弹性力学课件PPT课件

平面应力问题与平面应变问题平面问题的平衡微分方程平面问题中的一点应力状态分析平面问题的几何方程与刚体位移平面问题的物理方程平面问题的边界条件圣维南原理及应用按位移法求解平面问题按应力求解平面问题及相容方程常体力情况下的简化与应力函数 主要内容 2 3平面问题中一点应力状态分析 应力是与作用面有关的 sx sy和txy作为基本未知函数 只是表示一点的坐标平面上的应力分量 左图 而校核强度时需要知道过此点的任意斜面上的应力p 而斜面上的全应力又可以按坐标轴分解为 px py 也可沿法向和切向分解为正应力sn和和切应力tn 右图 2 3平面问题中一点应力状态分析 1 求经过该点 平行于z轴而斜交于x轴和y轴的任何斜面上的应力p 2 求经过该点 平行于z轴而斜交于x轴和y轴的任何斜面上的正应力sn和切应力tn 3 若经过该点的某一斜面上的切应力为0 求此斜面上的主应力s和应力主方向a 4 求经过该点的正应力sn和切应力tn的最大和最小值 一点应力状态分析就是求解上述有关应力分量 具体为 已知任一点处坐标面上的应力分量sx sy和txy 求解如下四个问题 过一点任意斜面的全应力 问题1 已知任一点处坐标面上的应力分量sx sy和txy 求经过该点 平行于z轴而斜交于x轴和y轴的任何斜面上的应力p 取如图所示的微分三角板或三棱柱PAB 当平面AB无限接近于P点时 该平面上的应力即为所求 根据该微分单元的力系平衡条件 在x和y轴方向上合力为0 从而有 过一点任意斜面的正应力与切应力 问题2 求经过该点 平行于z轴而斜交于x轴和y轴的任何斜面上的正应力和切应力 平面AB上的正应力sn即为上面所求的全应力p向法线方向n的投影 平面AB上的切应力tn即为上面所求的全应力P向切线方向的投影 或 过一点任意斜面的主应力与主方向 问题3 若经过该点的某一斜面上的切应力为0 求此斜面上的主应力s和应力主方向a 设如图所示的斜面上切应力为0 则该面上的全应力等于正应力 也等于主应力 于是有 又由于有 过一点任意斜面的主应力与主方向 从而有关于方向余弦l m的线性方程组 有 展开得平面问题的主应力特征方程 由求根公式有 过一点任意斜面的主应力与主方向 下面求应力主方向 将所求主应力s2代入第二个方程 两个应力主方向是相互垂直的 将所求主应力s1代入第一个方程 过一点任意斜面的应力极值 问题4 已知任一点处两个主应力s1和s2 及其应力主方向 可求得经过该点正应力 切应力的最大和最小值 为了分析简便 选取x轴和y轴分别与两个应力主方向一致 则该点的应力分量为sx s1 sy s2 txy 0 先求正应力的极值 上式代入正应力公式 2 4 并利用两个方向余弦平方和为1 得sn s1 s2 l2 s2 由此可知 两个主应力就是正应力的最大和最小值 过一点任意斜面的应力极值 再求切应力的极值 将sx s1 sy s2 txy 0代入切应力公式 2 5 并利用两个方向余弦的平方和为1 得 由此可知 当l2 0 5 s1 s2时 切应力的最大和最小值如下 其作用平面的法线方向与x轴和y轴成45 角 一点应力状态分析 总结 已知任一点处坐标面上的应力分量sx sy和txy 可求解如下四个问题 1 任何斜面上的应力p 2 任何斜面上的正应力sn和切应力tn 一点应力状态分析 总结 4 经过该点的正应力sn和切应力tn的最大和最小值 3 主应力s和应力主方向a 例题 例2 3 1 在负载结构中 某点O处的等厚平行四面体各面的受力情况如图所示 平面应力状态 试求 1 主应力的大小及方向 2 沿与水平面成30 倾角的微面上的全应力和正应力 平面应力问题与平面应变问题平面问题的平衡微分方程平面问题中的一点应力状态分析平面问题的几何方程与刚体位移平面问题的物理方程平面问题的边界条件圣维南原理及应用按位移法求解平面问题按应力求解平面问题及相容方程常体力情况下的简化与应力函数 