 地点：1号教学楼二层教师休息室 (X201),一、基本概念,1. 方程的形式 波动方程、热传导方程、拉普拉斯(Laplace)方程、泊松(Poisson)方程、贝塞尔方程。注：特殊区域用非直角坐标系。如：圆域用极坐标系。2. 定解条件 边界条件、初始条件。边界条件：三类边界条件的具体形式及代表的物理意义。例：教材习题一第1题。,3. 特征值问题 特征值、特征函数分离变量法。4. 特征线 特征方程、特征线、特征变换特征线法。5. 积分变换 傅立叶(Fourier)变换、拉普拉斯(Laplace)变换。,6. Laplace方程的格林函数（三维情形） 定义： 特殊区域的格林函数半空间、球域。7. 贝塞尔函数 n 阶第一类、第二类贝塞尔函数。,二、基本公式,1. 达朗贝尔(DAlembert)公式,一维波动方程的达朗贝尔(DAlembert)公式：,2. 格林公式（三维情形）,设 是以光滑曲面 为边界的有界区域，,设 u(x,y,z), v(x,y,z) 满足,第一格林公式：,第二格林公式：,3. 调和函数的积分表达式（三维情形）,表示距离,4. 贝塞尔函数的递推公式,以 为例：,三、基本方法,1. 分离变量法,1）有界弦振动、有限长杆上热传导和矩形域中的Laplace方程等定解问题 分离变量、解特征值问题、利用叠加原理、正弦和余弦函数的正交性（或傅里叶级数展开）。例：教材第25页例2，教材习题二第18题。,2）圆域内二维拉普拉斯方程 极坐标系下方程形式、欧拉方程。例：教材第36页的例子。注：半圆域、扇形域、圆环域上问题用类似方法。3）非齐次方程的定解问题 解的分解、特征函数法。例：教材习题二第22题。注：求解过程中需解二阶非齐次的线性常微分方程的定解问题，我们可利用Laplace变换法或参数变异法（参见教材第38页）。,4）非齐次边界条件的定解问题 边界条件齐次化。,注意：对于给定的定解问题, 如果方程中的非齐次项 f 和边界条件中的 都和自变量 t 无关，则可选取辅助函数 w(x) ，通过代换,将方程和边界条件同时变成齐次的。例：教材第44页的例1.,2. 行波法（特征线法） 解双曲型方程的柯西问题。 特征方程、特征线、特征变换、通解（包含任意函数）、确定函数。例：教材第61页的例子，教材习题三第10题。,3. 积分变换法 傅立叶(Fourier)变换、拉普拉斯(Laplace)变换。 选取适当的积分变换、偏微分方程转化为含参数的常微分方程、求解、逆变换。 积分变换的重要性质（以拉普拉斯变换为例）：,2)微分性质：,若 则,3) 卷积性质：,例：教材习题三的第5题和第6题。,4. 格林函数法（三维情形） 适用于拉普拉斯方程。 用电象法求半空间和球域的格林函数。,狄利克雷问题,的解如果存在,必可以表示为,例：教材第9599页的两个例子。,5. 贝塞尔函数的应用1）利用递推公式求不定积分、证明等式例：教材习题五的第6、16题。,贝塞尔函数的（加权）正交性,2）函数展开成贝塞尔函数的级数,例：教材第118页的例1，教材习题五的第12题。,3）利用贝塞尔函数求解定解问题 分离变量法、贝塞尔方程、贝塞尔函数的零点、贝塞尔函数的（加权）正交性,附注 掌握一些基础知识：1. 一阶、二阶线性常系数常微分方程解法（包括齐