主要内容 2 4几何方程及刚体位移 平面问题的几何方程是考虑平面问题的几何学条件 根据弹性体内微分线段及角度的几何学知识来推导出形变分量与位移分量之间的关系 与推导平衡微分方程一样 平面问题的几何方程也是要从微分角度导出 这样结果才是精确的 几何方程及刚体位移 如图所示 考虑弹性体内任意点P x y 沿x y方向取两个微小长度的线段PA和PB分别为dx dy 受力变形后P A和B分别移动到P A 和B 1 设P点的位移分量分别为u和v 利用连续性和小变形假设 根据Taylor级数展开式 略去高阶项 可求出A和B的位移分量 几何方程及刚体位移 2 由线应变的定义 可得出线段PA的相对伸缩量如下 即x方向的线应变 由于位移微小 y方向的位移引起的PA伸缩量是高一阶的微量 忽略不计 3 同理 线段PB的相对伸缩量 即y方向的线应变 如下 几何方程及刚体位移 4 由切应变的定义 可得出线段PA和PB之间的直角的改变量 即切应变 由两部分组成 一部分由y方向的位移v引起 即x方向的线段PA的转角 另一部分由x方向的位移u引起 即y方向的线段PB的转角 由此 几何方程及刚体位移 于是 线段PA和PB之间的直角的改变量 即切应变 如下 综合上述三式 就是平面问题中的几何方程 如下 几何方程及刚体位移 平面问题的几何方程适用于两类平面问题意义 平面区域内任一点的微分线段上的形变与位移之间的几何关系 实质上是一种变形的连续性条件 物体在变形前后都是连续的 适用条件 与平衡微分方程一样 满足连续性和小变形假定 几何方程及刚体位移 考虑应变分量全为0的特殊情况 即 无形变 时 由几何方程 仍存在位移解 其中u0和u0分别为物体沿x轴和y轴方向的刚体平移 而w为沿物体绕z轴的刚体转动 当位移分量完全确定时 形变分量即完全确定 当形变分量完全确定时 位移分量却不能完全确定 3个方程 2未知数 为什么 几何方程及刚体位移 对于上述形变和位移之间的关系 可作如下讨论 1 如果物体的位移确定 则形变完全确定 从物理概念角度 当物体变形后各点的位置完全确定时 任一微分线段上的形变也完全确定 从数学推导也可见 当位移函数确定时 其导数也就确定 即形变分量也完全确定 2 当物体的形变确定时 位移不完全确定 从物理概念角度 当保持物体内部形变不变的条件下 物体还可作刚体运动 平移和转动 从数学角度看 由形变求位移是一个积分过程 在常微分中会出现一任意常数 在偏微分中会出现一个与积分变量无关的未定任意函数 该未定项就是刚体平移和刚体转动量 几何方程及刚体位移 综上所述 当形变确定时 与形变有关的位移可以确定 而与形变无关的刚体位移尚未确定 须通过边界上的约束条件来确定 平面应力问题与平面应变问题平面问题的平衡微分方程平面问题中的一点应力状态分析平面问题的几何方程与刚体位移平面问题的物理方程平面问题的边界条件圣维南原理及应用按位移法求解平面问题按应力求解平面问题及相容方程常体力情况下的简化与应力函数 主要内容 2 5平面问题的物理方程 物理方程 考虑平面问题的物理学条件而得出的应力与应变的关系 又称本构方程和广义胡克定律 E为拉压弹性模量 杨氏模量G为剪切弹性模量m为横向变形系数 泊松比 对于理想弹性体 有 平面应力问题的物理方程 将平面应力问题的条件sz tzx tzy 0代入物理方程 可得 平面应变问题的物理方程 将平面应变问题的条件ez gzx gzy 0和w 0代入左式 可得 并有sz m sx sy 和tzx tzy 0 两类平面问题的物理方程比较 平面应变问题的物理方程 平面应力问题的物理方程 将平面应力问题物理方程中的E和m作如下替换 可得平面应变问题的物理方程 平面问题的基本方程 从平面问题的三套基本方程可见 对于两类平面问题 除了物理方程中的有关系数要进行相应的变换